4.2.2.2 等差数列前n项和的最值和综合应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

方法二 由题意可设前12项中偶数项的和为x,奇数项的 (3)错误.当且仅当c=0时，数列{au}才是等差数列. x+y=354, 和为，则工=3 解得 x=192,所以6d=192-162= (4)错送，当(p叶g)是正整数，即p十q是偶数时，结论才 y27 y=162. 成立 30,所以d=5. 12a+124=354. (⑤)错误，只有当一员是正娄最时结论才成立。 2 ① 答索(1)×(2)√(3)×(4)×(5)× 方法三由题意知 6at+d0+65.2a 32 关键能力·索养提升 6a+.2a 27 ② [例题1]解扬(1)方法一当n≥2时.an=S.一S1=34一 21,又当1=1时，a1=S=32=34-2×1,满足am=34 由①知6a1=177一33d,将此式代入②得(177-3d)·32= 2m.故{am}的通项公式为au=34一2. (177+3d)·27,解得d=5. 方法二由Sn=一r十33n知S.是关于n的无常数项的 答案(1)A(2)5 [变式3]解析(1)因为{h}是等差数列，故十hs=十，所以 二次函数，所以数列{a}是等差数列，由S。的结构特征知 d an awetan astas2X (a+as)x20 2 =一1， 6平+牛6+-八+ 解得a1=32,d=一2，所以an=34-2m. 号×a+h)x20 d a-2 =33. S_3×20+1_61 (2)方法一令a≥0，得34一2n≥0，所以n≤17，故数列 T20+121 {a}的前17项大于或等于零.又a:=0,故数列{am}的前 (2)设等差数列的公差为d,首项为a1,则B-A=15d=45, 16项或前17项的和最大. 所以d=3.因为2A=B+615,即2A=A+45+615,则A= 660,等差数列的奇数项是以@1为首项，2d为公差的等差 方法二由)=一+33的对称轴为r=婴知，距离婴最 数列，等差数列{a。}的前30项中奇数项有15项，所以A= 近的整数为16,17.又Ss=S,=272,故数列{am}的前16 15a+1514×6=660,得a=2,所以a.=a4+m-1Dd 项或前17项的和最大. 2 2+3(n-1)=3n-1. [变式1]解杨(1)由a1=9,a4+a:=0,得a1+3d+a1+6d= 系1身(2)3-1 0,解得d=-2,所以an=a1十(n-1)·d=11-2n (n∈N). 随堂检测·学以致用 (2)方法一 由(1)知，a=9,d=-2.S,=9n+u"21). 2 1.A解析因为m=2一3l,所以a1=2一3=一1，所以S= 130=-号t+号，故选A项 (一2)=一n2十10n=一(n-5)2十25，所以当n=5时，S。取 得最大值，最大值是25. 2.C解析方法一设等差数列{a}的公差为d,首项为a, 方法二由(1)知，a1=9,d=一2<0，所以{am}是递减数 依题意可得，a2十a=a1十d十a1十5d=10,即a1十3d=5,又 as=(a+3l)(a1+7)=45.解得d=1,a=2,所以S= 列.令a≥0，则1-2n≥0，解得<号国为n∈N,所以 5a+5×d=5x2+10=20故选C项 n≤5时，am>0:n≥6时，a,<0,所以当n=5时，S。取得最 方法二a十a6=2a4=10,ads=45,所以a4=5,a=9,从而 大值，最大值是S=9X5-2x54-25 8升=1，于是a=a4,-d=5-1=4.所以s=5a=20 [例题2]解析从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： 小时)依次设为a1,a2,…,a·由题意可知，此数列为等差 故选C项 3.解折由题意得S4十Ss=148,S%一S+=50d=50.解得 数列，且a=24,公差d=-了，所以25锅翻斗车完成的工 Sw=99. 答多99 作量为a十a+…+am=25×24+25×12×(-号) 4,解折设等差数列{an}的公差为d,根据已知条件可以得到 =a+21-.得d=2. 500.而雾要完成的工作量为24×20=480.因为500>480， a,l·所以Sw=10a+10X9d 2 所以在24小时内能构筑成第二道防线 a,=a1+6d=13, [变式2]解析(1)由题意知，这女子每天织布的数量组成等差 10×1+10X9×2=100. 2 数列{a,其中a1=5,a=1,所以S6=30X(5+D=90. 答系100 第2课时等差数列前n项和的最值和综合应用 即共织布90尺，故选B项。 必备知识·基础落实 (2)由题意得，每天收到的捐款是以10为首项，10为公差的 要点 等差数列，设活动进行了n天，则10m+m")×10 2 1.号r+(a,-号)n 二次 1200,即m+n一240=0，解得n=15或一16（舍去），所以 活动进行了15天.故选D项. 2.(1)最大 am≥0， am≤0， a+1≤0 最小 (2)最小最大 au+1≥0 答率(1)B(2)D [辨析]解析(1)错误.当公差为零时，S。为一次函数。 [例题3]解析因为等差数列{a}的首项a1=3,公差d=2,所 (2)正确.由S=r+B,可知数列（倍}是等差数列，则 以前n项和S。=a,+m)Dd=3m+u"×2=r+ 2 2 点(，音)n∈N)在同-条直线上 ·138 所以安+安+…+发=[(-号)+（合）十 (3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列， (4)错误.当两数同号且不为零时才有等比中项，异号时不 (兮)+…+（片）+（分-2）门 存在等比中项 (5)错误.如数列0,0,5就不是等比数列，所以0不是等比 (+号中2)-m2 中项。 答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)X [变式3]服因为a,=2w-2w+币=专×(2片 关健能力·素养提升 2小所以8=十3十十79+十 [例题1]解析(1)设等比数列{a}的首项为a1,公比为g: 22-D+2-2n-[1-)+(月 1 方法一 因为片以但释 1a1q=8②. 号)+（信）+…+（品品）+（动 4,从而g=新，而a对=2，于是a=号=之所以a= ag-1=224 2)]-2(1-2nh)-2 方法二因为a,=ag,所以日=4，即q=江.所以a。= 随堂检测·学以致用 a4g+=2()+=24. 1.B解析因为等差数列前n项和S,的形式为S.一Am十 (2)方法-由题意可得十a6=a9十a=18, ③ Bm,属于常数项为零的函数表达式，所以S。=㎡+21十1十入 a十as=a1+ad=9,④ 中，1+1=0，即=一1.故选B项. 2.D解析因为am=26-21,所以公差d=aw一aw-1=-2,所 号得g专从而a-2又a-1,所以2×（号）厂-1 以数列{a}为等差数列.又a=26-2×1=24,所以Sn= 即26-=20，所以n=6. 24m+a"2×(-2)=-+25n=-(m-2)）'+空因 方法二因为a十a4=q(a:十as),所以g=2.又ag十 2 为n∈N,所以当n=12或13时，S最大.故选D项. a1q=18,所以4=32.由an=a11=1,知n=6. 3.A解扬由题意可知，九个儿子的年龄成公差d=一3的等 [变式1门解析(1)由题意和等比数列的通项公式得，6=3X 差数到，且九项之和为207，放S=90十9空81=80 (-2)-1=-96. 108=207,解得a1=35.故选A项. （2)设等比数列的公比为g,则T=20:解得？=2。所 a1d=160, a1=5. 置记（十动的前n项和为8.周为示十n 以a,=a11=5X2"1,n∈N. [例题2]解标设该等比数列的公比为4， 号（日-）：所以8=[(-)+（合吉）计 所以a+a+a-168. (}-君)+（号-）+…+(n是2)+( a1q-a1W=42, 所以a1+g+)=168, ① 中)+（日）小1++片 1 a9(1-q)=a1q(1-q)(1十q+)=42, ② 3m+12m+11 ②÷①得q1一g)=子，解得g=合，所以a,=g号 42 42 =96.设G是a,a:的等比中项，则应有G心 aS 3(D)(2(3) 3m2+12+11 -（） 4.3等比数列 ·a=a4·a4=aig”=96·(） =9,所以as,a 的等比中项是士3. 4.3.1等比数列的概念 [变式2]解析(1)因为2，a,18成等比数列，所以d2=2×18 36,所以a=士6.故选C项. 第1课时等比数列的概念及简单表示 (2)因为=（一1）×（一9）=9，且b与首项一1同号，所以 必备知识·基础落实 b=一3，且a,c必同号，所以ac==9.故选B项. 要点一 答(1)C(2)B 2前比同一个公比公比q0 要点二 [例题3]国明方法一由已知得行=ac,2=d,冬-，即 等比数列了=ab bc=ad.因为(b+c)2=+c2+2hc=ac+d+bc+ad= 要点三 (a+b)·(c十d),而a十b,b+c,c+d均不为零，所以a+b, 1.ai b十c,c十d成等比数列. 要点四 方法二由巳知，可设b=aq,c=aq,d=aq(q为常数且 点列m,a)f)=号·g孤立的点 9≠0)，因为a十b,b十c…c十d均不为零，所以 [辨析]解析(1)错误.根据等比数列的定义知，只有比值为同 一个常数时，该数列才是等比数列， 照得牛哥-是哥=脚牛-所以 a+bb+c (2)错误.当公比为零时，根据等比数列的定义知，数列中的 a十b,十c,c十d成等比数到. 项也为零 [变式3]解析(1)证明：因为au+:=2a。十1，所以a+1十1= ·139·第四章数列 【例题3】(1)数列{an},{bn}均为等差数列，前n 【变式3】(1)已知Sn,T.分别是等差数列{am, 项和分别为5工若受-3法，则哈 21 6的前项和，且受-a∈N).则 10 A贵 A符 c号 n昌 b十bgbs+bs (2)已知等差数列{am}的前30项中奇数项的 (2)一个等差数列的前12项和为354，前12 和为A,偶数项的和为B,且B一A=45,2A= 项中偶数项的和与奇数项的和之比为32： B+615,则a.= 27,则该数列的公差为 随堂检测学以致用 答案见P L.已知数列{a.}的通项公式为a=2一3m,则 A.25 B.22 C.20 D.15 {an}的前n项和S.= ( ) 3.已知在等差数列{am)中，公差d=1,且前100 项和为148，则前100项中的所有偶数项的和 为 c多r+号 nr-号 4.记Sn为等差数列{am}的前n项和，若ag=5, 2.(2023·全国甲)记S.为等差数列{a.}的前n a,=13,则S1o= 项和.若a2十as=10,a4ag=45,则S=( 是示完成Px课时作业（五） 第2课时 等差数列前n项和的最值和综合应用 [学习目标]1.会解决与等差数列前n项和的最值有关的问题，培养数学运算的核心素养（重点）.2.掌握等差 数列前n项和的综合应用，提升数学建模和数学运算的核心素养（难点）.3.会用裂项相消法求和，强化数学运 算的核心素养（重点） 必备知识基础落实 答案见Pa 要点等差数列{an}的前n项和公式S,的函 ”的二次函数，它的图象是抛物线y=号+ 数特征 1.前n项和公式S.=a+nn,1Dd可化成关于 (a一号)x上横坐标为正整数的一系列孤立 的点 n的表达式S.= 当d≠0时， 2.等差数列前n项和的最值 S.关于n的表达式是一个常数项为零的二次 (1)在等差数列{an}中，当a1>0,d<0时，S 函数式，即点(n,S)在其相应的 函数 有 值，使S,取得最值的n可由不等 的图象上，即等差数列的前n项和公式是关于 式组 确定；当a<0,d>0时，S有 ·19· 数学选择性必修第二册课堂学案 值，使S,取得最值的n可由不等式 组 确定。 (a受)aEN)在铜-条直线上（) (3)已知数列{an}的前n项和公式为S.= (2)5.=号示+(a一号)m,若d≠0.则从二次 an2十bn十c,则数列{an}是等差数列.（) 函数的角度看：当d>0时，S有 值： (4)设等差数列{am}的前n项和为S.,且S。= 当d<0时，S有 值.当n取最接近对 称轴的自然数时，S取到最值. S,(p,9∈N),则S.在n=2(p十g)处取得最 辨析 大值或最小值。 ()） 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (5)若等差数列{a.}的前n项和S.=An2十Bm (1)等差数列{an}的前n项和S.都可以写成二 (A≠0)，则其最大值或最小值一定在=一县 次函数S=An+Bn. (2)若S为等差数列{an}的前n项和，则点 处取得. 关键能力素养提升 答案见P 探究一等差数列前n项和S。的最值 (2){a.}的前多少项和最大？ 规律总结 (1)等差数列前n项和S,最大（小）值的情形 444444+444444444444444444444444444444444444 ①若a1>0,d<0,则Sn存在最大值，即所有 非负项之和 ②若a1<0,d>0,则S。存在最小值，即所有 非正项之和， 【变式1】已知在等差数列{a.}中，a1=9,a,十 (2)求等差数列前n项和S。最值的方法 a=0. ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的 (1)求数列{a.}的通项公式： am≥0， aa≤0， (2)当n为何值时，数列{a}的前n项和取得 性质或利用 或 来寻找。 anm+1≤0aw+1≥0 最大值？最大值是多少？ ②利用到y=ax2十bx(a≠0)图象的对称轴 距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近 且关于对称轴对称的两个整数的对应项作为 正、负项的分界点。 【例题1】已知数列{a.}的前n项和S.=33n一n. (1)求{a.}的通项公式： ·20 第四章数列 探究二等差数列前项和的实际应用 今三十织迄，问织几何”其大意为：有个女子 不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第 答题模板 一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完， 则三十天共织布 根据题没条件，建立数列模型： A.30尺 建 分析实际问题的结特征： B.90尺 ②找出：所含元素的散受美系： 得：俯定为何神数列模型 C.150尺 D.180尺 (2)某中学“希望工程”募捐小组暑假期间走 刘用相关的敖列如加识加以的决： 解族 分清穷项、公苦、项数年： 上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款 健分清是求a还是S: ③这M造当的方法求解 1200元.他们第1天只得到10元，之后采取 了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款 还原 把效学问題的解客观化，针对实 都比前一天多10元，则这次募捐活动一共进 际问题的的来条件合理修正，使 其成为实际问题的解 行的天数为 A.20 B.19 C.16 D.15 【例题2】某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一 洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到 来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经 计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调 用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前 探究三 裂项相消法求和 只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻 斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时 规律总结 内能否构筑成第二道防线？ 用裂项相消法求数列的前n项和的基本思想 是设法将数列的每一项拆成两项之差，并使 它们在相加时除了首尾各有一项或少数儿项 外，其余各项都能前后相消，进而求出数列的 前n项和，几种常见的裂项方法： 1 (1) (2) n+k十n vm+k一m: (32m-2n+D-22-12 1/1 (4) 1 n(n+1)(n+2) = (n+10(n+2)J: 【变式2】(1)《张丘建算经》是我国古代内容极为 (5)若数列{am}是等差数列，且公差d≠0，则 丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女 1 1/1 am·a+1 dd。aw+ 不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺， ·21· 数学选择性必修第二册课堂学案 【例题3】等差数列{an}中，a:=3,公差d=2,S。 【变式3】已知数列{an的通项公式为an= 为崩n项和，求十十…十 (2-1)(2n+1),求数列{a,}的前n项和S. 44 随堂检测学以致用 答案见Pn L.数列{a.}为等差数列，它的前n项和为S。,若 数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲 S.=(n十1)2十A,则入的值是 ( 歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年 A.-2 B.-1 总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借 C.0 D.1 问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题 2.已知数列{an}满足an=26一2n,则使其前n项 中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a.,则 和S.取最大值的n的值为 ( d1= A.11或12 B.12 A.35 B.32 C.13 D.12或13 C.23 D.38 3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学 4数列十3的前知项和为 家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学 知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多 提示完成Ps课时作业（六）和P培优训练（一） 4.3 等比数列 4.3.1等比数列的概念 第1课时等比数列的概念及简单表示 [学习目标]1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，培养数学抽象的核心素养（重点）， 2.体会等比数列与指数函数的关系，发展逻辑推理的核心素养。 ·22·