4.3.1.2 等比数列的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

2(an十1).由a1=1,可知a1+1≠0，从而am+1≠0.所以 a 75 4十1=2(m∈N).所以数列a.十1}是等比教列. 4 a+1 b=45 故这回个最为36,12,18浅要，卓平是 41 (2)由(1)知{aw十1}是以a1十1=2为首项，2为公比的等比 数列，所以a,十1=2×2"-1=2，即am=2一1，n∈N°. [变式1门解析设这四个数分别为a,ag,ag,a, 则a一1，ag-1,a(-4,ag一13成等差数列， 随堂检测·学以致用 1,C解析由等比数列的定义知①②④都成等比数列：当a=0 即2ag-1)=(a-1)+(ag-, 2(ag-4)=(ag-1)+(ag-13). 时，③不成等比数列.故选C项， 2.C解标由a4=a1g且a1=8,a=64,得￠=8，即q=2,所 整理得a1-3。解得a=3 1ag(g-1)2=6.1 1g=2. 以a=4=32.故选C项. 因此这四个数分别是3,6,12,24 q 1 3.AB照霸图为a-1生号=号，=（一1D×(-16)=16,解 [例题2]图扬1)等比数列{a,}中，因为aa=2,所以a 2 得b=土4，所以ab=士6.故选AB项. aa=a=子所以aia,=子 4.A解析由题意知(3.x+3)2=x(6.x十6)，即x2+4x+3=0, (2)由等比数列的性质知a6=a1ao=aa=a3as一a4a=9, 解得x=一3或x=一1（会去），所以等比数列的前3项是 所以loga1十logiaz十…+loga0=log(a1ag…an)= 一3，一6，一12，则第4项为一24.故选A项. log[(aan)(azas)(asas)(aa)(asa)]=log 9=10. 第2课时 等比数列的性质 [变式2]解析(1)方法一由等比中项的性质知a1a2a= 必备知识·基础落实 (a1a1)·a2=a2=5,a asas=(a7a)·ag=a}=10,所以 要点一 a2as=50时，所以ada6=(a4a6）·a5=ad=（vusas)3= 递增递减递减递增 (50市)=5v2.故选A项. 要点二 方法二由等比数列的性质知a1aea,a1asd6,a:asag构成 1.d2a-1 等比数列，所以(a1a2a)·(ardsan)=(aasa6),所以 2.drd-dud aaa6=士15X10=士52.又数列各项均为正数，所以 3.dm apdn a4asa6=5/2.故选A项. 5qfg9 (2)等比数列{a}中，因为ag,a6是方程x2+6.r+2=0的 [辨析]邂析(1)错误.当0<gI,a>0时，数列{a}是递减数列. 两个根，所以a2a16=2.又因为a2a1s=a=2,所以a= (2)错误.当g>1,a1<0时，数列{au}是递减数列. 士2，所以a=i=a=士2.故选D项。 (3)正确，若{a,}的公比为4，则{已 ,{a},{lau11的公比 答系(1)A(2)D [例题3]解析(1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为 分别为g1 a1a2,…,am,由题意得a1=13.5,ae=13.5(1一10% (4)正确.由等比数列的性质可知，命题正确 a=13.5(1一10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an} 答案(1)×(2)×(3)√(4)/ 是等比数列，首项41=13.5，公比q=1一10%=0.9，所以 关键能力·素养提升 an=a1q1=13.5×0.9一1.所以n年后车的价值为au+1= 13.5×0.9"(万元). [例题1门解析方法一设前三个数分别为a,a,ag(q≠0)，则 (2)由(1)得a5=a1g=13.5×0.9≈8.9（万元）， 9 所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元 第四个数为2ag一a.由题意得 4十(2a4一a)=21·解得 [变式3]解粉由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进 a+ag=18. 行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加 9=2浅9=是.当g=2时a=6,这四个数为3.6,12,18：当 20%,满足等比数列模型，令a1=50,q=1.2,所以am=50· (1.2)1,令a.=50·(1.2)-1=250,所以(1.2)-1=5，所 9一是时=织这回个能为识5平是 以1=g5=品。品积-875，所以=身7石又 方法二设后三个数分别为a一d,a,a十d,则第一个数为 因为n为正整数，所以1=10. a一》，因此这四个数为a一 答系10 -,a一d,a,a十d.由题意 a 随堂检测·学以致用 心+a+d=2解得2 a27 4 1.A解析因为asa1=a=16,且效列{am}的各项都是正数， 得 a 或 故 1d=6 9 所以a=4,由a,=as·22=4a5,得a=1.故选A项. a-d+a=18, d=- 2· 2.B解析因为aaa?aa1=32,所以a=32,故a:=2,所以 这四个款为3.612.18或空只是 盖---号=2批法书项 aXq 方法三设第一个数为a,则第四个数为21一a,设第二个 :3.解析设这8个数组成的等比数列为an},则a1=l,as=2.插 数为b,则第三个数为18一b,则这四个数为a,b,18一b, 入的6个数的积为aasa4asaa=(aa)·(aas）·(aa)= 21一a,由题意得 6+(21-a)=2018-6.解得8·支 1a(18-b)=, (a1as)=2=8. 1b=6 答室8 ·140· 4,解析这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等 所以号s=安+++2+。 比数列{a}(1≤n≤10，n∈N),则第10个正方形的面积 2 ②@ S=a。=22·2°=2t=2048. 所以①-②得=(++十+）-品 答索2048 2(1-) 4.3.2等比数列的前n项和公式 品=1-点所以8=点 第1课时等比数列的前n项和公式 必备知识·基础落实 昙又周为n∈N,所以>0，是>0，所以8=2 要点二 1.错位相减 <2,即a十e十十G<2,neN”, 2一2 2.等差等比 [变式2]解析(1)设正项等差数列{a}的公差为d,则d0.国 [思考]提示Sn=a1十a2g十aad十…十ag"-1①，gS= 为S=12,即a1+a2十a1=12,所以3a:=12,所以a2=4. ag十ad+…+a-1十ag°②，①-②得，(1-q)S= 又2a1,a2,a4十1成等比数列，所以a=2a(a十1)，即4 ai+(az-ai)q+(as-a:)q+.+(a-a1)q- 2(4一d)(4+d+1),解得d=3或d=-4(舍去)，所以a1= ag"一a:十dg十g+…十1)一ag",同样能转化为等比 a2-d=1.故an=3n-2. 数列求和， [辨析]解析(1)错误.公式中应注意q=1的情况. (2)南1可得么=号=2=(3m-2X,所以T- 3" (2)正确.由等比数列的前项和公式可知命题正确. 1x+4×+7×+…+(3m-2)× ① (3)错误.要分a=0,a-1和a≠0且a≠1讨论求解. (4)正确.可知该数列为常数数列. ①×号得号.=1×+4×+7X+…+(3-5)× 答案(1)×(2)√(3)×(4)/ 关键能力·素养提升 +(3n-2)X ② 8g-1=1 ①-②得号工.=+3×+3×号+3×+十3× [例题1]解析(1)由题意知 解得9=2 8-才9_63 n=6. 1-4 (3n-2)× (2)S=S+a+as+as=S+q(an+az+as)=S+qS= 1-3 1+行)S,即1十-受=9，解得g=2 3品=-×3-(3-2)×，所以工.=号 5- 将g=2代入S=子=a得a1=子：所以a 1-g 2 4 a4=7×2=,8=a02-2- [例题3]解析(1)设等比数列{4}的公比为q,则41≠0,9≠0.由 1一 (3)因为a2a,-1=a1a。=128,所以a1,an是方程x2-66.x十 题高得SssS-S即aa解得 a十a十a4=-18, {ag1+q+d)=-18, 1s=0的两张从而亿又8= 1-q g=二2故数到a,}的道项公式为a,=3×(-2》 a1=3, 126,所以g=2或g 2南1得S=31二〈二2=1-（一2.若存在m:使 1-(-2) [变式1门解杨(1)由题设公比为q,且g>0,则1十q十+g+ g=5(1+q十4)-4，即4+4=4g十4女，即4+d-4q- 得S≥2013，则1-(-2)≥2013，即(-2)"≤-2012.当 4=0,即(g-2)(q+1)(g十2)=0，所以q=2,所以S,=1十 n为偶敏时，（一2）>0上式不成立：当n为奇数时， 2+4十8=15.故选C项. (-2)°=-2≤-2012，即2"≥2012，则n≥11.综上，存在 (2)若公比g=1,则由8S=7S得8·6a1=7·31,则a= 符合条件的正整数n,且n的集合为{nn=2k十1，k∈N“, 0,不合题意，所以9≠1.当9≠1时，因为8S=7S,所以 k≥5. 8.a02=7.402）,即8·1-)=7·1 [变式3]解粉(1)证明：当n-1时，S,十a=5×3-3=12,所 1一9 1-g 以41=6：当n≥2时，由S,十am=5X3"一3①，得S。-1十 9),即8·(1+q)(1-)=7·(1-).即8·(1+q)= a-1=5×3"-1-3②.①-②得2a。一aw-1=10X3"1,所 7解得9司 以a-2×3"=2(a-1-2×3),周为a1=6,所以a 图1C(2)-司 2X3=0,所以aw一2×3”=0，故数列{aw一2×3"1为常 数列. [例题2]解析(1)设等差数列{am}的公差为d,等比数列{6，}的 2×3” 公比为g,则g>0.由题意可得2十心，解得{？数 2》①加a,=2X3,所以人一n2 l2g=6+d, g=2, am=2+2(1-1)=21,b=2×2-1=2. 22n市所以T=6+6+6+…+A=(1-号）十 ②强明：周为心一爱=2器-品议数列的前n项 (信-)+（合-）++()=1 ① 2 2m+12n+1 ·141·数学选择性必修第二册课堂学案 第2课时等比数列的性质 [学习目标]1，掌握等比数列的性质及其应用，发展逻辑推理和数学运算的核心素养（重难点）.2.能在具体的 问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，提升数学建模和数学运算的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P的 要点一 等比数列的单调性 等比数列且公比为9，则数列lga.}是公差为 的等差数列. 单调性 公比g q>1 0g1 9=1 6.若{a.},{h}是项数相同的等比数列，公比分别 首项4 是p和q那么ab.}与会}也都是等比数列， a>0 数列 数列 常数列 a1<0 数列 数列 公比分别为9和卫 要点二 等比数列的常用性质 辨析 L.对称性：a1am= = 3a-g=**= 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” amam-m+t(n>m且n,m∈N). (1)在等比数列{aw}中，当a1>0时，{an}是递 2.若k十l=m十n(k,l,m,n∈N),则 增数列。 () 3.若m,p,n成等差数列，则 成等比 (2)在等比数列{an}中，当g>1时，{a.}是递增 数列. 数列 () 4.在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和（或 积)构成公比为（或）的等比数列. (3)若数列a.是等比数列，那么侣，d 5.若{an}是等比数列，公比为q,则数列{am》 {amI}都是等比数列. () ,〈a}都是等比数列，且公比分别 (4)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的 是 :若数列{an}是各项都为正数的 两项之积等于首末两项的积 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 灵活设项求解等比数列 【例题1】有四个数，前三个数成等比数列，后三 个数成等差数列，第一个数与第四个数的和 解题技巧 为21，中间两个数的和为18，求这四个数. 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列，一般可设为4 ,a,aq. (②)四个数成等比数列，一般可设为导，号 aq,ag或a,ag,aq,uq. (3)五个数成等比数列，一般可设为“， aq,ag ·26· 第四章数列 【变式1】有四个数成等比数列，将这四个数分别 【变式2】(1)已知各项均为正数的等比数列{a.} 减去1,1,4,13后成等差数列，求这四个数 中，a1a2a=5,4aga=10,则a1a5a6=( A.52 B.7 C.6 D.±5/2 (2)在等比数列(an}中，ag,a6是方程x2+ 6.x十2=0的两个根，则a“的值为() A.-√6或v6 B.-2 C.2 D.v2或一√2 探究二 等比数列的性质及应用 探究三 等比数列的实际应用 解题技巧 答题模板 解决等比数列的计算问题常用的两种方法 (1)基本量法：利用等比数列的基本量，先求 解答数列应用题的步骤 公比，后求其他量.这是解决等比数列问题的 (1)审题—仔细阅读材料，认真理解题意. 常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是 (2)建模 将已知条件翻译成数学（数列） 有时计算较繁琐。 语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数 (2)数列性质：等比数列每相邻几项的积成等 列的特征、要求的是什么。 比数列、与首末两项等距离的两项的积相等、 (3)求解一求出该问题的数学解。 等比中项的性质等经常被使用 (4)还原—将所求结果还原到实际问题中 【例题2】已知数列(a.}为等比数列. 【例题3】某人买了一辆价值13.5万元的新车， ()等比数列a.)满足aa,=求a,a 专家预测这种车每年按10%的速度贬值， (1)用一个式子表示n(n∈N”)年后这辆车的 (2)若a.>0,a5a6=9,求loga十logsaz+十 价值： l1ogao的值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大 概能得到多少钱？ 27 数学选择性必修第二册课堂学案 【变式3】我国生物科技发展日新月异，其中生物 万元以上（精确到1年，参考数据：1g1.2≈ 制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入 0.08,lg5≈0.70). 资金50万元进行新药开发，并计划每年投入 的研发资金比上一年增加20%.按此规律，至 少 年后，每年投人的资金可达250 随堂检测学以致用 答案见P L.公比为2的等比数列{am}的各项都是正数，且 3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等 a3a11=16,则a6= ( ) 比数列，则插入的6个数的积为 A.1 B.2 C.4 D.8 4.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方 2.在等比数列{a}中，若Basarana1=32,则 形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正 11 方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共 的值为 ) 画了10个正方形，则第10个正方形的面积等 A.4 B.2 于 平方厘米. C.-2 D.-4 提示完成P,课时作业（八） 4.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式 [学习目标]1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，发展逻辑推理的核心素养（重点.2.会用错位相减法求 数列的和，增强逻辑推理和数学运算的核心素养（难点），3.掌握等差数列与等比数列的综合应用，强化逻辑推 理和数学运算的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P: 要点一 等比数列的前n项和公式 >思考：如果Sn=a1十a2q十ag十…十amg”1, 其中{am}是公差为d的等差数列，q≠1，两边 已知量 首项，公比与项数 首项、公比与末项 同乘q,再两式相减会怎样？ 求和 a(1-2 1-4 (g≠1) aa4(g≠1)， 1-4 公式 a1(g=1) a1(g=1)） 要点二 错位相减法 1.推导等比数列前n项和公式的方法叫 法 2.该方法一般适用于求一个 数列与一个 数列对应项积的前n项和，即若{b.}是 要点三等差数列与等比数列的综合应用 公差d≠0的等差数列，{c.}是公比q≠1的等 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于 比数列，求数列{bcm}的前项和S,时，可以 读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通 用这种方法 项公式及前项和公式解决问题，求解这类问 ·28·