4.3.2.2 等比数列前n项和的性质及应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章数列 随堂检测学以致用 答案见Pe 1.等比数列1，x,x2,x3,…的前n项和S。= 2.已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项 和为15，且as=3aa+4a1,则aa= () A A.16 B.8 C.4 D.2 3.等比数列{an}的前n项和为Sr,且4a1,2a2,a &安 成等差数列.若a1=1,则S= () 1-x C1-7x≠1且x≠0， A.15 B.7 C.8 D.16 n,x=1 4.已知数列{am}的前n项和为Sm,且an=nX2", 1一x- 则S.= D.3 1-xx≠1且x≠0， n,x=1 提示完成P课时作业（九） 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标]1，掌提等比数列前n项和的性质及应用，增强数学运算和逻辑推理的核心素养（重难点）.2，掌握 等比数列的实际应用，培养数学建模和数学运算的核心素养.3.能用分组转化法求数列的和，增强数学运算和 逻辑推理的核心素养. 必备知识基础落实 答案见Pt 要点一等比数列前n项和公式的函数特征 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N·),则 当公比9≠1时，设A=,巴，等比数列的前” 多= 项和公式是S.=A(d-1),即Sm是n的 ②在等比数列中，若项数为2n+1(n∈N·),则 型函数.数列S,S,S,…,Sw,…的图象 Ss一4=g 是函数 图象上的一群孤立的点.当 So 公比q=1时，因为a1≠0，所以Sm=a1,Sw是 辨析 n的 函数，数列S1,S,S,…,S,… 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 的图象是正比例函数 图象上的一 (1)设S,为数列{a.}的前n项和，若S。=3×2一 群孤立的点 3,则该数列是等比数列. () 要点二等比数列前n项和的性质 (2)等比数列{a.}共2n项，其中奇数项的和为 L.数列{a.}为公比不为一1的等比数列（或公比 240,偶数项的和为120，则该等比数列的公比 为一1，且n不是偶数)，S.为其前n项和，则 9=2. () Sn,Sw一Sn,Sm一S,…仍构成等比数列. 2.若{an}是公比为q的等比数列，则S.+m=Sn十 (3)若数列{am}为等比数列，则S,S一S, q"Sm(n,m∈N). Su一S成等比数列. () 3.若{an}是公比为g的等比数列，S,S分别是 (4)已知等比数列{a.}是递增数列，其前n项 数列的偶数项和与奇数项和，则 和为S.,则{Sw}也是递增数列. ·31 数学选择性必修第二册课堂学案 关键能力素养提升 答案见Pe 探究一等比数列前n项和性质的应用 探究二 分组求和法 规律总结 规律总结 解决有关等比数列的前n项和的问题时，若 (1)应用条件：一个数列的通项公式是由若千 能恰当地使用等比数列的前项和的相关性 个等差数列或等比数列或可求和的数列的通 质，则可以避繁就简，运算简便的同时避免了 项公式相加组成 对公比q的讨论.解题时把握好等比数列的 (2)解题步骤 前项和性质的使用条件，并结合题设寻找 ①分组：分析通项公式或对通项公式适当变 使用性质的切入点。 形，分为可求和数列相加的形式： 【例题1】(1)设S.为等比数列{a.}的前n项和， ②求和：分别对分组后的数列求前n项和： ③相加：相加得原数列的前n项和. 若S=4,S,=6,则56= A.7 B.8 【例题2】在各项均为正数的等比数列{a.}中，已 C.9 D.10 知a1=2,8a2十2a4=a6. (2)等比数列{an}中，公比q=3,Sm=32,则 (1)求数列{am}的通项公式： ag十a4十a6十…十a0= (2)设b,=a.十2，求数列{bn}的前n项和Tm 【变式1】(1)已知等比数列{a.}共有2n项，其和 为-240，且(a1+a4+…+a2m-1)-(a2+ a十…十a2w)=80,则公比q= A.-2 c号 D.2 (2)若数列{a.}是等比数列，且其前n项和为 S.=3”+1一2k,则实数k= ·32· 第四章数列 【变式2】求数列24日6…，2十2… 【例题3】借贷10000元，以月利率为1%，每月以 复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开 的前n项和S. 始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付 多少元(1.015≈1.061,1.01≈1.051)？ 探究三 等比数列前项和的实际应用 【变式3】中国古代数学著作《九章算术》中的很 多题目取材于现实生活，有很强的应用性和 解题技巧 趣味性，其中一道经过改编的题目是这样的： 解数列应用题的具体方法和步骤 一堆栗子一斗装不完，两斗装不满，每斗装 (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： 400个栗子，一群猴子分这堆栗子，第一只猴 ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等 子取走全部的一半多一个，第二只猴子取走 差数列问题还是等比数列问题，还是含有递 剩下的一半多一个，…所有猴子均按此规 推关系的数列问题？是求am,还是求S?特 则依次取栗子，最后一只猴子恰好取完，则这 别要注意项数是多少，②弄清题目中主要的 群猴子的只数为 已知事项。 A.8 B.9 (2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方 C.10 D.11 法，怡当引入参数变量，将文字语言翻译成数 学语言，将数量关系用数学式子表达， (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所 求联系起来，列出满足题意的数学关系式 ·33· 数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P L.在等比数列{a.}中，S。是它的前n项和，若 是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两 Sn=3×2+a,则a= ( 项的和为24，则此等比数列的项数为() A.3 B.2 C.-2 D.-3 A.12 B.10 2.已知等比数列{am}的公比为2，且其前5项和 C.8 D.6 为1，那么{a.}的前10项和等于 4.设等比数列{an}的前n项和为Sm,若q=2, A.31 B.33 C.35 D.37 S1o=36,则a1十a4十a5十…十ag= 3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和 提示完成Ps课时作业（十）和P培优训练（二） 4.4* 数学归纳法 [学习目标]了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，发展数学抽象、逻辑推理和 数学运算的核心素养. 必备知识基础落实 答案见P 要点数学归纳法 以把数学归纳法证明的形式改写如下： 1.定义 条件：(1)P()为真；(2)若P(k)(k∈N,k≥ 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可 )为真，则P(k+1)也为真.结论：P(n)为真. 按下列步骤进行 辨析 (1)归纳奠基：证明当n=n(∈N)时命题 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 成立： (1)用数学归纳法证明题目时可以只证明归纳 (2)归纳递推：以“当n=k(k∈N,k≥)时命 递推 () 题成立”为条件，推出“当 时命题也 (2)数学归纳法证明3≥n(n≥3，n∈N”)的 成立” 第一步是验证n=3. () 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称 3)设=是+中+2十…十则 为数学归纳法。 S=+十中2十中3十中++ >思考：数学归纳法的第一步的初始值是否 一定为1？ (k+1)+(k+1) () (④)利用数学归纳法证明不等式1十号十号+ }+号++2<n≥2，且n∈N)的过 2.改写形式 程中，由n=k变到n=k十1时，左边增加了 记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可 2项 () ·34随堂检测·学以致用 [变式2]服损由巴知条件可得S=2}+4日+6后十…十 1.C解析当x=1时，Sw=;当x≠1且x≠0时，S, (2+2)=(2+4+6+…+2m)+(+号+…+ 故选C项。 2.C解析设等比数列{ae}的公比为q,由a:=3a1十4a1得 [-(3)] g=3g十4.解得=4，因为数列{a。}的各项均为正数，所 ）=2+2+ 2 1- =n(n+1)+2 以q=2,又a1十a+a十a4=a1(1+q十4+g)=a1(1+2+ 4十8)=15，所以a1=1,所以a=a1=4.故选C项. 3.B解析设等比数列{a.}的公比为g(g≠0)，因为4a,2ag, 2六=m+n2高十 a成等差数列，所以4a=4a1十a,所以4g=4十d,所以q= [例题3]解析方法一设每个月还货a元，第1个月后欠款为 2.所以an=21,所以S=a1十a2十a=1十2十4=7.故选B项. aa元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a,元(1≤n≤ 4.解折因为a.=n×2",所以Sw=1×2十2×2十3×23十…十 6),则am=10000,a1=1.01aa,a2=1.01a1-a= 1.012am-(1+1.01)a,…,a6=1.01as-a=…=1.01ao n×2"①，所以2Sw=1×2+2×23+…+(n-1)×2+ (1+1.01+…+1.015)a.由题意可知a6=0,即1.01a一 n×2+1②，①-②得-5=2+22+2+…+2-n× 2+1 20-22）-X21=21-2-n×21=1-一0)21-2. 1+1.01+…+1.01)a=0,即a=,0X10 101-1.因为 1一2 所以S,=(n-1)2+1+2(n∈N). 101P1.061,所以a189≈1738故每月应支付 答室(n-1)2*1+2(n∈N) 1739元. 第2课时等比数列前项和的性质及应用 方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件 必备知识·基础落实 存储6个月，则它的本利和为S=10(1十0.01)=10× 要点一 1,01(元)：另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清， 指数y=Ag-A正比例y=aa 到货款还清时，其本利和为S=a(1十0.01)卢十a(1十 [辨析]解析(1)正确.等比数列的前n项和公式可以写成S, 0.01+…+a=a[1+0.01-1=a1.0s-1)× 1.01-1 A一A(q≠1)的形式，所以该数列是等比数列. （2错误等-g-器-含 1201 1(无，由5=S得a=10X以下解法同方法- 所以a≈1739，故每月应支付1739元. (3)错误.若a1=1,q=-1,则S=0,Ss-S,=0,Se一S [变式3]A解析设共有x只猴子，第n只猴子取栗子的个数 0,不成等比数列. 为am,则第n只猴子取果子后，所剩果子的个数为a,一2， (4)错误.当a1<0,0<q<1时，等比数列{am}是递增数列， 此时a。<0,从而{S是递减数列，结论错误. 故a1=a,-2)+1=a,2=,故，=a1· 答累(1)/(2)×(3)×(4)× (号）厂，又a,=2,所以2=a·(合），得a=2,由题 关键能力·素养提升 意得400<十十…十a,<800,即400<2+2-1+…十 [例题1门解析(1)因为{an}为等比数列，所以S,S:一S2,S 2<800,即4002(2-1)<800，即201<2<401，易知当 S也为等比数列，即4,2，S一6成等比数列，所以S一6 且仅当x=8时，符合题意.故选A项. 1,即S=7.故选A项. 随堂检测·学以致用 (2)设x=a:十a4十a6十…十as0y=a十4g十a:+…十am: L.D解析设等比数列{an)的首项为a1,公比为q,易知q≠1， 则与=9=3，即x=3y又x十y=8=32,所以号=32. y 由8=2，兽，A,则8=一AM+A又8 1-g 解得x=24. 3×2"十a,所以a=一3.故选D项. 答索(1)A(2)24 2.B解析设(an}的公比为q,由题意，g=2,a1十au十as十a+ [变式1门解析(1)由题意知S+十S4=一240，S+-S%=80,所 a=1,则aa十a?十an十ae十ao=q(a1十ag十aa十a4十a)= 以54=-80，Sx=-160,所以4-=2，故选D项. g=2=32,所以So=1+32=33.故选B项. 3.C 解析由题意可知q=2.设该数列为a1,a2,…,a2,剩a.十 (2)因为S=3+1一2k=3×3-2k,且{a.}为等比数列，所 aw+1=24.又a1=1,所以g1+=24,即2-1+2=24，解 以3-2张=0，即=是 得1=4.故项数为8.故选C项. 4.解析设a十a十a,十…十am=S,则ag十a:十ag十…十 圈aD(2号 a1m=2S.因为Sm=36,所以S+2S-36,所以S=12,所以 [例题2]解析(1)设等比数列{a.)的公比为q(q>0),因为 a1十a十a6+…+ag=12. 8a?+2a,=a6,所以8a19+2a1g=a1q,又a1=2,所以8+ 答率12 2g=g,解得q=4,所以q=2.所以am=a1=2", 4.4 数学归纳法 n∈N”. (2)由(1)知b.=2"+2,所以T.=(2十2)十(22+4)十 必备知识·基础落实 (23+6)+…+(2"+2n)=(2+22+2+…+2")+(2+ 要点 4+6+…+20)=2(2-1)+u2+2=21+m+n-2. 1.(2)1=k+1 2 [思考]提示不一定.如证明n边形的内角和为(n一2)·180°， 所以数列{}的前n项和为T=2+1十2十n一2，n∈N°. 第一个值%一3. ·142: