课时作业(6)等差数列前n项和的最值和综合应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时作业（六） 等差数列前n项和的最值和综合应用答案见P 基础训练川 二，填空题 一、选择题 6.设S为等差数列{am}的前n项和，若a=1,S= 1.若数列{au}满足a1=19,a+1=a。一3(n∈N), 10,则当S.取得最大值时，n的值为 则数列{a.}的前n项和最大时，n的值为() 7.在等差数列{an}中，a=7,公差为d,前n项和为 A.6 B.7 C.8 D.9 S.,当且仅当n=8时，S,取得最大值，则d的取 2.在等差数列{a.}中，S。是其前n项和，且S1?= 值范围为 S2,S=S,则正整数k为 ( 8.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形 A.2023 B.2024 C.2025 垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的 D.2026 根数为 1 3.已知数列 n+/nFI 的前n项和S。=9,则 三、解答题 9.设等差数列{an}满足a=5,a1o=一9. A.97 B.98 C.99 D.100 (1)求{a,的通项公式； 4.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代 (2)求{an}的前n项和S.及使得S.最大的自然 数学史上的杰作，该书中记载了很多数列问题， 数n的值， 说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研 究，从下面这首古民谣中可知一二：南山一棵竹， 竹尾风割断.剩下三十节，一节一个圈.头节高五 寸①，头圈一尺三，逐节多三分”，逐圈少分三① 一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多 远？此民谣提出的问题的答案是 () (注：①五寸即0.5尺，②一尺三即1.3尺，③三分 即0.03尺，④分三即一分三厘，等于0.013尺) A.72.705尺 B.61.395尺 C.61.905尺 D.73.995尺 5.(选)设{an}是等差数列，S。为其前n项和，且 S<S=S,>S,则下列结论正确的是() A.d<0 B.a=0 C.S>S D.S与S均为S.的最大值 ·85 10.已知数列{a}满足a1+1=“,+ a,+20,≠-1， 14.设数列{an}满足a:=1,且a+1一an=n十1(n∈ N·),则数列{am)的通项公式为 :数列 an≠-2且a1=1. 1求证：数列。是等差数列，并求出数列 (上的前10项和为 a 【拓展探究川 {an}的通项公式： 15.已知数列{an}的前n项和为Sm,数列{an}为等 (2令6a求数列】 ,1的前n项和S. 差数列，a1=12,d=一2. (1)求S。,并画出{S.}(1≤≤13)的图象： (2)分别求使得{S}单调递增、单调递减的n满 足的条件，并求{S}的最大（或最小）项： (3){S}有多少项大于零？ I能力提升川 11.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的 内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数 n () A.12 B.16 C.9 D.16或9 16.设S。为等差数列{am}的前n项和，且a2=15, 12.若{an}是等差数列，首项a1>0,a24十a225> S=65. 0,a224a2s<0,则使前n项和Sm>0成立的最 (1)求数列{a。}的通项公式： 大自然数n是 () (2)设数列{b}的前n项和为T。,且T.=S。 A.4045B.4046C.4047 D.4048 10,求数列{b|}的前n项和R 13.(多选)等差数列{an,{b.}的前n项和分别为S。, 工爱-EN,则下列榄法正确的有 A数列会}是递增数列 B产- c产-装 S1·S2·…·S。_n十2 n:…元2而 ·862.A服损由题意可得S=1·号+2×(-古) 13a,=0,故B项正确：对于C项，当an=0时，满足S. S1g-=0,故{am}为递增数列不一定正确，故C项错误：对于 一15，整理得-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去)， D项，由A.B项可设当a=7-n时，满足S.=S-,但 即n=12.故选A项. a3=一6，故D项错误，故选AB项. 3.B解标因为Sw,Sn一S。,Sm一Sm成等差数列，所以S= 13.解析因为a,十a十ag=S一S,而由等差效列前n项和的 3(Sm一S.)=54.故选B项. 性质可知，S,S一S,S一S构成等差数列，所以S+ 4.ACD解析设数列{an}的公差为d,则由已知得S,= (S-S6)=2(S6-S),即a+a%十ag=S-S=2S- 7a十a2,即21=7a5),解得a,=1.又a,=a1十6d,所 2 2 3S=2×36-3×9=45. 以d=号所以S。=10+1091=10+1029×号=40 答系45 2 14.解析因为前20项中S4:S%=1:2,所以奇数项和S+= 由{an}为等差数列，知ag十a1e=2a:=10.故选ACD项. 5.B解杨由题意构造等差数列{a},满足a1=2,d=7,2十 号×75-25，俩教项和5-号×75=60，又5x-54 (n一1)×7<100，所以n<15,所以n的最大值为14，所以 10d,所以d005=号 10 S=14X2+2×14X13X7=65.故选B项。 图号 6.解析设等差数列{au}的首项为a,公差为d,由6S-5S= 15.解析设等差数列{aw}的项数为2n十1，S=a十a十…十 5,得3(a+3d0=1,所以a=3 1=1)@g+aD=(0+1)ar1,S%=+a4+…+ 2 系 7霸周为，均为等装数到，所以亮一盖-装 -=0…所以爱-中-错解得=3. 2 所以项数为2n十1=7，S4一Ss=a+1,即a4=44-33=11 2×5+111 为所求中间项 3×5-2=13 答室117 贵 16.解扬（1)因为S,=28,所以a十g)X4=28,a十44=14， 2 8.解析因为S+?一S=a+1十a+:=a1+kd+a十(k+1)d- 所以a2十ag=14,又aeas=45,公差d>0,所以a2<a,所 241+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以 k=5. 以a=5,a1=9,所以 @十d3、解得.所以a…可 a1+2d=9, 答索5 4m-3,n∈N°. 9.解析等差数列{a.}共有1013个奇数项，1012个偶数项，所 以S4=1013a,十a2,5a=1012a,+a:2.周为4十 (2②1知S=2-,所以么=年。-2片以么= 2 2 a晒=4：十a4,所以gt=1013 中6=2头6点又)也是等差戴列，所以么十 S偏10121 么=2必，即2X异=十+解得c=-c=0合 6 10.解析设等差数列{a,的公差为d,则S=a+)d. 2 因为S=7,S=75,所以 a+21d=7.脚a+. 去)，所以c的值为一2 154+105d=75,a+7d=5. 解得/=一2 课时作业（六） d=1, 所以=a+”号d=-2+"号=”2 2 L.B解析由题意知a+1一an=一3，所以数列{a.}是以19为 所以常音=令所以量列骨}是等送数到，且共首项 首项，一3为公差的等差数列，所以an=19十(n一1)× 为-2公差为2，所以工=-号儿 (一3)=22-3n.设前k项和最大，则可以得到 a≥0.新 a+10, 11.C解析由图案的点数可知a2=3,a=6,au=9,a6=12,所 22-3k0, 以 22-3(k+1)≤0， 即号<长器周为EN,所以6=7。 以an=3n一3，n≥2，所以ag十十a4+十…+aw n-1)(3+3m-3》_3-业.故选C项. 故满足条件的n的值为7，故选B项. 2 2 2.C解析因为等差数列的前n项和S。是关于n的二次函数， 12.AB解析对于A项，令n=7,由题意可得S=Ss→S, 所以由二次函效的对称性及S17=S2,S=S,可得 S,=0→a,=0,故A项正确对于B项，S=13(a十a2 2 2017+2022_2014+少，解得k=2025.故选C项. 2 2 ·161· n十I-n 3.C解霸国为物+/m示(m+7+(V+一 1)知=22,所以a2-2+ n+1-m,所以S=(2-)+(3-2)十…+(、+1 2(22）所以5=2(}-号+-吉+… m)=n+I-T,由S.=、n+T-1=9,解得n=99.故选 C项. 品2）-21-) 4.B解析由题意可得行程S=[0.5+(0.5+0.03×1)+ 1L.C解析设等差数列为{a.},剿a,=120°+5(n一1)= (0.5+0.03×2)+…+(0.5+0.03×29)]+[1.3+(1.3 5n十115°，4m<180°，所以n<13,n∈N”,由n边形内角和 0.013×1)+(1.3-0.013×2)+…+(1.3-0.013×29)]= 定理得(n-2)×180°=120十um2D×5°，解得n=16或 2 0.5×30+30X29×0.03+1.3×30+30X29×(-0.013) 2 2 n=9,又<13，n∈N°，所以n=9.故选C项. 61.395.故选B项. 12.D解析因为{am}是等差数列，首项a1>0,a21十a2g> 5.ABD解析因为Ss<S=S:>Ss,所以ag>0,a:=0,as< 0,a:e1aes<0,所以a2e4>0,a20<0,公差d<0.所以 0,所以d<0,所以S与S均为S的最大值，故A,B,D项 S,os=4048(a,+a）=2024(a:a十a:s)>0,Som 2 正确：S-S=as十a,十as十as=2(a,十ag)<0,所以S< S,故C项错误.故选ABD项. 4049(a,十aoB）=4049as<0.所以使前n项和S,>0 2 a-a+3l=1, 解得/4， 成立的最大自然数n是4048.故选D项. 6.解析由 S-0. 所以a=a十4l=0, d=-1 1出题会-清-2用=2南所以（会}是 十1 所以S,=S且同时最大.所以n=4或5. 答系4或5 2as_a十a曰l a十ax=1·(2n-1) 2 17+7dD>0. 递增数列，Λ项正确：方十一么士三·(21一D 2 7.解析由题意得a>0,a6<0,所以 解得一1<d< 7+8d<0. 7 -所以产-2=骨B项正确》 2+1 故d的取值范国为(-1，一日) 2等-子，C项错：当n=1时，产-公=受≠是= 2×3+1-7 (-1,-8) 8解析钢管的排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等 2×千D项错误.故选AB项. 1+2 差数列，最上而一层钢管数为1，逐层增加1个，所以钢管总 14.解析因为a1=1,a+1一an=n十1，所以a一a1=2,ag 数为1十2+3+…十m=mm时D.当n=19时，S=190.当 a:=3,…,au一a。-1=u(n2),将以上n一1个式子相加得 2 a.-a=2+3+…+n=n+2n-D,即a=un卫 n=20时，S0=210>200.所以当n=19时，剩余钢管根数最 2 少，为10根。 （m≥2)，又a1=1特合上式，所以a,=umD(meN.令 2 答系10 9.解折(1)由an=a1十(n-1)d及a1=5,ao=-9,可以得到 ===2（日小故=么十 1a+2d=5, a1=9. 解得 所以数列{an}的通项公式为 a1+9d=-9, d=-2. +…+=2x(1-+号-号+…+0-)=器 an=11-2n,n∈N, a.-n(neN） 20 2 (2)由(1)知，S=m4+u"2Dd=10m-i=-(m-5)2+ 2 15.解折1)S=a1+"2卫d=12m十m2D×（-2)= 2 2 25,n∈N,所以当n=5时，S.取得最大值 一m2十13n.{S}的图象如图所示. 10霸运明：周为a十1=8名a,≠-1.a≠-2且 50 a=1,所以。17=4，+2 十1十·即1=《a十1D十，所以 40 aa+1十1 a+1 3 a南a有=所以载列{是首项为宁公透 1 20 10t 为1的等差数到，所以有=号十（一D1,所以 024681012 a.+i= (2)S.=-n+13n= (m-)+12nN, 2n1,所以am=2n-1 3-2n 2 所以当1≤≤6时，{S}单调递增；当7时，{S。}单调递 ·162· 减.当n=6或7时，S。最大，所以{S。)有最大项，最大项是7.解析由题意知，第一辆车行脓的路程为(19一14)×60=300(km), S6,S,且S6=S=42. 且从第二辆丰开始，每辆车都比前一辆少走号X60=10(m,这 (3)由图象得{S}中有12项大于零 16.解析(1)根据已知条件可设等差数列{am}的公差为d,则 15辆车行驶的路程构成首项为300，公差为一10的等差数 a=a1+d=15, .解得a=17, 列，则15辆车行程的路程之和为S=300×15+1514× 2 s=5au+54d=6 1d=-2, 所以an=a1十(n一 (-10)=3450(km). 1)d=17-2(n-1)=-2m+19. 答室3450 (2)由①)得S=a+a)=一r+18,所以T,=-+ 8解析设张大爷在1】月份每天的运动步数构成数列{am},由 2 题可知该数列为等差数列，且{am)的前n项和为Sm,所以 18m-10.当n=1时，M=T=7:当n≥2且n∈N”时，b.= Sn,Sn一S,Sn一Sm成等差数列，所以2(S一Sn)=So十 T。一T。1=一2n+19.又b=7不特合此式，所以b。= Sm一S,即2×(15.8-6.9)=6.9+Sm-15.8,解得S=26.7, /7,=1, 当1≤n≤9时，bw>0:当n≥10时，b< 所以张大爷在11月份的运动步数是26.7万步. -2n+19,n≥2. 答室26.7 0.所以当1≤≤9时，R=M|+|+…+|b|=b十 2+…+bn=T。=-n2+18n-10:当n≥10时，R=b|+ r2a1+6d=5, 9.解析(1)设等差数列{am}的公差为d,则 解 bh|+…+|hn|=h十加+…十b一(bo+1+…+h) a+= 2(6+b+…+)-(h+b2+…+6+bo+b1+…+ 41=1, b)=-T.+2T=n-18n+152. 得 故a,=l+2(m-D=" 1-n2+18m-10,1≤≤9， d=2' 2 综上所述，R= m-18n+152,n≥10. （2)国为a,="空，所以6一a (2n+10(2m+3) 培优训练（一） 2(2n23 1.C解析由题意得a2=a1十2=5，a=a1十4=9.故选C项. 2.B解析设公差为d,因为as十as=2a,=20,所以a,=10,所 以ar-a=6l=12,所以d=2.故选B项. 3A层霸由.0，即2m-90, )=2(合)=g a+1≥0,12(n+1)-9>≥0. 解得<<号， 10.解析(1)选条件①，由数列{a}是等差数列，可设公差为d, 因为n∈N”,故n=4.故选A项. a1=13, 4.BC解析由等差中项的性质可得a十ag十a1a=3as为定 则 5。=10a+10X94=-5. 解得d=-3, 2 值，则a4为定值，S=15a,十@）=15u为定值，但S6 2 所以am=13十(n-1)×(一3)=16-3m, l6(a,a）-8(as十a)不是定值.故选BC项. 选条件②，由数列{a}是等差数列，可设首项为a1公差为d, 2 5.BCD解折数列-2025,0,4与4,0，一2025中数宇的排列 ag=4+2d=7, 解得 a=13, 则 a=a+6l=-5, d=-3, 顺序不同，不是同一个数列，所以A项不正确：令。=川十 n=110,解得n=10或n=一11（舍去），所以B项正确：根号 所以am=13+(n-1)×(-3)=16-3m. 里面的数是公差为1的等差数列，第8个数为⑧，即22，所 选条件③，由数列{am}是等差数列，可设首项为a1,公差为d山， 以C项正确；由数列3,5,9,17,33，…的前5项可知通项公式 s=a+324=30, 8+学，中国+2年释1B 1a+d=10, 为a,=2"十1，所以D项正确.故选BCD项. 则 即 所 d=-3, 6.解析当n=1时，a1=S=0:当n≥2时，an=S-S.-1= 号胃亡当=1时a不满足上式，所以适项 ”-1_n-2 以a.=13+(1-1)×(-3)=16-3m. 0,n=1, (2)由(1)知a,=16-3.S,=（a+a)m=29m-3d 2 2 公式为an .ex. 令am=16-3n>0,可得n≤5：令a.=16-3n<0,可得 n≥6， 0,n=1, 答多an 所以{am}的前5项都是正数，从第6项起是负数，故当n=5 —n0≥2，nN 时，S最大 ·163-