4.1.2 数列的递推公式与an和Sn的关系-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.数列1,3,6,10，x,21,…中，x的值是( A.12 B.13 C.15 D.16 D.1w2,3,…,/21 2.(多迭)下面四个数列中，既是无穷数列又是递 3.已知数列{aw}的通项公式为a.=log(2+1) 增数列的是 (n∈N),则a3= 4.已知数列3，√7，√1I,√15，…，则该数列的一 个通项公式为 2 3 Bsin7,sin7x,sin号x,…,sin号元，… 提示完成Ps课时作业（一） 第2课时数列的递推公式与an和Sn的关系 学习目标]1.理解递推公式的舍义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握递推公式的应用，增强逻辑推理的核心 素养（难点）.3.会用4与S。的关系求通项公式，增强数学运算的核心素养（重点 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 数列的递推公式 之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即 1.定义 S.= 已知一个数列的首项（或前几项），如果这个数 2.公式 列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个 如果数列{am}的前n项和S.与它的 式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么 推公式 这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是 2.数列的递推公式与通项公式的关系 有an= 辨析 递推公式 通项公式 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 表示a,与它的前一项 表示a。与 (1)所有的数列都有递推公式. () 区别 (或前几项)之 之间的关系 (2)若数列{a.}的前n项和为S.,且对任意n∈ 间的关系 N°，都有S+1>Sn,则数列{an}是递增数列. (1)都是表示数列的一种方法： 联系 (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通 (3)若已知数列{an}的递推公式为a+1= 项公式 2a,且a:=1,则可以写出数列{a,}的任何 1 要点二 数列的前项和 一项 () 1.定义 (4)如果数列{am}的前n项和为Sm,则对任意 数列{a}从第项起到第 项止的各项 n∈N”,都有aw+1=S+1一Sn () 8 第四章数列 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 由递推公式求数列中的项 【变式1】已知在数列{a.}中，a1-1,a2=2,a+2= a+1一aa,n∈N”,试写出ag,a,a5,a6,a,aa, 规律总结 你发现数列{am}具有怎样的规律？你能否求 出该数列中的第2028项？ 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，弄清楚 公式中各部分的关系，依次代入计算即可 (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成 用后面的项表示前面的项的形式，如a.= 2a-t+1. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成 用前面的项表示后面的项的形式，如a+1= a-1 2 【例题1】写出下列数列{a}的前5项. aa=3a=(-1y·2a6≥2.eN4 (2)a=1,an=3aw-1+1(n≥2，n∈N). ++4+++4+44++4+4+++4+4+++4++44+4+++4+4+44++ 探究二 由递推公式求通项公式 规律总结 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)累加法：若已知a1且am一a-1=f(n) (n≥2)，则(an-a-1)+(ag-1一a-)+…十 (as-a:)+(az-a)=a-a=f(n)+f(n- 1)+…+f(3)+f(2),即am=a1+f(2)+ f(3)++f(n-1)+f(n). (2)累乘法：若已知a1且a=f(n)(n≥2)， a 则a.4.….=a=f(n)·f(n av1 dn-2 ai a 1)·…·f(3)·f(2),即am=a·f(2)· f(3)·…·f(n-1)·f(n). 数学选择性必修第二册课堂学案 【例题2】(1)已知数列{a.}满足a1=一1，u+1= 探究三利用a.与S,的关系求通项公式 an十n,n∈N°，求通项公式an. (2)设数列{a.}中，a=1,a.=（1-)a 答题模板 (n≥2)，求通项公式an 用au与S。的关系求am的步骤 (1)先确定n≥2时aw=Sw一S-t的表达式； (2)再利用Sn求出a1(a1=S1): (3)验证a1的值是否适合a.=Su一S。-1的表 达式： (4)写出数列的通项公式 【例题3】已知数列{a.}的前n项和S.=2r2一3n, 则数列{an}的通项公式an= 【变式2】已知数列{am}中，a1=1,aw+1= aw十3 (n∈N),求通项公式a… 【变式3】已知数列{a.}的前n项和S.=3”十1，则 数列{an}的通项公式an= 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是 ( 3.已知数列{am}满足a1=2,aw+1一aw十1=0(n∈ A.am=am-1十2(n≥2) N),则此数列的通项公式a.= () B.a=2ar-1(n≥2) A.n2+1 B.n+1 C.a1=2,an=am-1十2(n≥2) D.4=2,am=2aw-1(n2) C.1-n D.3-n 2数列云中，若石=1-一1，则 4.设数列{am}的前n项和为Sm,且Sn= T2025 ( a(④°-1D,若4，=32，则a=—1 3 A.-1 B.7 C. D.1 提示完成P,课时作业（二） ·10·[变式4](1)令”-7n-8<0,解得-1 n 8,所以正整 a-al=(a!-a)-aa+!--a,所以a→6- 数n可取1,2,3,4,5,6.7.故数列从第1项至第7项均为负 -a-》-一(-a。)-a.,所以数列{a.是周期数列,且T一 数,共7项. 6.所以ao28-ax6+-a--1. (2)方法一 因为y=r-7x-8是关于x的二次函数,其 [例题2](1)因为a-a.=n,所以a-a=l,a-a= 2-3.5,所以当1<n<3时,{a。)单调 对称轴方程为一 2,a-a-3,..,a-a-!-n-1.以上各式累加得,。 2,所以a。1-”(n-1),所 递减;当n4时,{a。)单调递增,所以当n-3或n-4时, a=1+2+.+n-1-n(n-1 2 2 数列(a。有最小项,且最小项为a一a--20. 以a_-1(n2).又因为n-1时,a=-1,符合上 a。<a:-!即 2 方法二 不妨设a。为数列a。)的最小值,则 式,所以a.--”-1(nN). l.a: 2 -7n-8<(n-1)-7(n-1)-8. 解得3<n<4,故当 -7n-8<(n+1)-7(n+1)-8. n-3或n一4时,数列a有最小项,且最小项为a 1.所以.a= a1?- a--20. 2: 随堂检测·学以致用 1.C 霜因为3-1-2,6-3-3,10-6-4,所以x-10-5.$ 时,a:-1,符合上式,所以a.-1(neN). 21-x-6,解得x-15.故选C项. 2.AC 解析A,C项既是无穷数列又是递增数列;B项是无穷 dt3d. 数列但不是递增数列;D项是有穷数列.故选AC项. 3.解a-log(2+1)-logs9-2. aa a!。 2 a 4.解析因为3-4-I.7-4×2-I.11=4×3- 'aa-1 15- 4X4-I,所以a= 4n-1(nEN ). □□ 3 a.=v4n-1(nN) 第2课时 数列的递推公式与a.和S.的关系 [例题3]解当n2时,a.=S-S,=(2r-3n)-2(n 必备知识·基础落实 $)-3(n-1)]-4n-5;当n-1时,a-S-2-3--1. 要点一 由于a--1也适合a.-4n-5,所以a.-4n-5. 2.a_序号n 答n-5 要点二 [变式3]析当>2时,.=$-S--3+1-31-1 1.1na+a十.+a $·3;当n=1时,a=S-3+1-4,不满足a。=2· {Sn-1, 2.序号n (4,n-1. s.-S1.n2 3m-1,所以a.- 23n2. [辨析]翻(1)错误,并不是所有的数列都有递推公式. (4,n-1. (2)错误.如常数列1,1,1,1..,满足SS.,nN,但 答案 l2.3.n2 不是递增数列. 随堂检测·学以致用 1.C 解析A,B项中没有说明某一项的值,无法递推;D项中 a-1,解得a,-1,同理可得a.-1. a-2,a-4,a-8,不合题意,故选C项 (4)正确,由a。与前n项和S。之间的关系易知 2.D解将x=1代入.-1 2,再将 智(1)×(2)×(3)(4) 关键能力·素养提升 十1-1,得xs=1,所以数列的周期 [例题1](1)因为aì=,a。=(-1)”·2a.-(n2),所 为2,所以xo25=x.-1.故选D项. 3.D 解因为a-a.=-1,所以当n2时,a.=a十 以a=(-1)?.2a-- 3,a一 (a-a)十(a-a)十..十(a-a))=2十(-1)x(n- 1)-3一n.当n一1时.a一2也符合上式,故数列的通项公式 3,a=(-1)*·2a-16. a.-3-n(nN).故选D项. (2)因为a=1,a.-3a-1+1(n2),所以a=3a:+1-4. 4.因为S.-(4-1) 3 ,a-32,所以a.-S-S-32,所 -3+1-13,a-3a+1-40,-3a.+1-121. [变式1]析a-1,a-2,a-1,a--1,a--2,a--1. ③ 3 a-l,as-2,..f.发现:a。-a。,数列a.)具有周期性,周 期T一6.证明如下:因为a。=a:-a,所以a+ .134.