5.3.1 函数的单调性-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

1-co# [辨析]解析(1)正确,由函数的单调性与导数的关系知结论 正确. (2)错误,切线的“陆峭”程度与|/(x)|的大小有关,故 错误。 (3)正确,函数在某个区间上变化的快慢,和函数导数的绝 (2)y'-(sinx十sin)'-(sinx)'+(sin) 对值大小一致. -3sinrcos x+cos x.3r}-3sinxcos x+3rcos . (4)正确,若/(x)0( 0),则函数f(x)在区间上单调递 (3)y=cos'x-sinr-(cos{x十sinx)(cos}x-sin}x) 增(减),故在区间内的个别点f(x)一0不影响函数的单 cos 2x.所以y'-(cos2x)'--2sin2.x. 调性. [例题3]期(1)由题意设曲线y=ln(2x-1)在点(x。,)处 (1)v(2)X (3)/ (4) 的切线与直线2r-y十3-0平行,因为y-22,所以 2 关键能力·素养提升 [例题1](1)当x(一o,0)时,导函数图象在x轴的上 方,表示在此区间上原函数的图象呈上升趋势,可排除B 即切点坐标为(1,0).所以切点(1,0)到直线2x-y十3-0 D项;当x(0,2)时,导函数图象在文轴的下方,表示在此 区间上原函数的图象呈下降趋势,可排除A项.故选C项. /41 (2)方法一 由函数y一f(x)的导函数y一f(x)的图象自 到直线2x-y十3-0的最短距离是/5.故选A项 左到右先增后减,可知函数y一f(x)图象的切线的斜率自 (2)令y-f(x),则曲线y一e在点(0.1)处的切线的斜率 左到右先增大后减小.故选B项. 为/(0),又切线与直线x十2y十1一0垂直,所以/(0) 方法二 由于/(x)0恒成立,则根据导数符号和函数单 2.因为f(x)=(e”)'=e”·(ax)'-ae”,所以f(0) 调性的关系可知,f(文)单调递增,即图象从左至右上升,四 ae-a,故a-2. 个图象都满足,由于当x0时,/(x)0且越来越小,则 "(1)A(2)2 函数值增加得越来越慢,图象呈现上凸状;当10时, [变式3]解析(1)因为f(x)=4e-1,所以=f(0)=3.又 /(x)0且越来越大,故函数值增加得越来越快,图象呈 f(0)--1,所以切线方程为y+1-3x,即3r-y-1-0. 现下凸状,可以判断B项正确.故选B项. 故选D项. 答案(1)C(2)B (2)设切点为P(x。,y),则=x。十1,=ln(x。+a),因 [变式1]C当0<1时,xf(x)<0,所以/(x)<0 故f(x)在(0,1)上单调递减;当x1时,xf(x)0,所以 0.所以x。--1--1.所以a-1-xn-2.故选B项. /(x)0,故y一f(x)在(1,十o)上单调递增,故选C项。 鹰(1D(2)B [例题2](1)f(x)-3-2lnx的定义域为(0,十o) /()-6-22(3--1)23r-1)(3x+1). 随堂检测·学以致用 2 。 1.C 函数f(x)的导数为f(x)一1+e.故选C项. 3-1所 以/(1)-33-#.故选C项. 0< (1}#)单调减区间为(0). 3.解因为f(x)=xe,所以f(x)=e-xe”=(1-)· ”,所以/(2)-一 (2)由解析式知,函数f(x)的定义域为{x 工去2),且 2处的切线的斜率为b-/(2)--1 (-2){ 智。 所以由/(x)0得x3,由f(x)0得x3.结合定义 域得,函数/(x)的单调递增区间为(3,十),单调递减区 间为(-o0,2)和(2,3). 得_一2,解得-# [变式2]解翻函数(c)的定义域为(0.+oo),/(c)-2r-1 2-1)(2+1).因为x>0,所以vx+1>0,令f(x)> 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 的单调递减区间为(o,^). 必备知识·基础落实 [例题3]解g(c)-1-2ax+a-2-- 要点一 (a十1)(2x-1) 7 2.定义域 零点 零点 正负 要点二 a(x+1)(2x-1) 快 慢 快 慢 陆峭 平缓 陆峭 平缓 -(x>0). .148. ()(2r-1)>o,易得画数g(x)在(o,-)和(# 选C项. +)上单调增,同理可得在(-1.)上单调减; 3.画数f(x)的定义域为(lxo),(r)-re (-1).令/(t)<o,得<1且x-o,所以(x)的单调 递减区间为(-,0),(0,1). g(x)在(0,十oo)上单调递增; (-co.0).(0,1) 4.解析由题意得,/(x)=sinx十a>o恒成立,故a-sinx 恒成立,因为-1<一sinx 1,所以a二1.故实数a的取值 (x+)(2x-1)>o,易得函数g(x)在(o.)和(-1. 范围是[1,十o). 智1.+o) 十。)上单调递增,同理可得在(,-)上单调递减。 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 [变式3]函数f(x)一kx-lnx的定义域为(0,+). #()=-1--1.当 <0时,-1<o,所以 第1课时 函数的极值与导数 2 必备知识·基础落实 #(x) 0,则f(x)在(0,十o)上单调递减,当k>0时,由 要点一 f(x)<o,得{1<o,解得0<x<:由f(c)>0,得 1.0f(c)<0/(x)>0 f(a) 。 2.0/(x)>0 -1_0.解得x→.所以当h>→0时,(x)的单调减区 f(x)<o/(6) 3.极值点 极值 间为(o.一),单调递增区间为(,十).综上所述,当 [思考]眼不一定,如f(x)-^,/(0)=0,但r=0不是 f(x)-r”的极值点,所以当f(xo)-0时,要判断x=x k0时,f(r)的单调递减区间为(0.+o);当k0时,f(x)的 是否为f(x)的极值点,还要看/(x)在x。两侧的符号是否 单调递减区间为(o.),单调递增区间为(,十~). 相反。 要点二 [例题4]解析因为f(x)=2x十lnx-ac的定义域为(0. (1)极大值 极小值 (2)/(r)-0 +),且在(0,十co)上单调递增,所以/(x)-4r+1 [辨析]解(1)错误,极大值不一定比极小值大。 2 (2)错误,有的函数可能没有极值。 a>0在(0,十oo)上恒成立,所以a<4r十-在(0,十oo)上 (3)正确,由极值的定义可知,该命题正确。 智(1)×(2)× (3) 关键能力·素养提升 [例题1]ABD从图象上可以发现,当x(1,十一)时. ) xf(x)0,所以f(x)>0,故/(x)在区间(1,+o)上单调 g(x)mn=-4.,所以a<4.又当a-4时,/(c)-4x+1-4- 递增,A项正确;当xé(-,-1)时,xf(x)<0,所以 (2--1){} o满足条件,所以a的取值范围是(-oo,4门. #(x)0,当x(-1,0)时,xf(x)>0,所以f(x)<0,故 函数f(x)在x一一1处取得极大值,B项正确;当x(-1 r [变式4](1)依题可知,f(c)-ae-1→0在(1,2)上恒 0)时,f(x)<0,所以函数f(x)在区间(一1,0)上单调递 减,C项错误;当xE(0,1)时,xf(x)<0.所以f(x)<0 1,设g(x)=xe,xte(1,2), 故f(x)在区间(0,1)上单调递减,而在区间(1,十)上单 成立,显然a>0,所以xe二 调递增,所以函数f(x)在x一1处取得极小值,D项正确.故 所以g(x)-(x十1)e0,所以g(x)在(1,2)上单调递增 选ABD项. 所以g(c)>g(1)--,故c,即a→士-,即a的最 [变式1]解函数/(x)在极小值点附近的图象应有先减后增 。 的特点,因此应该在导函数的图象上找曲线从文轴下方过 小值为e.故选C项. 渡到工轴上方时与工轴的交点,这样的点有2个,所以滑数 (2)/()--1-a-1,①当a<o时,/'(c)<0,即 f(r)在(a,b)内的极小值点有2个 答2 f(x)在(0,2)上单调递减,不合题意,②当a>0时,令 [例题2](1)函数/(x)的定义域为R,导函数/(x) 2(^+1)-42(x-1)(+1).令f(c)-0,得x= (r*十1) (2十1)② 一1或x一1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表 所示. (1)C(2)(,+c~) -1 (-1.1) 1 (-c0.-1) (1,十o) 随堂检测·学以致用 /'(r) 0 1.C 因为/(x)在(-o,1),(4,十o)上单调递减,在(1. ) 4)上单调递增,所以当x1或x4时,f(x)0;当1< 单调递减 极小值单调递增 f(x) 极大值单调递减 4时,/(c)一0.故选C项. 2.Cf(x)-lnx十1(x>0),令/(x)>0,即lnx+1 由表格可以看出,当x一一1时,函数f(x)有极小值,且极 .149.数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f(x)=x十e-1的导数是 3.若f(x)=xe,则f(x)在x=2处的切线的斜 A.er B1+1 C.1+e!D.1+e' 率是 4.已知函数f(x)=ln(ax一1)的导函数是f(x), 2.已知f(x)=ln(3x-1),则f(1)=( 且f(2)=2,则实数a的值为 A司 B.1 c D.2 提示完成P课时作业（十五）和Pm培优训练（三） 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 [学习目标]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，培养直观想象和逻辑推理的核心素 养.2.能利用导数研究函数的单调性，增强逻辑推理的核心素养（重难点）.3.对于多项式函数，能求不超过三次 的多项式函数的单调区何，提升数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一函数的单调性与导数的关系 要点二函数图象的变化趋势与导数绝对值 1.一般地，在区间(a,b)内，函数f(x)的单调性 大小的关系 与导数了(x)的正负有如下关系， 观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小 导数 函数的单调性 与函数图象的变化关系如表所示 f(x)>0 单调递增 图象 f(x)<0 单调递诚 广(x)=0 常函数 导数为正， 导数为正， 导数为负， 导数为负， 2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 导数 且绝对值越 且绝对值越 且绝对值越且绝对值越 y=f(x)的单调性： 来越大 来越小 来越大 来越小 第1步：确定函数的 第2步：求出导数(x)的 函数函数值变化 函数值变化 函数值变化函数值变化 第3步：用f(.x)的 将f(x)的定义域 值 越来越 越来越 越来越 越来越 划分为若干个区间，列表给出(x)在各区间 图象 由此得出函数y=f(x)在定义 越来越 越来越」 上的 越来越 越来越 特点 域内的单调性 ·52· 第五章一元函数的导数及其应用 辨析 的切线越“陡峭”. () 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个 (1)函数f(x)在区间(a,b)上都有(x)<0, 区间上导数的绝对值越大 () 则函数f(x)在这个区间上单调递减.() (4)判断函数的单调性时，在区间内的个别点 (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处 f(x)=O,不影响函数在此区间的单调性.（) 关键能力素养提升 答案见Pe 探究一 导函数与原函数的图象 (2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图 象之一，且其导函数y一f(x)的图象如图所 规律总结 示，则该函数的图象是 () 研究函数图象与其导函数图象之间的 关系的着手点 研究一个函数的图象与其导函数的图象之间 的关系时，要注意抓住各自的关键要素，对原 函数，我们应重点关注其图象在哪个区间上 单调递增，哪个区间上单调递减：而对于导函画 数，则应关注其函数值在哪个区间上大于零， 哪个区间上小于零，并关注这些区间与原函 数的单调区间是否一致. 【例题1】(1)f(x)是函数f(x)的导函数，y= f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最 有可能是下列选项中的 【变式1】已知y=xf(x)的图象如图所示（其中 「(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象 中，y=f(x)的图象大致是 () ·53· 数学选择性必修第二册课堂学案 【变式2】求函数f(.x)=x2一lnx的单调区间. 探究二 利用导数求函数的单调区间 答题模板 用解不等式法求单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域： 探究三判断含有参数的函数的单调性 (2)求导函数f(x): (3)解不等式f(x)>0(或(x)<0),并写 答题模板 出解集； 利用导数研究含参函数f(x) (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调 的单调区间的一般步骤 区间. (1)确定函数f(x)的定义域： 【例题2】求下列函数的单调区间. (2)求导数f(x): (1)f(x)=3x2-2lnx: (3)分析参数对区间端，点、最高次项的系数的 (2)f.x)=e 影响，以及不等式解集的端点与定义域的关 -2 系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类 讨论： (4)在不同的参数范国内，解不等式f(x) 0和f(x)<0,确定函数f(x)的单调区间. 【例题3】设g(x)=lnx-ax+(a-2)x,a<0, 试讨论函数g(x)的单调性. 54 第五章一元函数的导数及其应用 【变式3】试求函数f(x)=k.x一lnx的单调区间. 【例题4】若函数f(.x)=2.x2+lnx一a.x在定义域 上单调递增，求实数a的取值范围. 444+4444 44+444444444444444444+444444444444444444 探究四 已知函数的单调性求参数范围 解题技巧 【变式4】(1)(2023·新课标Ⅱ)已知函数f(x)= 已知单调性求参数范围的常用方法 ae一lnx在区间(l,2)上单调递增，则a的最 (I)子区间法，即先求出y=f(x)的单调区间 小值为 () A,然后分析已知区间同A的关系.注意区间 A.e B.e C.e D.ez 端点值能否取到. (2)已知函数f(x)=a.r-lnx在(0,2)上不 (2)将问题转化为不等式在某区间上的恒成 单调，则a的取值范围是 立问题，即f(x)≥0（或f(x)≤0）恒成立， 利用分离参数或函数性质求解参数范国，然 后检验参数取等号时是否满足题意」 随堂检测 学以致用 答案见P0 1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数了(x) 2.函数f(x)=3十xlnx的单调递增区间是 的图象可能为 ( A(o.) B.(e,+c∞) c(合+∞) D.(I.e) 3函数f代)=兰的单调递减区间为 4.若函数f(x)=一cosx十a.x为增函数，则实数 a的取值范围是 提示完成P课时作业（十六） ·55·