4.1.1 数列的概念及简单表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章数列 4.1数列的概念 第1课时数列的概念及简单表示 [学习目标]1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象，通项公式），形成数学 抽象的核心素养，2.了解数列是一种特殊函数，培养数学抽象的核心素养（重点），3.能根据数列的前几项写出 数列的一个通项公式，培养数学抽象的核心素养（重点）.4.掌握数列的通项公式及应用，发展逻辑推理与数学 运算的核心素养（难点） 4444444+4444 +4444 44 必备知识基础落实 答案见Pm 要点一 数列及其有关概念 要点三 通项公式 1.定义 如果数列{an}的 与它的 之间 一般地，把按照 排列的 称 的对应关系可以用一个式子am=f(n)来表示， 为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 那么这个式子叫做这个数列的 >思考：是否所有的数列都有通项公式？数列的 数列的第一个位置上的数叫做这个数 通项公式唯一吗？ 列的 (也叫做 ),常用符号a1表 示，第二个位置上的数叫做这个数列的， 用a2表示…第n个位置上的数叫做这个数 要点四数列与函数的关系 列的 ,用an表示. 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函 2.表示 数，关系如表所示 数列的一般形式是 ,简记 正整数集N”或它的有限子集(1,2， 为 ,这里n是项数， 定义域 3,…, 要点二 数列的分类 解析式 数列的通项公式 自变量从1开始，按照从小到大的顺序 分类标准 名称 定义 值域 依次取值时，对应的一列函数值 有穷数列 项数 的数列 表示方法 通项公式法（解析法）、列表法、图象法 按项的个数 无穷数列 项数 的数列 辨析 从第2项起，每一项都 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 递增数列 它的前一项的数列 (1)数列2,4,6,8，…，2n是无穷数列.( 按项的变化 (2)通项公式为a.=十1的数列是递增数列. 从第2项起，每一项都 趋势 递减数列 () 它的前一项的数列 (3)数列4,0，一2，一4，一6的首项是4.() 常数列 各项都 的数列 (4)30是数列a.=2-1中的某一项.() 第四章数列 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一数列的概念和分类 【变式1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是无 穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数 规律总结 列？哪些是常数列？ ①2014,2016,2018,2020,2022,2024： (1)有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是 ②1,3,32，…，3m; 有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有 1 限项还是无限项.若数列是有限项，则是有穷 数列，否则是无穷数列. 11 1 1 ④ 1×2'2X3 3X4'4X5…: (2)数列{am}的项的变化趋势：若满足a.< ⑤0,10,20，…，1000： ar+1,则{an}是递增数列；若满足an>an+1,则 ⑥9,9,9,9,9,9. {au}是递减数列：若满足an=an-1,则{an}是 常数列 【例题1】已知下列数列： ①2014,2015,2016,2017,2018,2019， 2020,2021,2022,2023,2024: @12… ④1,0，-1，sin受… ⑤2,4,8,16,32，…： ⑥-1，-1，-1，-1： 探究二 由数列的前几项求通项公式 ⑦0,0,0,0，…： ⑧0，-lg11,-2g11,-3g11,…,-10lg11: 规律总结 ⑨1,2,3,42，…，202. 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 根据数列的前几项求其通项公式时，需抓住 ,递增数列是 ,递减数 几个方面的特征： 列是 ,常数列是 (填 (1)各项的符号特征，通过（一1）”或（一1）叶 来调节正负项： 序号). (2)考虑分子、分母各个击破或寻找分子、分 母之间的关系： (3)相邻项（或其绝对值）的变化特征： (4)拆项、添项后的特征： (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律 数学选择性必修第二册课堂学案 【例题2】根据数列的前4项，写出下列数列的一 探究三通项公式的应用 个通项公式 规律总结 (1)已知数列{a.}的通项公式，求数列中的某 22228 一项：把n的值代入通项公式进行计算即可， (3)9.99,999,9999,. 相当于函数中，已知函数的解析式和自变量 的值求函数值 (2)已知数列{an}的通项公式，判断某一个数 是否为该数列中的项：假定这个数是数列中 的第项，由通项公式可得方程，解方程求得 n,若n是正整效，则该数是数列中的项；若方 程无解或不是正整数，则该数不是数列中 的项 (3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要 注意它的定义域是N(或它的有限子集{1， 2,3,…,n})这一约束条件. 【变式2】写出下列数列的一个通项公式，使它的 【例题3】数列{a,}的通项公式是a,=-2n 2 前4项分别是下列各数. (1)a,b,a,b: (n∈N). (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是， 11 (2) 1×2'2×33×4'4×51 应是第几项？ 3)221,3-1,4-153-1 (2)数列{a.}中是否存在连续且相等的两项？ 234,5月 若存在，分别是第几项？ (4)7,77,777,7777 第四章数列 【变式3】已知数列{an}的通项公式为a.= 【例题4】已知数列{an}的通项公式是an=(n十 3n-28m. 2)×(侣)(n∈N).试问数列a)中有没有 (1)写出此数列的第4项和第6项： 最大项？若有，求出最大项和最大项的位置 (2)一49是否是该数列的项？如果是，应是 序号：若没有，说明理由 哪一项？68是否是该数列的项呢？ 【变式4】已知数列{a.}的通项公式为a.=n一 7n-8. (1)数列中有多少项为负数？ (2)数列{a.}是否有最小项？若有，求出其最 小项 探究四 数列的最值 规律总结 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令4m=f(n),通过研究 f()的单调性来研究数列的最大（小）项 a≥a+1 (2)不等式组法：先假设有最大项a,则 a≥an-1y 解不等式组求出n的范围，从而确定n的值； 先假设有最小项a,则 u≤l'解不等式 aw≤ag-tt 组求出n的范国，从而确定刀的值 7 数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.数列1,3,6,10，x,21,…中，x的值是( A.12 B.13 C.15 D.16 D.1w2,3,…,/21 2.(多迭)下面四个数列中，既是无穷数列又是递 3.已知数列{aw}的通项公式为a.=log(2+1) 增数列的是 (n∈N),则a3= 4.已知数列3，√7，√1I,√15，…，则该数列的一 个通项公式为 2 3 Bsin7,sin7x,sin号x,…,sin号元，… 提示完成Ps课时作业（一） 第2课时数列的递推公式与an和Sn的关系 学习目标]1.理解递推公式的舍义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握递推公式的应用，增强逻辑推理的核心 素养（难点）.3.会用4与S。的关系求通项公式，增强数学运算的核心素养（重点 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 数列的递推公式 之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即 1.定义 S.= 已知一个数列的首项（或前几项），如果这个数 2.公式 列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个 如果数列{am}的前n项和S.与它的 式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么 推公式 这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是 2.数列的递推公式与通项公式的关系 有an= 辨析 递推公式 通项公式 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 表示a,与它的前一项 表示a。与 (1)所有的数列都有递推公式. () 区别 (或前几项)之 之间的关系 (2)若数列{a.}的前n项和为S.,且对任意n∈ 间的关系 N°，都有S+1>Sn,则数列{an}是递增数列. (1)都是表示数列的一种方法： 联系 (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通 (3)若已知数列{an}的递推公式为a+1= 项公式 2a,且a:=1,则可以写出数列{a,}的任何 1 要点二 数列的前项和 一项 () 1.定义 (4)如果数列{am}的前n项和为Sm,则对任意 数列{a}从第项起到第 项止的各项 n∈N”,都有aw+1=S+1一Sn () 8课堂学案答案 第四章数列 积的例数，且寺载项为真，倍载项为正，故a,六 4.1数列的概念 (3这个疑列的前4项分刷为22，号，，5号 3 45 其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1， 第1课时数列的概念及简单表示 故a,=n+1)2-1 必备知识·基础落实 n+1 要点一 (④这个数到的前4项可以支为行×9，号×9，号×9。 1.确定的顺序一列数项第1项首项第2项 第n项 号×999，脚号×10-10.号×(10-D,号×100 2.a1,a2,aa…,am… {a. 10,号×(1000-1.即号×(10-10，号×(10-10. 要点二 有限无限大于小于相等 号×0-1，号×0-1D.所以它的-个道项公式为 要点三 第n项a:序号n通项公式 a=号0-D.meN. [思考]提示不是，数列的通项公式实际就是相应函数的解析 [例题3]器损(1)若0是a,中的第n项，则心，21”=0，因为 式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函 n∈N°，所以n=21,所以0是{aa}中的第21项.若1是 数都能用解析式表示一样.数列的通项公式不唯一 [辨析]解析(1)错误.无穷数列的未尾带有… {a,}中的第n项，则21n=1,所以一21n=2,即 2 (2)正确.a.=n十1对应的函数y=x十1是增函数，所以 21n一2=0，因为方程m一211-2=0不存在正整数解，所 am=n十1是递增数列. 以1不是{an}中的项. (3)正确.第一个位置上的敦是首项 (2)假设{a.}中存在第m项与第m十1项相等，即am (4)错误.当2-1=30时，n的值不是正整数. a1,p-,21m_[m+1-210m+】,解得m=10. 答率(1)×(2)√(3)√(4)× 2 2 关键能力·素养提升 所以数列{am}中存在连续且相等的两项，分别是第10项与 第11项. [例题1门解析①是有穷数列且是递增数列：②是无穷数列且是 [变式3]解析(1)a:=3×4一28×4=-64，a6=3×62-28× 递减数列：③④是无穷数列：⑤是无穷数列，也是递增数列： 6=-60. ⑥是有穷数列，也是常数列：⑦是无穷数列，也是常数列：⑧是 有穷敏列，也是递减数列：⑨是有穷数列，也是递增数列. (2)令3m-28m=-49,解得月=7浅n=子（含去），所以 答案①⑥8⑨②③④⑤①①⑤⑨②⑧⑥) 一49是该数列的第7项：令3m-28n=68,解得n=-2或 [变式1]解析①②⑤是有穷数列：③④⑥是无穷数列：①②⑤ 川=兰，均不合题意，所以63不是该数列的项 是递增数列：③是递减数列：⑥是常数列， [例题2]解析(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒 [例题服罚方法-a1一a,=(n十3)×（冬）”-(u+ 数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式 为a。=(-1) 2)×(日)”=（尽）广×5g”.当n<5时a1-a>0,即 -,nEN', aa+i>aw:当n=5时，a+1一au=0,即au+=amt当n>5时， (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一 au+h-daw<0,即aut1<ae.故a1<ae<aa<a:<as=as> 咸分载得宁，号，号，吕…，所以它的一个道项公式为， ar>ag>,所以当n=5或n=6时，数列{an}有最大项，且 75 号nEN 最大项为a=a= 方法二假设{a,}中有最大项，且最大项为第n项，则 (3)各项加1后，变为10,100.1000,10000，…，即10,10， 103,10,…,可得原数列的一个通项公式为am=10"一1， m+2)x(g)广≥m+Dx(餐)， 解得 n∈N aw≥aw+1, (+2)×(餐)广≥(m+3)×(员). [变式2]解析(1)数列的奇效项为a,偶数项为b,因此通项公 式可用分段形式来表示，记为am= a,n为奇数， 6·即5≤≤6.故当n=5或n=6时，{a}有最大项a n≥5. (b,n为偶数 和a6,且a=a= 75 (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加」的 851 ·133· [变式4]解析(1)令m一7n一8<0，解得一1<1<8，所以正整 a+g一a+1=（aw+1一an）一a+1=一a·所以ag+6日 数n可取1,2,3,4,5,6,7.故数列从第1项至第7项均为负 一an-=一（一an)=a.所以数列{an}是周期数列，且T 数，共7项 6.所以a2o2s=a87×644=ag=一L. (2)方法一因为y=x2-7x-8是关于x的二次函数，其 [例题2]解析(1)因为aw+一an=,所以ag一a1=1,a3一ag 对称轴方程为x=弓=3.5，所以当1≤n≤3时，a,}单调 2,a4一as=3,…,am-am-1=n-1.以上各式累加得，an 递减：当n≥4时，{am}单调递增.所以当n=3或n=4时， a1=1+2+十n-1=m2D,所以a.+1=mD,所 2 2 数列{a}有最小项，且最小项为a=a4=一20. 以a,=心，”-1(n≥2).又因为n=1时，a1=-1,符合上 2 方法三不坊设a,为教列a,的最小值，剥a.≤”中 an≤a+1, 式，所以a=T2”-1m∈N). 2 n2-7n-8≤(n-1)2-7(n-1)-8, 解得3≤n≤4，故当 m-7-8≤(m+1)2-7(n+1)-8, (2②)周为a=1,a.=(1-)a-1(m≥2，所以。 n=3或n=4时，数列{am}有最小项，且最小项为a= a4=-20. 是，所以a,-品×品×号X…X鲁×鲁×a 随堂检测·学以致用 ”分×号××…x号×名×1-又周为n= 1.C解标因为3-1=2,6-3=3,10-6=4，所以x-10=5, 21一x=6,解得x=15.故选C项. 时a=1,特合上式，所以a,=(nEN) 2.AC解析A,C项既是无穷数列又是递增数列；B项是无穷 [变式2服霸将。年两道网时取倒载得。=”。 数列但不是递增数列：D项是有穷数列.故选AC项. 3.解折4，=log(2十1)=log9=2. az a 3 答系2 1-1=1 4.解折因为5=14-1，/7=√4×2-1，、1=/4×3-1. 士=学≥2，起以上速-10个 asag3…, 式子累加，得--”写，国为a=1,所以a,一n2 3 、15=、4X4-1,所以aw=/4n-1(n∈N). du a 答宽a。=√/4n-1(n∈N) 第2课时数列的递推公式与a,和S.的关系 又因为=1时山=1，持合上式，所以a,子2aN [例题3]解标当n≥2时，a.=S.一S.-1=(2m2-3)一[2(n- 必备知识·基础落实 1)2-3(n-10]=4n-5:当n=1时，a1=S1=2-3=-1. 要点一 由于a1=-1也适合aw=4n一5，所以am=4n-5. 2.a。-1序号n 答室4n一5 要点二 [变式3]解析当n≥2时，an=S,-S-1=3+1-3"-1-1= 1.】na十ag十…十am 2·3”1:当n=1时，a1=S1=3十1=4，不满足a。=2· 2.序号n S,n=1, 4,n-=1, S。-5。-1,n≥2 3-1,所以aw= 2…3-t,n≥2. [辨析]解扬(1)错误.并不是所有的数列都有递推公式. 答室 /4,n=1, (2)错误.如常数列1,1,1,1，…，满足5+1>S.,n∈N,但 2…3-1,n≥2 不是递增数列. 随堂检测·学以致用 (3)正确.在已知的递推公式中，令n=1,得a:一2a,,而 1 1.C解析A,B项中没有说明某一项的值，无法递推：D项中 a2=1,解得a1=1,同理可得aw=l. a1=2,a1=4,a=8,不合题意.故选C项. (4)正确.由an与前n项和S。之间的关系易知. 答索(1)×(2)×(3)√(4)/ 2D照霸将西1代入1有一1，得=一令，再将 关键能力·素养提升 =一专代入有一1，得西=1，所以数到的月期 [例题1门解扬（1)因为a=3a,=（-1)·2a-1(n≥2)，所 为2，所以x2s=0=L.故选D项。 3.D解析图为aw+1一an=一1，所以当n≥2时，am=a1+ 以a=(-1.2a=号a=(-1y,2m=- 3a,= (a2-a)+(a3-a:)+…+(aw-aw-)=2+(-1)X(n 1)=3一n.当n=1时，a1=2也符合上式.故数列的通项公式 （-1D2a=-8a=(-102a=9 am=3-n(n∈N”).故选D项. (2)因为a1=1,am=3ar-1十1(n≥2)，所以ag=3a1十1=4， 4.服析因为S=4(4”-), a=32,所以a=S,-S=32,所 aa=3a2+1=13,a1=3a+1=40,a=3a,+1=121. 3 [变式1]解折a1=1,a2=2,a1=1,a4=-1,a5=-2a6=-1, 以2554-68=32，解得a1=分 3 3 a=1,ag=2,….发现：a+6=au,数列{an}具有周期性，周 期T=6.证明如下：因为Gw+2=au+1一au,所以a43= ·134·