4.2.2.1 等差数列的前n项和公式及其性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2.2等差数列的前n项和公式 由等差数列的性质和S%一Tm=99知，99am一99b=99, 即a0-=1, 第1课时等差数列的前n项和公式及其性质 所以40-250=1，即a,-4-250=0,解得4=51 a50 必备知识·基础落实 或a0=-50(含去). 要点一 当a1=2d时，am=a,+49d=51d=51,解得d=1,与d>1 n(a1十an) 2 naunDd 矛盾，无解： 2 [思考]提示运用性质“等差数列{am}中，若m十n=p十g,则 当a,=d时a=au+491=5801=51,解得d=品 am十am=ap+a,”,从而a1+an=ag十an1=…= ae十aw-ri. 蝶上d-哥 要点二 [例题2]解粉方法一设等差敏列{a.}的首项为a1,公差为 1.等差 10a+10Xg0-D4=100. 2.等差 2 a,=1099 100” d,则 解得 所 3.Sm+b=0 100a1+100xg00-Dd=10. 2 d品 4.(1)d4 (2)a。1-1 以s。=1m+10xg0-Dd=1ox1☏+bX× 2 2 (-)=-110, [辨析]解扬(1)正确.由前n项和的定义可知， 方法二因为S。=100,S1m=10,所以S1m一S1a=41十 (2)错误.例如数列{am}中，Sn=r2十2，当n≥2时，am= S-S。-=m2-(n-1)2=2n-1.又因为a1=S,=3,所以 a十as十au十…十am=90ana）=一90，所以au十 2 a不满足aw=S一S。-1=21-1,故命题错误. am=一2.又因为a1十a10=a11+a1m=一2，所以S0= (3)错误.若Sn为等差数列{an}的前n项和，则S2,S,一S, 110(a:+a1o2=-110. S-S成等差数列. 2 (4)正确.由等差数列前项和公式的推导可知 方法三因为S0,Sn一S0,Sm一Sw,·,S1m-S,S1o 答系(1)/(2)×(3)×(4)/ S,…成等差数列，所以设公差为d,则该数列前100项和 关健能力·素养提升 为10X10+1024=10,解得d=-2,所以前10项和 [例题1]解粉(1)方法一因为46=10，S=5,所以 巴解释份有以-a+2=1 5n=11X100+10X14=1×100+10×号×(-2)= 2 -110. 方法二 因为S=S+=15,所以15=6aa),即 2 方法四设数列{a,}的公差为d,由S,=a1十mm,Dd, 2 3(a+10)=15.所以a1=-5,d=a4=3.所以a= 得丹=a十号m一1，所以数到{倍}是等差数列，共公差 a6+2d=16. 为号.所以品一若=10-10)×号，且器一需 (2)方法-因为a十a,=a+4+a+3d=8,所以a1十 10-10)×兰.代入已知数值，消去d,可以得到Sm= 21=.所以5，=5a+10d=5a,+2)=5×4=24 -110. 方法三因为a十a=a十a,所以a1十a=,所以 方法五令S.=Ar十B,由S=100,Sm=10,可以得到 11 100A+10B=100, s=5a2=号×8=24. 解得 A=一100 110000A+100B=10. 所以So=110A+ 2 [变式1门解析(1)因为3a2=3a1十aa,所以3d=a1十2d,解得 a1=d,所以S=3a=3(a1十d0=6d. 10B=10×(-品)+10× =-110. 又T万=6+松+6=子+8+品-是 [变式2]解粉在等差数列中，因为Sm,Sm一S,Sm一Sm成等 差数列，且Sm=30,Sm=100,所以30,70，S-100成等差 所以s+T=6d+号-21， 数列，所以2×70=30十(Sm一100)，所以Sm=210. 即2d-7d+3=0,解得d=3或d=号（舍去） [例题3]解析(1)因为数列{am},{b}均为等差致列，且S.,T 分别为它们的前m项和，所以器一器 aitanx13 2 所以am=a,+(1-1)·d=3n. (2)因为{6}为等差数列， b+b×13 2 所以26=+6，即12=2+2」 常洁2-是故选Λ现 所以6（品山）-品-印d-ad+2f=0,解得 (2)方法一根据题意知，前12项中偶数项的和比奇数项 a1=d或a1=2d, 的和多354X3222,其值为6d,则d=[354X(32-27)÷ 32+27 因为d>1,所以aw>0, (32+27)]÷6=5. ·137· 方法二 由题意可设前12项中偶数项的和为x,奇数项的 (3)错误.当且仅当c=0时，数列{au}才是等差数列. x+y=354, 和为，则工=3 解得 x=192,所以6d=192-162= (4)错送，当(p叶g)是正整数，即p十q是偶数时，结论才 y27 y=162. 成立 30,所以d=5. 12a+124=354. (⑤)错误，只有当一员是正娄最时结论才成立。 2 ① 答索(1)×(2)√(3)×(4)×(5)× 方法三由题意知 6at+d0+65.2a 32 关键能力·索养提升 6a+.2a 27 ② [例题1]解扬(1)方法一当n≥2时.an=S.一S1=34一 21,又当1=1时，a1=S=32=34-2×1,满足am=34 由①知6a1=177一33d,将此式代入②得(177-3d)·32= 2m.故{am}的通项公式为au=34一2. (177+3d)·27,解得d=5. 方法二由Sn=一r十33n知S.是关于n的无常数项的 答案(1)A(2)5 [变式3]解析(1)因为{h}是等差数列，故十hs=十，所以 二次函数，所以数列{a}是等差数列，由S。的结构特征知 d an awetan astas2X (a+as)x20 2 =一1， 6平+牛6+-八+ 解得a1=32,d=一2，所以an=34-2m. 号×a+h)x20 d a-2 =33. S_3×20+1_61 (2)方法一令a≥0，得34一2n≥0，所以n≤17，故数列 T20+121 {a}的前17项大于或等于零.又a:=0,故数列{am}的前 (2)设等差数列的公差为d,首项为a1,则B-A=15d=45, 16项或前17项的和最大. 所以d=3.因为2A=B+615,即2A=A+45+615,则A= 660,等差数列的奇数项是以@1为首项，2d为公差的等差 方法二由)=一+33的对称轴为r=婴知，距离婴最 数列，等差数列{a。}的前30项中奇数项有15项，所以A= 近的整数为16,17.又Ss=S,=272,故数列{am}的前16 15a+1514×6=660,得a=2,所以a.=a4+m-1Dd 项或前17项的和最大. 2 2+3(n-1)=3n-1. [变式1]解杨(1)由a1=9,a4+a:=0,得a1+3d+a1+6d= 系1身(2)3-1 0,解得d=-2,所以an=a1十(n-1)·d=11-2n (n∈N). 随堂检测·学以致用 (2)方法一 由(1)知，a=9,d=-2.S,=9n+u"21). 2 1.A解析因为m=2一3l,所以a1=2一3=一1，所以S= 130=-号t+号，故选A项 (一2)=一n2十10n=一(n-5)2十25，所以当n=5时，S。取 得最大值，最大值是25. 2.C解析方法一设等差数列{a}的公差为d,首项为a, 方法二由(1)知，a1=9,d=一2<0，所以{am}是递减数 依题意可得，a2十a=a1十d十a1十5d=10,即a1十3d=5,又 as=(a+3l)(a1+7)=45.解得d=1,a=2,所以S= 列.令a≥0，则1-2n≥0，解得<号国为n∈N,所以 5a+5×d=5x2+10=20故选C项 n≤5时，am>0:n≥6时，a,<0,所以当n=5时，S。取得最 方法二a十a6=2a4=10,ads=45,所以a4=5,a=9,从而 大值，最大值是S=9X5-2x54-25 8升=1，于是a=a4,-d=5-1=4.所以s=5a=20 [例题2]解析从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位： 小时)依次设为a1,a2,…,a·由题意可知，此数列为等差 故选C项 3.解折由题意得S4十Ss=148,S%一S+=50d=50.解得 数列，且a=24,公差d=-了，所以25锅翻斗车完成的工 Sw=99. 答多99 作量为a十a+…+am=25×24+25×12×(-号) 4,解折设等差数列{an}的公差为d,根据已知条件可以得到 =a+21-.得d=2. 500.而雾要完成的工作量为24×20=480.因为500>480， a,l·所以Sw=10a+10X9d 2 所以在24小时内能构筑成第二道防线 a,=a1+6d=13, [变式2]解析(1)由题意知，这女子每天织布的数量组成等差 10×1+10X9×2=100. 2 数列{a,其中a1=5,a=1,所以S6=30X(5+D=90. 答系100 第2课时等差数列前n项和的最值和综合应用 即共织布90尺，故选B项。 必备知识·基础落实 (2)由题意得，每天收到的捐款是以10为首项，10为公差的 要点 等差数列，设活动进行了n天，则10m+m")×10 2 1.号r+(a,-号)n 二次 1200,即m+n一240=0，解得n=15或一16（舍去），所以 活动进行了15天.故选D项. 2.(1)最大 am≥0， am≤0， a+1≤0 最小 (2)最小最大 au+1≥0 答率(1)B(2)D [辨析]解析(1)错误.当公差为零时，S。为一次函数。 [例题3]解析因为等差数列{a}的首项a1=3,公差d=2,所 (2)正确.由S=r+B,可知数列（倍}是等差数列，则 以前n项和S。=a,+m)Dd=3m+u"×2=r+ 2 2 点(，音)n∈N)在同-条直线上 ·138第四章 数 列 4.2.2 等差数列的前x项和公式 第1课时 等差数列的前项和公式及其性质 [学习目标]1.探索并掌握等差数列的前n项和公式,发展逻辑推理和数学抽象的核心素养(重虑).2.掌握等 差数列前n项和的性质及应用,强化逻辑推理和数学运算的核心素养(雌). 必备知识 基础落实 答案见Pr 要点一 等差数列的前”项和公式 n(a.十a.)(a,a为中间两项):S-S= 已知量 首项、末项与项数 首项,公差与项数 求和公式 (2)若项数为奇数2n-1,则S--(2n-1)a >思考:等差数列a。的前n项和公式的推导 (a.为中间项):S-S一 中,运用了哪条性质? 5.若数列a.与6均为等差数列,且前n项和 要点二 等差数列前:项和的性质 辨析 1.“片段和”性质 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 若a为等差数列,前n项和为S,则S (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a S一S,S一S,..也为 数列. 起,一直到第n项a。所有项的和 (2)a.一S一S(n二2)化简后关于n与a。的 函数式即为数列a。的通项公式 数列. ) 3.等差数列a。中,若S一S(n去p),则 (3)已知S.为等差数列的前:项和,则 S..S.S成等差数列 . ) 4.在等差数列a中,d为公差. (4)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序 相加法. (1)若项数为偶数2n,则S.一n(a十a。)一 ) 关键能力素养提升 答案见P 探究一:等差数列前x项和的有关计算 (1)知三求一:a,d,n称为等差数列的三个 基本量,在通项公式和前n项和公式中,都含 规律总结 有四个量,已知其中的三个可求出第四个。 求数列的基本量的基本方法 (2)知三求二:五个量a,d,n,,S中可知 求数列的基本量的基本方法是构建方程或方 三求二,一般列方程组求解,体现了方程的 程组或运用数列的有关性质进行处理 思想. 。17. 数学 选择性必修 第二册 课堂学案 【例题1】已知等差数列a.. 探究二 等差数列前”项和的性质 (1)若a-10.S-5,求as 解题技巧 (1)等差数列前n项和计算的思维方法:一是 通性通法;二是使用S.和a。之间的关系;三 是使用前”项和“片段和”的性质:四是使用 性质“{S{也是等差数列”;五是利用前n项 和可用S.一An^}十Bn表示的特点,这五种解 法从不同角度应用了等差数列及其前n项和 的性质,并灵活选用前项和公式,使问题快 速得到解决. (2)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与 偶数项和之比的问题,一般用性质来求解 【例题2】已知等差数列(a。的前n项和为S,且 S。-100,S-10,求So. 【变式1】(2023·新课标I)设等差数列a. 的公 差为d,且d>1.令”^”,记S,T.分别 为数列a,。的前”项和 (1)若3a =3a +a,S+T-21,求a 的 通项公式; (2)若6)为等差数列,且S。-T。一99,求d 【变式2】等差数列a。)的前m项和为30,前2m 项和为100,求数列a.的前3n项和S. .18. 第四章 数 列 【例题3】(1)数列a。),6.)均为等差数列,前” 【变式3】(1)已知S.,T.分别是等差数列(a 27 (nN),则 n1 ( - AA B) D.1 #b+b1s b+b15 (2)已知等差数列a.)的前30项中奇数项的 (2)一个等差数列的前12项和为354,前12 和为A,偶数项的和为B,且B一A-45,2A 项中偶数项的和与奇数项的和之比为32; B+615,则a.- 27,则该数列的公差为 随堂检测学以致用 答案见Po A.25 B.22 C.20 1.已知数列a。)的通项公式为a=2一3n,则 D.15 a。的前n项和S 3.已知在等差数列q)中,公差d=1,且前100 A.- $B.-3_ 项和为148,则前100项中的所有偶数项的和 为。 C. #D# 4.记S.为等差数列a。)的前n项和,若a。-5 2.(2023·全国甲)记S.为等差数列(a.)的前 a-13,则S。= 项和.若a+a-10,a:a=45,则S=( I示完成P:课时作业(五) 第2课时 等差数列前,项和的最值和综合应用 [学习目标]1.会解决与等差数列前n项和的最值有关的问题,培养数学运算的核心素养(重虑).2.掌握等差 数列前n项和的综合应用,提升数学建模和数学运算的核心素养(难点).3.会用裂项相消法求和,强化数学运 算的核心素养(重点). 必备知识基础落实 答案见P 要点 等差数列a.的前n项和公式S.的函 数特征 (a-)x上横坐标为正整数的一系列孤立 2 的点. n的表达式S一 .当-0时, 2.等差数列前:项和的最值 S.关于n的表达式是一个常数项为零的二次 (1)在等差数列a中,当a>0,d0时,S 函数 函数式,即点(n,S)在其相应的 有。 值,使S.取得最值的n可由不等 的图象上,即等差数列的前:项和公式是关于 式组 确定;当a0,0时,S.有 .1.