课时作业(5)等差数列的前n项和公式及其性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

16.解析由a。一am+2=2知，(am}的奇数项、偶数项分别构成公 方法二由等差数列的性质可得a2+a5=a十a4,则 差为-2的等差数列.当n=2k一1时，2k=n十1，a2-1= 1a+a=17, 解得 由a6=十3d,得d= a+(k-1)·(-2)=12-2k.所以a.=12-(n十1)=11- a·aa=52, as=13a=4. n(n为奇数)：当n=2k时，a4=a:十(k一1)·(-2)=5一 3或d=-3. 2k十2=7-2k,所以am=7-n(n为偶数).综上可得，数列 10.解析因为aa十a5十a,=93,所以3a:=93,所以a=31.令 7一，n为偶数， {au}的通项公式为a。= 11一，1为奇数. a=a十（信一5）>10，所以n>曾+5周为n的最小值 课时作业（四） 是15，所以14<9+5<15，解得6是<d长7号，又d为正 1.C解析因为数列(au}为等差数列，所以a=a:十6d,即 整数，所以d=7,a1=a-4d=3. 1l.AD解析在等差数列{au}中，因为d>0,所以数列{aa}为 18=6+6d,所以d=2.故选C项. 2.D解析因为数列{an},(bn}为等差数列，所以数列(2an一 递增数列，所以A项正确：令an=dn十b,则am=d十bm, 3b}为等差数列，且公差d=(2am+1一3b+1)一(2a。一3b)= 当K0时，数列(a}可能先减后增，所以B项错误：号 2(aa+1-aw)一3(b+1-b)=2d1-3d2=1.故选D项. 3.CD解析根据等差数列的性质，得a十d=a十am=…= -+d,当>0时，列（告}是造减数列，所以C n a0十a2=2a1,因为a1十a十d十…十a1o1=0,所以d51=0, 项错误：an+3nd=4dn+b,因为d>0,所以数列{a.十3d) 所以a1十ao1=a2十d1ow=a十ag=2a1=0.故选CD项. 是递增数列，所以D项正确.故选AD项。 4A服玩令A=升，由题意可知6=号-号=能=2， 12.D解析因为a,b,c成等差数列，所以2b=a十c,所以△= 15 46-4ac=(a十c)2-4ac=(a-c)2>≥0.所以二次函数y= 则等差数到么的公差d-能音-号则6=么十(0 a.x2一2bx十c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D项. 3d=音，所以a=9%=12.故选A项. 13.解析用(aw}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公 差为d,则a1=8.5,a6=-17.5,由a5=a1十4d=8.5+ 5.A解析由题意得，天千可看作公差为10的等差数列，地支 4d=-17.5,解得d=-6.5,所以am=15-6.5n.所以a2= 可看作公差为12的等差数列，由于100÷10=10，余数为0， 2,a=一11，ag=-37,即2km,4km,8km高度的气温分 故100年后天千为甲：由于100÷12=8…4，余数为4，故 别为2℃，-11℃，-37℃. 100年后地支为申.综上，100年后的2124年为甲中年.故选 答室2-11-37 A项 14.解析设两个等差数列的公差分别为d,d2,所以a2=a1+ 6.解折因为a4十a6十a%十a1o十a2=120,a十a2=a6十ao= d山，b2=b十d2,所以ag+b=a1+b+山+山，即9=9+ 2ag,所以5ag=120,即ag=24,所以2aw一a=2(a+2d0 山十山，所以d十d=0,所以{an十b,}是常数列，所以an十 (as十4)=as=24. 答索24 h.=ag+仍=a+b=9. 7.解析由5是a和a6的等差中项，可得a十a=2×5=10, 答案99 则由等差数列的性质可得a1十as=ag十as=l0. 15.解析因为等差数列{a.)的各项都为正数，所以a>0,a> 答系10 0,所以aa≤（色吉0）广=d=9.当且仅当a=G=3时， 8.解析设这三个数依次为a一d,a,a十d,根据已知条件可得 等号成立.所以aa:的最大值为9. f(a-d)(a+d)=5a, a=9, 解得 a+a+d=8(a-d), ”d0. 1a=0, 故所求的三个 答系9 d=6 16.解析由题意得an=3n+2(n∈N),M=4k-1(k∈N),两 数依次为3,9,15或0,0.0. 答秦3,9,15或0,0,0 数列的共同项可由3十2=h-1求得，所以川=专-1. 9.解析(1)方法一化成关于4和d的方程为(a1十d)+(a十 因为n∈N,k∈N”,所以设k=3r(r∈N),得n=4r-1. 2d0+(a1+22d)+(a1+23d0=48,即4(a1+12d0=48,所以 13≤100. 4a13=48,所以a1=12. 由已知得 1≤4r-1≤100， 解得<<9.又r∈N,所 方法二由等差数列的性质得，a十aa十aa十a4=(a2十 以=1,2，…，25，所以共有25个相同数值的项. d24)十(a3十az）=4a1a=48,所以a13=12 a+十d0+(a+20+a+30+(a,+0=3, 课时作业（五） (2)方法一由题意得 a十d0·(a十0=2， /a1=1../a1=16, 1.B 层ǖ由题意和前n项和公式可得5。=10X(一20+40 2 解得 或 所以d=3或一3. d=3 d=-3. 100.故选B项. ·160· 2.A服损由题意可得S=1·号+2×(-古) 13a,=0,故B项正确：对于C项，当an=0时，满足S. S1g-=0,故{am}为递增数列不一定正确，故C项错误：对于 一15，整理得-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去)， D项，由A.B项可设当a=7-n时，满足S.=S-,但 即n=12.故选A项. a3=一6，故D项错误，故选AB项. 3.B解标因为Sw,Sn一S。,Sm一Sm成等差数列，所以S= 13.解析因为a,十a十ag=S一S,而由等差效列前n项和的 3(Sm一S.)=54.故选B项. 性质可知，S,S一S,S一S构成等差数列，所以S+ 4.ACD解析设数列{an}的公差为d,则由已知得S,= (S-S6)=2(S6-S),即a+a%十ag=S-S=2S- 7a十a2,即21=7a5),解得a,=1.又a,=a1十6d,所 2 2 3S=2×36-3×9=45. 以d=号所以S。=10+1091=10+1029×号=40 答系45 2 14.解析因为前20项中S4:S%=1:2,所以奇数项和S+= 由{an}为等差数列，知ag十a1e=2a:=10.故选ACD项. 5.B解杨由题意构造等差数列{a},满足a1=2,d=7,2十 号×75-25，俩教项和5-号×75=60，又5x-54 (n一1)×7<100，所以n<15,所以n的最大值为14，所以 10d,所以d005=号 10 S=14X2+2×14X13X7=65.故选B项。 图号 6.解析设等差数列{au}的首项为a,公差为d,由6S-5S= 15.解析设等差数列{aw}的项数为2n十1，S=a十a十…十 5,得3(a+3d0=1,所以a=3 1=1)@g+aD=(0+1)ar1,S%=+a4+…+ 2 系 7霸周为，均为等装数到，所以亮一盖-装 -=0…所以爱-中-错解得=3. 2 所以项数为2n十1=7，S4一Ss=a+1,即a4=44-33=11 2×5+111 为所求中间项 3×5-2=13 答室117 贵 16.解扬（1)因为S,=28,所以a十g)X4=28,a十44=14， 2 8.解析因为S+?一S=a+1十a+:=a1+kd+a十(k+1)d- 所以a2十ag=14,又aeas=45,公差d>0,所以a2<a,所 241+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,所以 k=5. 以a=5,a1=9,所以 @十d3、解得.所以a…可 a1+2d=9, 答索5 4m-3,n∈N°. 9.解析等差数列{a.}共有1013个奇数项，1012个偶数项，所 以S4=1013a,十a2,5a=1012a,+a:2.周为4十 (2②1知S=2-,所以么=年。-2片以么= 2 2 a晒=4：十a4,所以gt=1013 中6=2头6点又)也是等差戴列，所以么十 S偏10121 么=2必，即2X异=十+解得c=-c=0合 6 10.解析设等差数列{a,的公差为d,则S=a+)d. 2 因为S=7,S=75,所以 a+21d=7.脚a+. 去)，所以c的值为一2 154+105d=75,a+7d=5. 解得/=一2 课时作业（六） d=1, 所以=a+”号d=-2+"号=”2 2 L.B解析由题意知a+1一an=一3，所以数列{a.}是以19为 所以常音=令所以量列骨}是等送数到，且共首项 首项，一3为公差的等差数列，所以an=19十(n一1)× 为-2公差为2，所以工=-号儿 (一3)=22-3n.设前k项和最大，则可以得到 a≥0.新 a+10, 11.C解析由图案的点数可知a2=3,a=6,au=9,a6=12,所 22-3k0, 以 22-3(k+1)≤0， 即号<长器周为EN,所以6=7。 以an=3n一3，n≥2，所以ag十十a4+十…+aw n-1)(3+3m-3》_3-业.故选C项. 故满足条件的n的值为7，故选B项. 2 2 2.C解析因为等差数列的前n项和S。是关于n的二次函数， 12.AB解析对于A项，令n=7,由题意可得S=Ss→S, 所以由二次函效的对称性及S17=S2,S=S,可得 S,=0→a,=0,故A项正确对于B项，S=13(a十a2 2 2017+2022_2014+少，解得k=2025.故选C项. 2 2 ·161·课时作业（五）等差数列的前n项和公式及其性质 答案见Pm 基础训练川 7.已知两个等差数列{a.}与{b.}的前n项和分别是 一，选择题 S.和T且a么=(2+1：(3一2》.则2 1.在一20与40之间插入8个数，使这10个数成等 差数列，则这10个数的和为 ) 8.设Sm为等差数列{a}的前n项和，若a1=1,公 A.200 B.100 差d=2,S+8一S4=24,则k= C.90 D.70 三、解答题 2已知等差数列a中，a=受d=-2,5 9.一个等差数列共2025项，求它的奇数项和与偶 -15,则n= 数项和之比 A.12 B.13 C.14 D.15 3.已知数列{am}是等差数列，且S。=20,S2m=38, 则S.= () A.63 B.54 C.36 D.27 4.(多选)数列{a.}为等差数列，S。为其前n项和， 已知a=5,S,=21,则 ( A.a=1 Bd=-号 C.ag十a2=10 D.S10=40 5.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之 和为 A.765 B.665 C.763 D.663 二，填空题 6.已知等差数列{an}的前n项和为S。,且6S 5S=5,则a4= ·83 10.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项 14.一个等差数列的前20项和为75，其中的奇数项和 和，且S=1,S。=5,求数列{停}的前m项 与偶数项和之比为1：2，则公差d= I拓展探究‖ 和T 15.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶 数项之和为33，则这个数列的中间项的值是 ,项数是 16.已知等差数列{a.}的公差d>0,前n项和为Su, 且a2a3=45,S4=28. (1)求数列{a.}的通项公式： (2若么-子(c为非零常数).且数列伍也 是等差数列，求c的值. I能力提升 11.如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包 括两个端点)有(n>1,n∈N)个点，相应的图 案中总的点数记为ao,则a2十ag十a十…十an 甲来来。 n=2 n-3 1= B.n(n+1) C.3mn-1) 2 D.n(n-1) 2 12.(多选)已知数列{an}为等差数列，其前n项和 为S。,若S.=Ss-.(n∈N且<13)，有以下结 论，其中正确的为 Aa,=0 B.Sia=0 C.{an}为递增数列D.a3=0 13.设等差数列{an}的前n项和为S.,若S=9. S6=36,则a十a8十ag= ·84✉