4.3.1.1 等比数列的概念及简单表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 【例题3】等差数列{an}中，a:=3,公差d=2,S。 【变式3】已知数列{an的通项公式为an= 为崩n项和，求十十…十 (2-1)(2n+1),求数列{a,}的前n项和S. 44 随堂检测学以致用 答案见Pn L.数列{a.}为等差数列，它的前n项和为S。,若 数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲 S.=(n十1)2十A,则入的值是 ( 歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年 A.-2 B.-1 总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借 C.0 D.1 问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题 2.已知数列{an}满足an=26一2n,则使其前n项 中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a.,则 和S.取最大值的n的值为 ( d1= A.11或12 B.12 A.35 B.32 C.13 D.12或13 C.23 D.38 3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学 4数列十3的前知项和为 家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学 知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多 提示完成Ps课时作业（六）和P培优训练（一） 4.3 等比数列 4.3.1等比数列的概念 第1课时等比数列的概念及简单表示 [学习目标]1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，培养数学抽象的核心素养（重点）， 2.体会等比数列与指数函数的关系，发展逻辑推理的核心素养。 ·22· 第四章数列 必备知识基础落实 答案见P 要点一 等比数列的概念 要点四等比数列与指数函数的关系 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项 等比数列{an}的通项公式an=a11(a1q≠0) 与它的 一项的 都等于 常 还可以改写成a。-·g,当q>0且g≠1时， 数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 做等比数列的 通常用字母 等比数列{a.}的第n项am是指数型函数 表示(q≠ f(x)=·(x∈R)在x=n时的函数值，即 要点二 等比中项 an=f(n).因此等比数列{an}对应的 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 分布在指数型函数f(x)=4·￠的图象上， ,那么G叫做a,b的等比中项，此时 q 三个数满足关系式 即等比数列{an}的图象是函数 的 要点三等比数列的通项公式 图象上的一群 1.通项公式 辨析 一般地，首项为a1,公比为g的等比数列(an} 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 的通项公式为an (1)若一个数列从第二项起，每一项与前一项 2.通项公式的推广 的比为常数，则该数列为等比数列.( 公比为q的等比数列{a.}中任意一项都可以 (2)等比数列的项不能为0，但公比可为0. ( 由该数列的某一项和公比表示，即an=amg" (3)常数列既是等差数列，又是等比数列.() (m,n∈N). (4)任何两个数都有等比中项。 ( 3.递推公式 (5)当G登=ab时，G一定是a,b的等比中项. a=g(neN且n>1)或=g(n∈N). () 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 等比数列通项公式的基本运算 【例题1】(1)已知等比数列{an}中，a1=2,a=8, 求au. 规律总结 (2)已知等比数列{am}中，ag十a=18,ag十 等比数列通项公式的应用 a6=9,a.=1,求n. (1)等比数列的通项公式涉及4个量a1,am, n,9,只要知道其中任意三个就能求出另外 个，在这四个量中，1和q是等比数列的基本 量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解。 (2)求a1和q的两种常用方法 ①根据已知条件，建立关于1，q的方程组。 求出a1,q后再求am,这是常规方法 ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后， 再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技 巧性，能简化运算。 ·23· 数学选择性必修第二册课堂学案 【变式1】(1)在等比数列{am}中，已知a1=3,q 【例题2】已知在等比数列{an}中，u1十a2十ag= -2,求a6. 168,a一a=42,求a5,a,的等比中项， (2)在等比数列{a.}中，已知aa=20,46= 160,求a… 【变式2】(1)已知三个数2，a,18成等比数列，则 a的值为 () A.6 B.-6 C.±6 D.±3 (2)如果一1，a,b,c,一9成等比数列，那么 A.b=3,ac=9 B.b=-3.ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 探究三等比数列的判定与证明 解题技巧 探究二 等比中项及其应用 等比数列的判定与证明方法 误区防错 (1)定义法：在am≠0(n∈N”)的前提下，若 等比中项应用的三点注意 =q(g为非零常数)或a=q(q为非零 an a- (1)要证三数a,G,b成等比数列，只需证明 G=ab即可，注意a,b,G均不为零. 常数，且n≥2)，则{an}是等比数列.由出 (2)已知等比数列中的相邻三项a-1,am, q,9≠0并不能立即断言{a}为等比数列，还 an+1,则an是am-1与an+i的等比中项，即a 要验证a1≠0. am1a+1,运用等比中项解决问题，会大大减 (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a+1 少运算过程 aum+g(n∈N),则{an}是等比数列. (3)解题时应注意同号的两个数的等比中项 (3)通项公式法：若数列的通项公式可以写成 有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没 am=adl(a1,g均是不为0的常数，n∈N), 有等比中项。 则{am}是等比数列. ·24· 第四章数列 【例题3】已知a,b,c,d成等比数列，a十b,b十c, 【变式3】已知数列{an}满足a1=1,a.+t=2a十1. c十d均不为零，求证：a十b,b十c,c十d成等比 (1)证明：数列{a,十1}是等比数列： 数列. (2)求数列{a.}的通项公式. 4444444444444444444444444444 随堂检测学以致用 答案见P 1.已知下列各数列：①一1，一2，一4，一8：②1， 3.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是一1， 53-35:@a0222其 一16的等比中项，则ab () A.6 B.-6 中成等比数列的是 C.-12 D.12 A.①②③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 4.等比数列x,3x十3,6.x十6，…的第4项等于 2.在等比数列{an}中，a1=8,a1=64,则a3 () ( A.-24 B.0 A.16 B.16或-16 C.12 D.24 C.32 D.32或-32 提示完成P课时作业（七） ·25·所以31+0+.+3-2{(1-+(-) (3)错误,当常数列不为零数列时,该数列才是等比数列. (4)错误,当两数同号且不为零时才有等比中项,异号时不 (#-)+.+())+(1-)] 存在等比中项 ##(1-)-寻#00) (5)错误,如数列0,0,5就不是等比数列,所以0不是等比 中项. (1)×(2)×(3)X(4)×(5)× 关键能力·素养提升 )#所5-1++70+ [例题1]析(1)设等比数列a.)的首项为a,公比为o. aa所以 方法一 (2-3)(2n+(21(2+-[(1-+(- 因为 -aq. a-8②. 4.从而q-4,而a*-2,于是a- 1 )+()+(2)+(2 a-2--。 #)]1-(1-)-# 方法二 因为a-a(q^{},所以}-4,即q-4.所以a。= 随堂检测·学以致用 a-2(/~-22. a+a:-aq+aq-18. 1.B 解因为等差数列前n项和S.的形式为S.一Ar*十 ④ (2)方法一 由题意可得 Bn,属于常数项为零的函数表达式,所以S.一n^{}十2n+1+A a+a-aq+a-9, 中,1+a-0,即a--1.故选B项。 由{①得-,从而ai-32,又a.-1,所以32x×()”'-1. 2.D 解霜因为a=26-2n,所以公差d-a-a-=-2,所 以数列{a.)为等差数列,又a-26-2x1-24,所以S. 即2--2,所以n-6. 二 因为a十a-q(a+as),所以q-.又a1g十 方法二 2 为nN*,所以当n-12或13时,S.最大.故选D项. aq-18,所以a-32.由a。=al-1,知n-6. 3.A 解由题意可知,九个儿子的年龄成公差d一一3的等 [变式1](1)由题意和等比数列的通项公式得,a-3× 差数列,且九项之和为207.故S-9at+98-9at- (-2)-1--96. 2 (2)设等比数列的公比为q.则 108-207,解得a-35.故选A项. la-160, la-5. 以=aI-5×2nN. #()#$-[(1-)+(-+ [例题2]设该等比数列的公比为?. 所以{ a+aq+aq-168. ()+(-)+.(-)+( aq-a-42. a(1+q+)-168. ① #)()(1-- 所以 laq(ì-)-aq(1-q)(1+q+”)-42, ② ②-①得q(1-q)- 1,解得-所以a-42 +3)-13(((3) 3r+12n+11 -q{ 42 王113(3r+122(+3) 3r+12n+11 4.3 等比数列 的等比中项是士3 4.3.1 等比数列的概念 [变式2]解(1)因为2,a,18成等比数列,所以a*-2×18 36,所以a一士6.故选C项 第1课时 等比数列的概念及简单表示 (2)因为-(-1)×(一9)-9,且b与首项-1同号,所以 必备知识·基础落实 b--3,且a,c必同号,所以ac=一9.故选B$. 要点一 智(1)C(2)B 2 前 比 同一个 公比 公比?0 由已知得-ac,-bd,d即 要点二 [例题3]证明方法一 等比数列 1G-b $=ad.因为(b+c){}-b}+c*}+2bc=ac+ld+bc+a d- 要点三 (a十b)·(c十d),而a十b,b十c,c十d均不为零,所以a十b. 1.a-: bc.c十d成等比数列. 要点四 方法二 由已知,可设b-aq,c=ar^{,d-aq}(q为常数且$$ ()- 点列(n,a.) 孤立的点 ≠0),因为a十b,b十c,c十均不为零,所以 [辨析]析(1)错误,根据等比数列的定义知,只有比值为同 #)年以 a(1十q) 一个常数时,该数列才是等比数列. aq(1+q) (2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义知,数列中的 a十b,b十c,c十d成等比数列. 项也为零. [变式3](1)证明:因为a:-2a。+1,所以a:+1- ·139. _-. 2(a.+1).由a-1,可知a+10,从而a.+1-0.所以 +l-2(nN).所以数列{a。+1)是等比数列。 ##.# 故这四个数为3,6,12,18或75.45.27.9 a。十1 4'44'4 (2)由(1)知十1)是以a十1一2为首项,2为公比的等比 数列,所以a.+1-2×2-1-2",即a.-2-1,n-N. [变式1]设这四个数分别为a,ag,aq{},aq}, 则a-1,aq-1,aq{}-4,aq^-13成等差数列. 随堂检测·学以致用 2(aq-1)-(a-1)+(aq?-4). 1.C 解析由等比数列的定义知①②④都成等比数列;当a=0 2(aq}-4)-(aq-1)+(aq}-13). 时,③不成等比数列,故选C项. {a(-1){}-3.解得{ 整理得 (-3. 2.C 由a=a^}且a=8a=64,得-8,即=2,所 {7-2. aq(q-1)②-6. 以a。--32.故选C项. 因此这四个数分别是3,6,12,24. 0 [例题2]翻(1)等比数列(a。)中,因为aca-1 2,所以a{①= aa-a:a- #1,所以aa-. 得b-士4,所以ab-士6.故选AB项. 4.A 由题意知(3r+3)②-r(6x+6),即^2+4x+3=0. (2)由等比数列的性质知aa:-a:a。-aa-aas-aa:-9. 解得x一一3或x二一1(含去),所以等比数列的前3项是 所以 logsa 十logaa:+.十loga-log(aa:a)= -3,-6,-12,则第4项为-24.故选A项. log(a:ao)(aas)(a:a)(aa)(a:a)]-log9-10. 第2课时等比数列的性质 [变式2]解析(1)方法一 由等比中项的性质知aaa一 必备知识·基础落实 ($aa).a=-5a-asa-(a-a).a=a}-10,所以 要点一 aa-50,所以aa:a-(aa)·a=a}-(a) 递增 递减 递减 递增 (50)-5v②.故选A项. 要点二 方法二 由等比数列的性质知aaa?,a(asas,a:asa。构成 1.ad-1 等比数列,所以(aaa)·(a:asa)一(a:asa。)”,所以 2. a-a aa:a=士、5X10-士5v2.又数列各项均为正数,所以 3.a,d.dn aasa-5v2.故选A项. (2)等比数列a中,因为a,a是方程x十6x十2-0的 [辨析]解析(1)错误.当0 o1,a0时,数列(a.)是递减数列 两个根,所以aals-2.又因为aas=a}-2,所以a= 士2,所以a__a.士v②.故选D项. (2)错误,当ql,a0时,数列{a。)是递减数列。 (3)正确,若(a。)的公比为q,则).(d).(1a。l)的公比 u (1)A(2)D [例题3](1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为 a.a,a..,a.,由题意得a-13.5.a-13.5(1-10%). (4)正确,由等比数列的性质可知,命题正确 a-13.5(1-10%)②,..I.由等比数列的定义,知数列a。 (1)×(2)×(3)(4) 是等比数列,首项a-13.5,公比q-1-10%-0.9,所以 a=aq-13.5×0.9.所以n年后车的价值为a1= 关键能力·素养提升 13.5×0.9“(万元). [例题1]解方法一设前三个数分别为.a,aq(q-0),则 (2)由(1)得a=aq-13.5×0.9~8.9(万元). 十(2ag-a)-21.解得 所以用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. {# 第四个数为2a0一a.由题意得 [变式3]解析由题知,某制药公司今年共投入资金50万元进 a+aq-18, 行新药开发,并计划每年投入的研发资金比上一年增加 q-2或a-.当q-2时,a-6,这四个数为3,6.12,18;当 20%,满足等比数列模型,令a-50,q-1.2,所以a.-50· (1.2)-1,令a.-50·(1.2)w-1-250,所以(1.2)-1-5,所 -3时,a-45.这四个数为5.45.27,9 以n-1-log.:5- lg1.20.08 lg50.70 -8.75.所以n-9.75,又 方法二 设后三个数分别为a一d,a,a十d,则第一个数为 因为n为正整数,所以n-10. (a){},因此这四个数为(-)。 答10 ,a-d,a,a十d.由题意 a ({a-){}+(a+d)一21,解得{ 随堂检测·学以致用 fa=12. “或 1.A 因为aa一a{-16,且数列a.的各项都是正数 得 6 故 . 所以a:-4,由a-a·2-4a,得a-1.故选A项. a-d十a-18. {一 2.B 解因为aa:aasa-32,所以a-32,故a-2,所以 #(a)(2)}_4_2.故选B. d arXq #2 2 方法三 设第一个数为a,则第四个数为21一a,设第二个 3.翻设这8个数组成的等比数列为a。),则a一1,a一2.插 数为6,则第三个数为18一b,则这四个数为a,b,18-b, 3或 入的6个数的积为aasa:asa;a}-(aa)·(a:a)·(aa)= (a(18-b)-, 解得 21一a,由题意得 (aa)-2-8. -6 b(21-a)-2(18-b). 8 .140.