课时作业(2)数列的递推公式与an和Sn的关系-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时作业（二） 数列的递推公式与an和S,的关系 答案见P 基础训练‖ 二填空题 一、选择题 24。,n为正奇数， 6.若数列{an}满足4=1，a+ 则 L已知数列{a,的首项a=1,且a1=2+1,则 a。十1，n为正偶数， w 其前6项之和为 这个数列的第4项是 ( 7.已知数列{a.}的前n项和S.=3十2"(n∈N),则 入号 B号 数列{a}的通项公式为 c引 D.6 8.若数列{am}满足(n一1)4m=(n十1)a-1(n≥2， n∈N°)，且a1=1.则a1m=· 2.已知数列(an}中，a1=1,an+1=2an+1,则数列 三、解答题 {a}的一个通项公式为 9.已知数列{a,}满足a+t一a.=n十2(n∈N),且 A.d=n B.a,=n+1 a=1. C.an=2" D.a.=2m-1 (1)求a2,a3,a4的值 3.已知数列{a,}满足4=0，a+1= a。-3 (nE (2)令bn=4a。一68n,求数列{b.}的前4项. 3an+1 N),则d22s A.-3 B.0 C.3 D.3 4(多选)已知数列{a,)满足a=1,a1=m十 a。,则 A-月 B.a=n C.数列{an为递增数列 D.数列{a.}为递减数列 5.如图，由火柴棒拼成的图形中，第n个图形由n 个正方形组成 -1 n-2 n-4 通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根 数为 ( A.3n-1 B.3n C.3n+1 D.3(n+1) ·77· 10.已知各项均不为0的数列a}清足a=, 川拓展探究 15.已知数列a1,a2,ag,…,an(n∈N)的法则如下： aam-1=an-1一an(n≥2，n∈N"),求数列{an}的 若an为自然数，则a+1=an一2，否则a+1= 通项公式 an+3.若a1=1,则as= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 16.已知数列{am}满足au+1= 受a为偶数， 且 3a.十1，a为奇数， a=m(m∈N“),若a=4,求m所有可能的 取值. 能力提升Ⅱ 11.(多选)若数列{an}满足a=1,ag=3,a.am-e= a-1(n≥3)，记数列{a.}的前n项积为T,则下 列说法正确的是 () A.T.无最大值 B.a.有最大值 C.T2o26=9 D.(2026=1 2.已知在数列a中，a=2,a4=a+n(1+), 则通项公式a.= 13.已知S为数列{a的前n项和，且lo腰(S十1) 十1，则数列{an}的通项公式为 14.已知(a.}是首项为1的正项数列，且(n+1)· a+1一a品十aw+1a.=0(n∈N·),则它的通项公 式a= ·78课时作业答案 课时作业（一） 1山.C解析因为数列0.9,0.99,0.999,0.9999，…的通项公式 为1一1而数列03.03,033,0.333…的每-项斯 1.C解析A项是常数列：B项是递减数列：C,D项都是递增 数列：D项是有穷数列：只有C项符合题意，故选C项. 是上面数列对应项的号，所以其通项公式为号(1一。)： 2.AC解析因为n(n十1)必为偶数，故排除B,D项：令90 n∈N.故选C项. n(n十1)，即m十n一90=0，解得n=9或n=一10（舍去），所 12.A 1 以90是{n(n十1)}的第9项，故A项正确：令30=n(n十1)， 解析依题意可得a二3中3十工·国为函数y 即m2十n-30=0,解得n=5或n=-6(会去)，所以30是 {n(n+1)}的第5项，故C项正确.故选AC项. 在x∈(0，十∞)上单调递增，所以这个数列是递增数 3+ 3.A解折数列各项正、负交替，故可用（一1）”来调节，又1= x 21-1,3=2-1,7=23-1,15=24-1,…,所以通项公式是 列.故选A项 aa=(-1)”·(2-1),n∈N°.故选A项 13.解析依题意得a+1一a,=(m+1)(n+5)(号）一n(n+ 4.C解析由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为。= 22eN,当n=10时aw=Z是-界故选C项 21 (号)广=（号）"[号㎡+6m+)--n]=高0 ),所以当≤3时，a+1>au:当n≥4时，an+1<a.因此 5.ABD解析数列与数集是不同的，故A项错误：由数列的有 a<a<da<a4>as>a6>…,故a4最大，所以k=4. 序性知B项错误：数列的定义域不一定为正整数集，也可能 答率4 是正整数集的子集，故D项错误.故选ABD项， 14.解析因为数列{aw是递增数列.且an=f(n),n∈N”,所以 6照霸由已知得到可写成宁，号号号音…，故一个道 3-a>0, 3-a>0. a>1, 即a>1, 解得2<a3.所以实 项公式为am一2- f(8)>f(7),a2>7(3-a)-3, 数a的取值范固是(2,3). 圈2” 答索(2,3) 7.解折因为a=3-2",所以a2=3-22=3-4“,4= 15.C解析因为QA=1,QA=√2.QA=5,…,01=m,…,所 as 以a1=1,a2=2,a=3,…,a.=n,….故选C项. 号- 16题aw=7不锡 题3-生号 2注明：周为a,=有=1所以0<a,<1,故故 8.照霸由a=2026-3n>0,得m<2925=6753,又周为n∈ 1 3 列的各项都在区间(0,1)内. N,所以正整数n的最大值为675. 8)今日开<号则2<<2aeN,故n=1,即在 答率675 9.解析因为每行的最后一个数分别是1,4,9,16，…，可归钠出 区间（合，号）内有且只有1项a: 第n行的最后一个数是n2,因为452=2025,46=2116，所 课时作业（二） 以2030出现在第46行，又2030-2025=5，所以2030出现 在第46行第5列. 1.B照霸由a1=2+1,@=1得，，=2+1=3,4： a 1 1 10,服玩（1因为a,=m十2②，所以4一3文=方，a 品+1=号m=品+1-号故选B项 11 1 113 ,所以+a,=十， 2.D解析由题知a1=1,a2=3,a=7,a=15,经验证知D项 (②汤是该数到中的项，理由：由高得am十 正确.故选D项， 2)=120,所以m+2n-120=0,所以n=10或n=-12(舍 3.B服预由题意知a1=0,a:=5-一3，，=二 一3+1 去)，即0是最到a的第10项. 3+1 ·157: am,所以数列{a.}的周期为3，又2026=3×675+1，所以 {an}为周期数列，awt6=dt,所以am有最大值3，a2g6=a: a2o%=a1=0.故选B项. 1.因为T=1,T2=3,T=9,T=9,T=3,T6=1,T=1, 4BC解折因为数列{a.满足，a1=1,a+1=中a,则当≥ T=3,…,所以{T}为周期数列，T+6=T,所以T。有最 大值9，Ts=T=9.故选BCD项. a号…兽-是所有的式子两边 2时，a。=n,a-1-1-1. 12照霸由题意得a1一a=h中，所以可得a,一a1 分别相乘得4=，即4=，当n=1时也符合通项公式，故 h≥2.a1-a=hn”号…，g-au=h是，所 a=n,数列{an}为递增数列.故选BC项. 5.C解析设第n个图形中有am根火柴棒，通过观察，第1个 以当≥2时a一a=h(马·号…号)=hn 图形中，火柴棒有4根：第2个图形中，火柴棒有4十3根：第 所以am=2十lnn(n≥2).当n=1时，a1=2+ln1=2,符合 3个图形中，火柴棒有4十3十3=4十3×2根：第4个图形中， 上式，所以aw=2十lnu(n∈N°). 火柴棒有4十3十3十3=4十3×3根，…，可以发现，从第二 答室2+lnn(n∈N) 项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2一a1=3,as一ag= 13.解析由log(Sn十1)=n十1，得S。+1=2+1,当n=1时， 3,a一as=3,a一a=3,,a。-a-1=3(n≥2)，把上面的 41=S1=3:当n≥2时，aw=S。一S。-1=2”.经检验，当n=1 式子累加，则可得第n个图形中，am=4十3(n一1)=3n十1 时，山1=3不满足am=2.所以数列{an}的通项公式为 (a1=4也符合此式).故选C项. 3,n=1, 6.解折因为a1=1,a2=2a,=2,a=a:十1=3，a4=2a3=6, d= 2,n≥2. as=a4十1=7，as=2a:=14,所以前6项之和为a1十a2十 13,n=1, d9+a:十as+ag=33. 答系an= 2",n≥2 答穷33 7.解析因为S。=3+2",所以n≥2时，a=S。一S1=21,而 14.解析方法一把(1十1)a2+1一a后十a+tau=0分解因式， 得[(n十1)a+1一n](a+1十an)=0.因为an>0,所以 5,n=1, n=1时，a1=S:=5不适合上式，所以an= 2-1.n2. a,+1十am>0,所以(n十1)an+1-an=0,所以a出=n an十1' (5,n=1, 答系an 2m1,2 d1aa n 8霸m-1a,-(+1》a…得兰=m≥2，ae (≥2，所以g=。即当m>2时，a,=又周为41=1 N)则am=4·g,会…8=1X是×号×…X a 符合上式，所以a元 1 101=101X100=5050. 99 2 方法三同方法一得。一升，所以a1一n中a所以 答索5050 a=a1=号.。 9.解析(1)因为a+1一am=n十2，且a=1,所以a:=4,a1=8, nn-1-2 a=13. (2)b=4a1-68×1=4×1-68×1=-64,b:=4a-68× 2=4×4-68×2=-120,b=4a:-68×3=4×8-68×3= 即当n≥2时，=又因为山=1特合上式，所以 -172,b=4a4-68×4=4×13-68×4=-220. 1 d= 10.解ǖ因为aa-1=a-1一a,且各项均不为0，所以 方法三 =1所以当≥2时士=+（日-山）+（日 同方法一得。-n升所以n十1a=m…所 dn-1 以数列{m}是常数列，所以a,=1·a=1,所以a.=1 出)++（公）=2+1Xa一)=十将以当 俗图升 n≥2时，a=国为a=号也符合上式，所以a 15.C解折因为a1=1是自然数，所以a=a1一2=1一2= eN方 一1.因为42=一1不是自然数，所以4=42十3=一1十3= 11.BCD解析周为a=1,a=3,a,ae=a,-1(n≥3)，所以 2.因为aa-2是自然数，所以a:=a一2=2-2=0.因为 4=0是自然数，所以a5=4一2=0-2=-2.因为45= a=3a,=1,a=号a=号=1，a=3…,周北教列 一2不是自然数，所以a6=十3=一2十3=1.故选C项. ·158· 16.解析若ag为奇数，则3a十1=4，即a=1,此时若a为奇 g.照霸由题意知a十a=a·所以 2a+d=a+2d, 解 数，则3a:十1=1，即a2=0(含去)，所以a:为偶数，则号 a1a2=a, a(a1+d)=a1+3d, a=2, （ 1,即a=2,此时若a1为奇数，则3a十1=2，即a1=3 得 所以an=2+(n-1)×2=2m.此时△=(-as)2 d=2. 4a1=(-6)”-4×8=4>0,故数列{am的通项公式为a。= 去)，所以a为偶数，则号=2，即a=4:若a为偶数，则 2m(n∈N). 号=4，即4=8，此时若a为奇数，则3a+1=8,即a 1霸1明：周为29a汤 1 a.十2 4十2 子（合去），所以a为%数，期号=8，即a=16,此时若 为奇数，则3a1十1=16，即a=5,若a为偶数，则号=16， 子∈N,故载到2是等差数列。 即a1=32.综上，m所有可能的取值为4,5,32. (2)由)知等差数列2的首项为。2=1，公差为 课时作业（三） ,所以1 1 21+(m-1DX}=",所以数列a,的 4 1.AC解析如果一个数列的前5项分别是1,2,3,4,5，该数列 可能是等差数列、周期数列或其他数列.故选AC项. 通项公式为a,智nEN 2.A解析由题意可得公差d=一2一（一5）=3，所以a如= 11.ABC解析由题可设a.=5十(n一1)d,又2033是该数列 a十(20-1)d=-5+19×3=52.故选A项. 的一项，即2033=5+(n-1)d,所以m=2028+1.因为 d 3.C解枥因为b是x,2x的等差中项，所以b=士2r=3, 2 2 n,d∈N,所以d是2028的约数，选项中的2,3,4均为 又图为x是a,b的等差中项，所以2红=a十6，所以a=音，所 2028的约数，只有5不是2028的约数.故选ABC项. 12.BC解析等差数列2,6,10，…，190的公差为4，等差数列 以号=子故选C项 2,8,14,…,200的公差为6，所以由两个数列的公共项按从 小到大的顺序组成一个新数列2,14,26，，其公差为12， 4.A解析设{am}的首项为a1,公差为d,根据题意可以得到 首项为2，所以通项为a。=121一10，所以12m-10≤190，解 a+as=a:+2d+a1+7d=22. 解得a1=47,d=一8，所以 a6=a1+5d=7, 得<智，而mCN,所以n的最大值为16，即新载到的项 a=47+(5-1)×(-8)=15.故选A项. 数为16.故选BC项. 5.B解插由21g(2-1)=g2十g(2十3)，得(2-1)2= 13.解桥由题意知a十m-4十m=3a1十3”-1十m 3" 3w- 3 2(2+3),解得2=5或2=-1（舍去），所以2=5，解得 x=log25.故选B项. ae1+m_3”-1-2m=1-1+2m为常数，则1十2m=0, 3- 3 3” 6.匠预周为a1=a,十号，所以a1-a,=名(n∈N),又 1 故m=一 a=2,所以数列{口，}是以2为首项，号为公差的等差教列。 霸- 俗器是专 14.解析由a1=33,a:=0,得33+11d=0,解得d=一3，所以 aw=33+(m-1)×(-3)=-3m十36.由前7项均为正数，第 7.服面由题高和等差中项的定义知=空中=“2护，所 2 7项以后各项均为负数，得 a:=a+6D0,33+6dD0, au=a,+7d<0,33+7d<0. 以=（空），即d-2ab-35=0,所以(a-36· 2 解得-号<dK-婴又因为dEZ.所以d=-5,所以a, (a十b)=0,所以a=3b或a=-b. 33+(n-1)×(-5)=38-5m 答系a=3b或a=一b 答3a=36-3n(n∈N)an=38-5n(n∈N) a=-24+8d≤0， 8.解析设a=一24十(n一1)d(n∈N),则 15.B解析设等差数列{am}的公差为d,则4d-a一a1=8,解 ao=-24+9d>0, 得d=2,所以an=a1十(n-1)d=2n-11.由数列的通项公 解得8<d3,故公差d的取值范国为（弩3] 式可知，等差数列{}的前5项均为负效，从第6项开始， 以后各项均为正数，则T最大，又⊙5且n∈N”时，T.随 (停3 刀的增大而减小，所以数列T。无最小项.故选B项. ·159·