4.3.2.1 等比数列的前n项和公式-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4,解析这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等 所以号s=安+++2+。 比数列{a}(1≤n≤10，n∈N),则第10个正方形的面积 2 ②@ S=a。=22·2°=2t=2048. 所以①-②得=(++十+）-品 答索2048 2(1-) 4.3.2等比数列的前n项和公式 品=1-点所以8=点 第1课时等比数列的前n项和公式 必备知识·基础落实 昙又周为n∈N,所以>0，是>0，所以8=2 要点二 1.错位相减 <2,即a十e十十G<2,neN”, 2一2 2.等差等比 [变式2]解析(1)设正项等差数列{a}的公差为d,则d0.国 [思考]提示Sn=a1十a2g十aad十…十ag"-1①，gS= 为S=12,即a1+a2十a1=12,所以3a:=12,所以a2=4. ag十ad+…+a-1十ag°②，①-②得，(1-q)S= 又2a1,a2,a4十1成等比数列，所以a=2a(a十1)，即4 ai+(az-ai)q+(as-a:)q+.+(a-a1)q- 2(4一d)(4+d+1),解得d=3或d=-4(舍去)，所以a1= ag"一a:十dg十g+…十1)一ag",同样能转化为等比 a2-d=1.故an=3n-2. 数列求和， [辨析]解析(1)错误.公式中应注意q=1的情况. (2)南1可得么=号=2=(3m-2X,所以T- 3" (2)正确.由等比数列的前项和公式可知命题正确. 1x+4×+7×+…+(3m-2)× ① (3)错误.要分a=0,a-1和a≠0且a≠1讨论求解. (4)正确.可知该数列为常数数列. ①×号得号.=1×+4×+7X+…+(3-5)× 答案(1)×(2)√(3)×(4)/ 关键能力·素养提升 +(3n-2)X ② 8g-1=1 ①-②得号工.=+3×+3×号+3×+十3× [例题1]解析(1)由题意知 解得9=2 8-才9_63 n=6. 1-4 (3n-2)× (2)S=S+a+as+as=S+q(an+az+as)=S+qS= 1-3 1+行)S,即1十-受=9，解得g=2 3品=-×3-(3-2)×，所以工.=号 5- 将g=2代入S=子=a得a1=子：所以a 1-g 2 4 a4=7×2=,8=a02-2- [例题3]解析(1)设等比数列{4}的公比为q,则41≠0,9≠0.由 1一 (3)因为a2a,-1=a1a。=128,所以a1,an是方程x2-66.x十 题高得SssS-S即aa解得 a十a十a4=-18, {ag1+q+d)=-18, 1s=0的两张从而亿又8= 1-q g=二2故数到a,}的道项公式为a,=3×(-2》 a1=3, 126,所以g=2或g 2南1得S=31二〈二2=1-（一2.若存在m:使 1-(-2) [变式1门解杨(1)由题设公比为q,且g>0,则1十q十+g+ g=5(1+q十4)-4，即4+4=4g十4女，即4+d-4q- 得S≥2013，则1-(-2)≥2013，即(-2)"≤-2012.当 4=0,即(g-2)(q+1)(g十2)=0，所以q=2,所以S,=1十 n为偶敏时，（一2）>0上式不成立：当n为奇数时， 2+4十8=15.故选C项. (-2)°=-2≤-2012，即2"≥2012，则n≥11.综上，存在 (2)若公比g=1,则由8S=7S得8·6a1=7·31,则a= 符合条件的正整数n,且n的集合为{nn=2k十1，k∈N“, 0,不合题意，所以9≠1.当9≠1时，因为8S=7S,所以 k≥5. 8.a02=7.402）,即8·1-)=7·1 [变式3]解粉(1)证明：当n-1时，S,十a=5×3-3=12,所 1一9 1-g 以41=6：当n≥2时，由S,十am=5X3"一3①，得S。-1十 9),即8·(1+q)(1-)=7·(1-).即8·(1+q)= a-1=5×3"-1-3②.①-②得2a。一aw-1=10X3"1,所 7解得9司 以a-2×3"=2(a-1-2×3),周为a1=6,所以a 图1C(2)-司 2X3=0,所以aw一2×3”=0，故数列{aw一2×3"1为常 数列. [例题2]解析(1)设等差数列{am}的公差为d,等比数列{6，}的 2×3” 公比为g,则g>0.由题意可得2十心，解得{？数 2》①加a,=2X3,所以人一n2 l2g=6+d, g=2, am=2+2(1-1)=21,b=2×2-1=2. 22n市所以T=6+6+6+…+A=(1-号）十 ②强明：周为心一爱=2器-品议数列的前n项 (信-)+（合-）++()=1 ① 2 2m+12n+1 ·141· 随堂检测·学以致用 [变式2]服损由巴知条件可得S=2}+4日+6后十…十 1.C解析当x=1时，Sw=;当x≠1且x≠0时，S, (2+2)=(2+4+6+…+2m)+(+号+…+ 故选C项。 2.C解析设等比数列{ae}的公比为q,由a:=3a1十4a1得 [-(3)] g=3g十4.解得=4，因为数列{a。}的各项均为正数，所 ）=2+2+ 2 1- =n(n+1)+2 以q=2,又a1十a+a十a4=a1(1+q十4+g)=a1(1+2+ 4十8)=15，所以a1=1,所以a=a1=4.故选C项. 3.B解析设等比数列{a.}的公比为g(g≠0)，因为4a,2ag, 2六=m+n2高十 a成等差数列，所以4a=4a1十a,所以4g=4十d,所以q= [例题3]解析方法一设每个月还货a元，第1个月后欠款为 2.所以an=21,所以S=a1十a2十a=1十2十4=7.故选B项. aa元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a,元(1≤n≤ 4.解折因为a.=n×2",所以Sw=1×2十2×2十3×23十…十 6),则am=10000,a1=1.01aa,a2=1.01a1-a= 1.012am-(1+1.01)a,…,a6=1.01as-a=…=1.01ao n×2"①，所以2Sw=1×2+2×23+…+(n-1)×2+ (1+1.01+…+1.015)a.由题意可知a6=0,即1.01a一 n×2+1②，①-②得-5=2+22+2+…+2-n× 2+1 20-22）-X21=21-2-n×21=1-一0)21-2. 1+1.01+…+1.01)a=0,即a=,0X10 101-1.因为 1一2 所以S,=(n-1)2+1+2(n∈N). 101P1.061,所以a189≈1738故每月应支付 答室(n-1)2*1+2(n∈N) 1739元. 第2课时等比数列前项和的性质及应用 方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件 必备知识·基础落实 存储6个月，则它的本利和为S=10(1十0.01)=10× 要点一 1,01(元)：另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清， 指数y=Ag-A正比例y=aa 到货款还清时，其本利和为S=a(1十0.01)卢十a(1十 [辨析]解析(1)正确.等比数列的前n项和公式可以写成S, 0.01+…+a=a[1+0.01-1=a1.0s-1)× 1.01-1 A一A(q≠1)的形式，所以该数列是等比数列. （2错误等-g-器-含 1201 1(无，由5=S得a=10X以下解法同方法- 所以a≈1739，故每月应支付1739元. (3)错误.若a1=1,q=-1,则S=0,Ss-S,=0,Se一S [变式3]A解析设共有x只猴子，第n只猴子取栗子的个数 0,不成等比数列. 为am,则第n只猴子取果子后，所剩果子的个数为a,一2， (4)错误.当a1<0,0<q<1时，等比数列{am}是递增数列， 此时a。<0,从而{S是递减数列，结论错误. 故a1=a,-2)+1=a,2=,故，=a1· 答累(1)/(2)×(3)×(4)× (号）厂，又a,=2,所以2=a·(合），得a=2,由题 关键能力·素养提升 意得400<十十…十a,<800,即400<2+2-1+…十 [例题1门解析(1)因为{an}为等比数列，所以S,S:一S2,S 2<800,即4002(2-1)<800，即201<2<401，易知当 S也为等比数列，即4,2，S一6成等比数列，所以S一6 且仅当x=8时，符合题意.故选A项. 1,即S=7.故选A项. 随堂检测·学以致用 (2)设x=a:十a4十a6十…十as0y=a十4g十a:+…十am: L.D解析设等比数列{an)的首项为a1,公比为q,易知q≠1， 则与=9=3，即x=3y又x十y=8=32,所以号=32. y 由8=2，兽，A,则8=一AM+A又8 1-g 解得x=24. 3×2"十a,所以a=一3.故选D项. 答索(1)A(2)24 2.B解析设(an}的公比为q,由题意，g=2,a1十au十as十a+ [变式1门解析(1)由题意知S+十S4=一240，S+-S%=80,所 a=1,则aa十a?十an十ae十ao=q(a1十ag十aa十a4十a)= 以54=-80，Sx=-160,所以4-=2，故选D项. g=2=32,所以So=1+32=33.故选B项. 3.C 解析由题意可知q=2.设该数列为a1,a2,…,a2,剩a.十 (2)因为S=3+1一2k=3×3-2k,且{a.}为等比数列，所 aw+1=24.又a1=1,所以g1+=24,即2-1+2=24，解 以3-2张=0，即=是 得1=4.故项数为8.故选C项. 4.解析设a十a十a,十…十am=S,则ag十a:十ag十…十 圈aD(2号 a1m=2S.因为Sm=36,所以S+2S-36,所以S=12,所以 [例题2]解析(1)设等比数列{a.)的公比为q(q>0),因为 a1十a十a6+…+ag=12. 8a?+2a,=a6,所以8a19+2a1g=a1q,又a1=2,所以8+ 答率12 2g=g,解得q=4,所以q=2.所以am=a1=2", 4.4 数学归纳法 n∈N”. (2)由(1)知b.=2"+2,所以T.=(2十2)十(22+4)十 必备知识·基础落实 (23+6)+…+(2"+2n)=(2+22+2+…+2")+(2+ 要点 4+6+…+20)=2(2-1)+u2+2=21+m+n-2. 1.(2)1=k+1 2 [思考]提示不一定.如证明n边形的内角和为(n一2)·180°， 所以数列{}的前n项和为T=2+1十2十n一2，n∈N°. 第一个值%一3. ·142:数学选择性必修第二册课堂学案 【变式3】我国生物科技发展日新月异，其中生物 万元以上（精确到1年，参考数据：1g1.2≈ 制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入 0.08,lg5≈0.70). 资金50万元进行新药开发，并计划每年投入 的研发资金比上一年增加20%.按此规律，至 少 年后，每年投人的资金可达250 随堂检测学以致用 答案见P L.公比为2的等比数列{am}的各项都是正数，且 3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等 a3a11=16,则a6= ( ) 比数列，则插入的6个数的积为 A.1 B.2 C.4 D.8 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方 2.在等比数列{a}中，若Basarana1=32,则 形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正 11 方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共 的值为 ) 画了10个正方形，则第10个正方形的面积等 A.4 B.2 于 平方厘米. C.-2 D.-4 提示完成P,课时作业（八） 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式 [学习目标]1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，发展逻辑推理的核心素养（重点.2.会用错位相减法求 数列的和，增强逻辑推理和数学运算的核心素养（难点），3.掌握等差数列与等比数列的综合应用，强化逻辑推 理和数学运算的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P: 要点一 等比数列的前n项和公式 >思考：如果Sn=a1十a2q十ag十…十amg”1, 其中{am}是公差为d的等差数列，q≠1，两边 已知量 首项，公比与项数 首项、公比与末项 同乘q,再两式相减会怎样？ 求和 a(1-2 1-4 (g≠1) aa4(g≠1)， 1-4 公式 a1(g=1) a1(g=1)） 要点二 错位相减法 1.推导等比数列前n项和公式的方法叫 法 2.该方法一般适用于求一个 数列与一个 数列对应项积的前n项和，即若{b.}是 要点三等差数列与等比数列的综合应用 公差d≠0的等差数列，{c.}是公比q≠1的等 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于 比数列，求数列{bcm}的前项和S,时，可以 读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通 用这种方法 项公式及前项和公式解决问题，求解这类问 ·28· 第四章数列 题要重视方程思想的应用：既要善于综合运用 (2)等比数列的前项和公式可以简写成S.= 等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善 -Ag+A(q≠1). () 于根据问题情境具体分析，寻找解题的突破口. (3)求S.=a十2a2+3a3+…十a"时只要把上 辨析 式等号两边同时乘以：即可根据错位相减法 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 求得 () (1)求等比数列{a.}的前n项和时可直接套用 (4)若首项为a的数列既是等比数列又是等差 公式S.=9来求. 1-q 数列，则其前n项和等于a. () 关键能力素养提升 答案见Pm 探究一 等比数列前n项和公式的基本运算 【变式1】(1)(2023·全国甲)设等比数列{a.}的 各项均为正数，前n项和为Sm,若a1=1,S。 规律总结 5S1一4，则S () (1)知三求二：在等比数列前n项和公式中， A号 B C.15 D.40 共有41,4u,q,n和Sn这五个量，已知其中任 (2)(2023·全国甲)记S为等比数列{a,}的前n 意三个，都可以求出另外两个 项和.若8S=7S,则{a}的公比为 (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的 基本运算，多运用方程的思想，求出首项 和公比q这两个基本量，从而求出通项公式： 同时此类问题在求解中经常使用整体代换的 思想 (3)一个注意点：凡涉及等比数列前n项和的 问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确 探究二 错位相减法求和 定，应分q一1和q≠1两种情况讨论. 规律总结 【例题1】在等比数列{a.}中，公比为q,前n项和 为S. 错位相减法的适用范围及注意事项 a=8a,=}=求n (1)适用范国：它主要适用于{an}是等差数 列，{bn}是等比数列，求数列{abm}的前n (2s-7s-2求a.及5： 项和， (2)注意事项 (3)a1十an=66,a2au-1=128,Sm=126,求g. ①利用“错位相减法”时，在写出S,与gS。的 表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作 差，正确写出(1一q)S,的表达式 ②利用此法时要注意讨论公比q是否等 于1. 【例题2】设{am}是等差数列，{b.}是等比数列，公 比大于0，已知a1=b=2,b=ag,b=a2十4. 29 数学选择性必修第二册课堂学案 (1)求{an}和{bn}的通项公式： 【例题3】已知S,是等比数列{an}的前n项和， (2)i记c=元n∈N,证明：a十G+…+十 S4,S2,S成等差数列，且a4十a十a,=一18. (1)求数列{am}的通项公式； cw<2,n∈N'. (2)是否存在正整数n,使得S≥2013？若存 在，求出符合条件的所有的集合：若不存 在，说明理由。 【变式2】已知正项等差数列{am}的前n项和为 S,若S=12,且2a1,a2,a:十1成等比数列. (1)求{a.}的通项公式： (2)记6，=g的前n项和为T…求T 【变式3】已知数列{am}的前n项和为S。,且S。十 a.=5×3"-3,b.=(4m-1)31 (1)证明：数列{a.一2×3"}为常数列： (2)求数列(b.}的前n项和T 探究三 等差数列与等比数列的综合应用 解题技巧 与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过 程应注意以下方法与技巧： (1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造 成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质 解题。 (2)等差（比）数列公式和性质的灵活应用. (3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一 数列项与项之间的关系，又要关注各数列之 间的相互联系. ·30· 第四章数列 随堂检测学以致用 答案见Pe 1.等比数列1，x,x2,x3,…的前n项和S。= 2.已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项 和为15，且as=3aa+4a1,则aa= () A A.16 B.8 C.4 D.2 3.等比数列{an}的前n项和为Sr,且4a1,2a2,a &安 成等差数列.若a1=1,则S= () 1-x C1-7x≠1且x≠0， A.15 B.7 C.8 D.16 n,x=1 4.已知数列{am}的前n项和为Sm,且an=nX2", 1一x- 则S.= D.3 1-xx≠1且x≠0， n,x=1 提示完成P课时作业（九） 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标]1，掌提等比数列前n项和的性质及应用，增强数学运算和逻辑推理的核心素养（重难点）.2，掌握 等比数列的实际应用，培养数学建模和数学运算的核心素养.3.能用分组转化法求数列的和，增强数学运算和 逻辑推理的核心素养. 必备知识基础落实 答案见Pt 要点一等比数列前n项和公式的函数特征 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N·),则 当公比9≠1时，设A=,巴，等比数列的前” 多= 项和公式是S.=A(d-1),即Sm是n的 ②在等比数列中，若项数为2n+1(n∈N·),则 型函数.数列S,S,S,…,Sw,…的图象 Ss一4=g 是函数 图象上的一群孤立的点.当 So 公比q=1时，因为a1≠0，所以Sm=a1,Sw是 辨析 n的 函数，数列S1,S,S,…,S,… 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 的图象是正比例函数 图象上的一 (1)设S,为数列{a.}的前n项和，若S。=3×2一 群孤立的点 3,则该数列是等比数列. () 要点二等比数列前n项和的性质 (2)等比数列{a.}共2n项，其中奇数项的和为 L.数列{a.}为公比不为一1的等比数列（或公比 240,偶数项的和为120，则该等比数列的公比 为一1，且n不是偶数)，S.为其前n项和，则 9=2. () Sn,Sw一Sn,Sm一S,…仍构成等比数列. 2.若{an}是公比为q的等比数列，则S.+m=Sn十 (3)若数列{am}为等比数列，则S,S一S, q"Sm(n,m∈N). Su一S成等比数列. () 3.若{an}是公比为g的等比数列，S,S分别是 (4)已知等比数列{a.}是递增数列，其前n项 数列的偶数项和与奇数项和，则 和为S.,则{Sw}也是递增数列. ·31