热点01 集合与常用逻辑用语-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点01集合与常用逻辑用语 考点一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作；若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 考点二、集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 考点三、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 考点四、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 考点五、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 热点一 元素与集合关系的判断及应用 例1．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 变式1-1．已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 变式1-2．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 热点二 集合与集合关系的判断及应用 例3．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 变式2-1．（1）已知集合，则集合的子集依次是 ． （2）已知集合，则集合的真子集依次是 ． 变式2-2．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 热点三 集合间的基本运算 例5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例6．设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 变式3-1．设集合，，若，则集合（    ） A． B． C． D． 变式3-2．设全集且，若，则实数 变式3-3．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值集合. 热点四 集合的交并补混合运算 例7．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 例8．设，，且. (1)求的值及集合，； (2)设全集，求； (3)写出的所有子集. 变式4-1．已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 变式4-3．设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 热点五 集合的新定义 例9．当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则 (　　) A． B． C． D． 例10．（多选）定义集合运算：，设，，则（    ） A． B．( C．中有个元素 D．的子集有个 变式5-1．设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是 ． 变式5-2．现定义且，若，则集合可以是 （写出一个即可）. 变式5-3．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 热点六 充分条件与必要条件的判断 例11．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若a，，则“”是“不全为0”的充要条件 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．是的既不充分也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 例12．若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．若，，则“，且”是“，且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-2．任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-3．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 热点七 充分条件与必要条件的求参 例13．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 例14．设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 变式7-1．已知和，且p是q的必要条件但不是充分条件，则实数m的取值集合为 ． 变式7-2．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（  ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 变式7-3．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 热点八 量词命题真假的判断 例15．下列命题的否定是假命题的为（    ） A． B．所有可以被5整除的整数，个位数字都是0； C．，且 D．存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 例16．（多选）下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 变式8-1．有下列四个命题： ①，； ②，； ③，； ④，x为29的约数． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式8-2．（多选）下列命题的否定是假命题的是（    ） A．等圆的面积相等，周长相等 B．， C．任意两个等边三角形都是相似的 D．有些梯形的对角线相等 变式8-3．（多选）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，，使 D．， 热点九 量词命题求参数 例17．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 例18．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 变式9-1．若“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 变式9-3．已知集合，. (1)若“命题，”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题，”是真命题，求的取值范围. 一、单选题 1．（2023-24高一上·陕西·期中）命题的否定是（   ） A． B． C． D． 2．（2023-24高一上·重庆·期中）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高一上·云南昆明·期中）已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 5．（2023-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2023-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（2023-24高二下·山西朔州·期末）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023-24高一上·内蒙古乌海·期中）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 10．（2023-24高一上·安徽六安·期中）命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ）． A． B． C． D． 11．（2023-24高一上·新疆·期中）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2023-24高一上·上海奉贤·期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的 条件. 13．（2023-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 14．（2023-24高一上·重庆北碚·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．（2023-24高一上·上海青浦·期中）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 16．（2023-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（2023-24高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的的取值范围. 18．（2023-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 19．（2023-24高一上·重庆渝中·期中）已知命题成立．命题，都有成立． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01集合与常用逻辑用语 考点一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作；若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 考点二、集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 考点三、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 考点四、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 考点五、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 热点一 元素与集合关系的判断及应用 例1．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 例2．已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 【答案】/ 【详解】因为集合，且 所以或 （1）当时，此时，符合题意. （2）当时，解得或 当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去； 当时，符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 故答案为： 变式1-1．已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 变式1-2．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 变式1-3．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 热点二 集合与集合关系的判断及应用 例3．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 例4．已知集合且，则a等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由集合且，得，所以. 故选：D 变式2-1．（1）已知集合，则集合的子集依次是 ． （2）已知集合，则集合的真子集依次是 ． 【答案】 ，，，，，，， ，， 【详解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，； 故答案为：，，，，，，，； （2）集合的真子集依次：，，； 故答案为：，，． 变式2-2．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以． 故选：C 变式2-3．已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 热点三 集合间的基本运算 例5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，， 所以，，，，故ABC错误，D正确， 故选：D 例6．设集合，. (1)当时，求，； (2)记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， ，即，解得或，， ，. （2）若集合的真子集有7个，则，可得， 即中的元素只有3个， 而，解得或，则， 由（1）知， 则当时，， 故所有实数的取值所构成的集合为. 变式3-1．设集合，，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知， 当时，，解得：或，即. 故选：B 变式3-2．设全集且，若，则实数 【答案】 【详解】∵，， ∴，即1，4是方程的两根， ∴， 故答案为：4. 变式3-3．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由不等式，可得， 当时，集合，则. （2）解：由集合， 因为，则满足，解得， 所以实数的取值集合是. 热点四 集合的交并补混合运算 例7．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且， 又，所以， 所以. 故选：D 例8．设，，且. (1)求的值及集合，； (2)设全集，求； (3)写出的所有子集. 【答案】(1)；， (2) (3)，，，,． 【详解】（1）根据题意得：，， 将代入中的方程得：，即， 则，； （2）全集，， ； （3）的所有子集为，，，． 变式4-1．已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，等价于，等价于， 且不相等，可知集合是集合的真子集，故A错误； 且，故B正确； 据此作出韦恩图， 可知，，故CD错误； 故选：B. 变式4-2．（多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误， 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC 变式4-3．设全集, 集合，. (1)若是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是非空集合， 所以方程有实数根， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为，， 所以，，且，， 所以，解得，， 所以，， 所以. 热点五 集合的新定义 例9．当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，由条件及孤星集的定义知，集合中的元素，，，所以0不是“孤立元素”，，，，所以1不是“孤立元素”，，，，所以3是“孤立元素”， 则 ，，，，所以0是“孤立元素”，，，，所以3不是“孤立元素”，，，，所以4不是“孤立元素”，则， 则． 故选：B 例10．（多选）定义集合运算：，设，，则（    ） A． B．( C．中有个元素 D．的子集有个 【答案】AD 【详解】由题设，故，且共有3个元素，故子集有8个，A、D对，C错； ，则，而， 显然，B错； 故选：AD 变式5-1．设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是 ． 【答案】 【详解】因为集合且中恰有2个元素， 则，所以， 又，所以，， 又， 所以， 所以的子集有个. 故答案为： 变式5-2．现定义且，若，则集合可以是 （写出一个即可）. 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为且，又， 所以集合不含元素，必含元素，故集合可以是， 故答案为：.（答案不唯一） 变式5-3．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 【答案】 【详解】根据题意，的“小和数”为， 集合共有11个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，， 且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中当时，，则子集对有， 则的“大和数”为. 故答案为：； 热点六 充分条件与必要条件的判断 例11．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若a，，则“”是“不全为0”的充要条件 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．是的既不充分也不必要条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】ABC 【详解】A．a，，则“，则必有不全为0，则充分性成立；若不全为0，则同样有，则必要性成立，故A正确； B．不能推出，比如，但是；不能推出，比如，， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确； C．因为，取，，故满足，但是此时，不成立，所以，充分性不成立；若成立，可取，则可以有，所以，必要性不成立；故C正确； D．不能推出，比如， 满足，但是不满足，所以必要性不满足，故D错误； 故选：ABC. 例12．若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，A错误； 对B，由取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对C，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 对D，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以是“”的一个充分不必要条件，D正确； 故选:D. 变式6-1．若，，则“，且”是“，且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“，且”，则“，且”， 若已知“，且”，可取，，满足，且，但不满足，且， 所以“，且”是“，且”的充分不必要条件； 故选：A 变式6-2．任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，例如：，则， 满足，但，所以“不能推出“； 若，例如，，则， 所以“”不能推出“”， 综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 变式6-3．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 热点七 充分条件与必要条件的求参 例13．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以有，等号不同时成立，， 当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 例14．设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当时，可得， 故可得或，而， 所以或 （2）由“”是“”的充分不必要条件可得； 当时，，解得，符合题意； 当时，需满足，且和中的等号不能同时取得， 解得； 综上可得，m的取值范围为或. 变式7-1．已知和，且p是q的必要条件但不是充分条件，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【详解】命题，命题， 因为p是q的必要条件但不是充分条件，所以， 所以或或． 当时，满足题意； 当时， 若，则，解得； 若，则，解得． 综上可得，m的取值集合是． 故答案为：． 变式7-2．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（  ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【详解】因为此数为小于5的正整数，所以， .因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确. 故选：C. 变式7-3．已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在. 【详解】（1）因为命题为真命题， 而 ，所以且，解得 （2）令，， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 若，此时； 若，则，解得， 综上所述，存在使得是的必要不充分条件 热点八 量词命题真假的判断 例15．下列命题的否定是假命题的为（    ） A． B．所有可以被5整除的整数，个位数字都是0； C．，且 D．存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 【答案】D 【详解】对于A，的否定为，即， 显然恒成立，为真命题，故A错误； 对于B，所有可以被5整除的整数，个位数字为0或者5， 显然原命题为假命题，则其否定为真命题，故B错误； 对于C，显然当时，， 即原命题为假命题，则其否定为真命题，故C错误； 对于D，显然菱形的对角线互相互相垂直，即原命题为真命题，则其否定为假命题， 故D正确. 故选：D 例16．（多选）下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 【答案】BD 【详解】“”不是存在量词命题，A错误. ，故B正确. 因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误. 内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确. 故选：BD. 变式8-1．有下列四个命题： ①，； ②，； ③，； ④，x为29的约数． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，这是全称量词命题，由对任意实数都成立，得，①为真命题； 对于②，这是全称量词命题，当时，不成立，②为假命题； 对于③，这是存在量词命题，当或时，有成立，③为真命题； 对于④，这是存在量词命题，当时，x为29的约数成立，④为真命题， 所以真命题的个数为3. 故选：C 变式8-2．（多选）下列命题的否定是假命题的是（    ） A．等圆的面积相等，周长相等 B．， C．任意两个等边三角形都是相似的 D．有些梯形的对角线相等 【答案】ACD 【详解】对于A，因为命题“等圆的面积相等，周长相等”是真命题，故其否定是假命题，故A符合题意； 对于B，因为，，故命题“，”的否定：“，”是真命题，故B不符合题意； 对于C，因为命题“任意两个等边三角形都是相似的”是真命题，故其否定是假命题，故C符合题意； 对于D，“有些梯形（比如等腰梯形）的对角线相等”是真命题，故其否定是假命题，故D符合题意. 故选：ACD. 变式8-3．（多选）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，，使 D．， 【答案】BCD 【详解】A：中，所以方程无解，所以A是假命题； B：当时，，所以是真命题； C：当，时，，所以是真命题； D：因为，所以，，所以是真命题. 故选：BCD 热点九 量词命题求参数 例17．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 例18．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 变式9-1．若“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：“，使”是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 变式9-2．若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】根据题意可得“，使”是假命题等价于“，”是真命题， 因此可得，解得； 即可得实数的取值范围为. 故答案为： 变式9-3．已知集合，. (1)若“命题，”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，即, 若“命题，”是真命题，则， 所以， 故的取值范围为：； （2）若“命题，”是真命题，则， 结合上问可知： 或， 所以或， 所以. 故的取值范围为： 一、单选题 1．（2023-24高一上·陕西·期中）命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的否定为：. 故选：C. 2．（2023-24高一上·重庆·期中）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故选：D 3．（2023-24高一上·云南昆明·期中）已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，由可以推出，故必要性满足； 由不能推出，故充分性不满足； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．（2023-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【详解】因为或 ， 又或 或 ， 所以. 故选：A 5．（2023-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 命题为真时恒成立，，即，， 命题为真时，即 ，解得：或. 命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或， 所以命题“且”是假命题时，可得且， 故选： D. 6．（2023-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】或 或， 则成立.故①判断正确； 或， 或， 则不成立.故②判断错误； 令，则，故③判断正确； 令，则，故④判断正确. 故选：D 7．（2023-24高三上·宁夏银川·期中）设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 8．（2023-24高二下·山西朔州·期末）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 二、多选题 9．（2023-24高一上·内蒙古乌海·期中）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：是任何集合的子集，所以，故B正确； 对于C：由，解得，所以，故C错误； 对于D：若，则，故D错误； 故选：AB 10．（2023-24高一上·安徽六安·期中）命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令， 因为一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1， 所以，所以，解得， 所以命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件为的一个真子集即可， 所以AC符合条件， 故选：AC. 11．（2023-24高一上·新疆·期中）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当时，，即，此时，符合题意， 当时，，即， 由可得或， 因为，所以或，可得或， 因为，所以， 所以实数的取值范围为或， 所以选项ABC正确，选项D不正确； 故选：ABC. 三、填空题 12．（2023-24高一上·上海奉贤·期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的 条件. 【答案】充分不必要 【详解】因为四边形是正方形，由正方形的定义知，的四个角都是直角，所以由可以推出，即是的充分条件， 又四边形的四个角都是直角时，四边形可以为矩形，所以由推不出，即不是的必要条件，所以是的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 13．（2023-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，且，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知：方程均有根， 设方程的根为，方程的根为， 可知，且且， 分析可知：方程的根为，方程的根为， 即，满足，符合题意， 可得，解得，所以. 故答案为：. 14．（2023-24高一上·重庆北碚·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为集合，当时，集合，符合； 当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题 15．（2023-24高一上·上海青浦·期中）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【答案】(1)不为单元素集合，理由见解析； (2)或或； (3)共7个，，，，，，，. 【详解】（1）假设为单元素集合，其元素为，则， 故，解得或，均不是正整数，不满足， 故假设不成立，不为单元素集合； （2）由题意得，则， 故只需满足， 其中能整除的正整数有， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 综上：或或； （3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现， 故满足条件的集合为，，，，，，，共7个. 16．（2023-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）当时，可得， 因为集合， 则 又由或， 则或或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为，， 可得且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围为. 17．（2023-24高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的的取值范围. 【答案】(1)，. (2)或. 【详解】（1）当时，，又， 所以，. （2）因为，所以， 又集合，， 当时，，即，这时. 当时，有，解得. 综上，实数a的取值范围为或. 18．（2023-24高一上·广东深圳·期中）（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， ，即，又， ，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 19．（2023-24高一上·重庆渝中·期中）已知命题成立．命题，都有成立． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围 【答案】(1)或 (2)或． 【详解】（1）根据题意，命题，成立．若为真，则方程有解， 必有，解可得或， 故为真时，的取值范围为或， （2）若，由于 则， 则， 当且仅当时，即，时等号成立， 即的最小值为， 若命题为真命题，必有，可得， 故的取值范围为，； 又由命题和命题有且只有一个命题是真命题，分2种情况讨论， 若真假，则有，解可得， 若假真，则有，解可得， 综合可得：或， 即的取值范围为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$