专题08 抛物线及其方程（五大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 抛物线及其方程 考点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 考点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 考点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 重难点题型突破（一）、 抛物线的定义及应用 例1、（24-25高三上·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 例2、（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3、（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 1、（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）抛物线上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（    ） A．6 B． C． D．3 2、（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ． 3、（23-24高二上·广西南宁·期中）已知点在抛物线上，则A到的准线的距离为 . 重难点题型突破（二）、 抛物线的轨迹方程 例4、（2024·四川德阳·模拟预测）点M是直线上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值. 例5、（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 1、（19-20高二上·江西南昌·期中）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.    (1)求曲线的方程； (2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点. ①求证：不可能是钝角； ②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由. 2、（22-23高二上·四川成都·期中）已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交曲线C于A、B，且有 ，求直线的斜率． 重难点题型突破（三）、 与抛物线有关的距离与最值问题 例6、（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 例7、（24-25高三上·广东·阶段练习）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例8、（2024·陕西商洛·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过点的抛物线的焦点为，过点作两条相互垂直的直线，，直线与相交于，两点，直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A．32 B．20 C．16 D．12 例9、（2023·广西南宁·模拟预测）已知直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且，于点D，点D的坐标为，则 ． 例10、（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 . 例11、（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 1、（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 2、（23-24高三上·河南·期中）已知过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，点Q满足，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 3、（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 4、（2023·江西九江·一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 5．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（四）、 焦半径、焦点三角形问题 例12、（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为 ；的值为 . 例13、（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则 . 例14、（21-22高三上·内蒙古通辽·期末）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为 . 例15、（2021·四川南充·一模）已知O为坐标原点，抛物线C：上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点，给出以下命题： ①若△MAF为正三角形时，则抛物线C方程为； ②若于M，则抛物线在A点处的切线平分； ③若，则抛物线C方程为； ④若的最小值为，则抛物线C方程为． 其中所有正确的命题序号是 ． 1、（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2、（2024·陕西·模拟预测）设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点 3、（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 4、（2024·广西南宁·一模）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ） A． B．9 C．36 D． 重难点题型突破（五）、 直线与抛物线的位置关系 例16、（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，. (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点. 例17、（2023·广东汕头·三模）抛物线：的焦点为F，直线过焦点F与抛物线E交于A，B两点，当垂直于x轴时. (1)求抛物线的方程； (2)点，直线AC，BC与抛物线E的交点分别为M，N；探究直线MN是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由. 1、（2023·上海长宁·二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. (1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离； (3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 2、（2022·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为. (1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程； (2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线. 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2024·全国·高考真题）（多选题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 6．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 7．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 8．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 9．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 10．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 11．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 12．（2021·全国·高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 13．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 14．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 抛物线及其方程 考点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 考点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 考点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 重难点题型突破（一）、 抛物线的定义及应用 例1、（24-25高三上·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】切线长、抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 例2、（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 例3、（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 1、（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）抛物线上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 设点到的距离等于7， 则，解得. 故选：C. 2、（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可. 【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为， 故所求为. 故答案为：. 3、（23-24高二上·广西南宁·期中）已知点在抛物线上，则A到的准线的距离为 . 【答案】// 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】先把代入抛物线，求出，从而得到准线方程，求出A到的准线的距离. 【详解】将代入得，，解得， 所以抛物线方程为，准线方程为， 故A到的准线的距离为. 故答案为： 重难点题型突破（二）、 抛物线的轨迹方程 例4、（2024·四川德阳·模拟预测）点M是直线上的动点，O为坐标原点，过点M作y轴的垂线l，过点O作直线OM的垂线交直线l于点P. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过曲线C上的一点P（异于原点O）作曲线C的切线交椭圆于A、B两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设出点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹的方程； （2）设出直线的方程，根据直线与曲线相切得到关于的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出的面积，最后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】（1）设，则，所以， 因为，所以， 所以P点到轨迹为； （2）设，， 因为为曲线的切线，联立可得， 所以， 由可得， 所以， 且，， 所以， 又因为原点O到AB的距离为， 所以， 当且仅当，即或时等号成立（此时满足）， 综上可知面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（r为内切圆半径）. 例5、（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据抛物线的定义，利用两点之间距离公式以及点到直线的距离公式，建立方程方程，可得答案； （2）设出点的坐标以及直线方程，结合韦达定理以及向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，动圆的半径， 整理可得．故曲线的方程为. （2）法一： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 由已知直线斜率必不为0，故可设直线， 联立方程，可得， 故，解得，故， ． 法二： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去； 设直线， 联立方程可得， ，解得，， ，解得． 原点到直线的距离， 故的面积. 1、（19-20高二上·江西南昌·期中）如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.    (1)求曲线的方程； (2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点. ①求证：不可能是钝角； ②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②存在，且. 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中存在定点满足某条件问题、求抛物线的轨迹方程、数量积的坐标表示 【分析】（1）设，则可得，圆的直径为，利用动圆与轴相切，即可求得曲线的方程； （2）①设直线的方程为，点、、，联立直线的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到恒成立，可得结论； ②由①知，根据与垂直，斜率积为，可得，再由，求出值. 【详解】（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为， 则， 而， 因为动圆过定点且与轴相切，则， 即，化简得， 所以曲线的方程为. （2）①若直线与轴重合，则直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 所以， ， 故不可能为钝角； ②假设存在这样的点满足条件， 因为，则线段的中点为， 若，则轴，此时，直线的方程为，联立可得， 则，此时，位于轴上，则， 所以， 为直角三角形，不合乎题意， 所以，，则，可得， 则，    则， 而， 由，可得，解得， 所以，存在点满足条件. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 2、（22-23高二上·四川成都·期中）已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交曲线C于A、B，且有 ，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、求抛物线的轨迹方程 【分析】（1）根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合平面向量共线的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1， 所以有 ； （2）当直线AB的斜率不存在时，把代入中， 得，因为 ，所以不成立，不符合题意； 当直线AB的斜率存在时，设，与抛物线方程联立： ，化简整理，得：， 有，且， ,，而， 解得：，而， 即：， 化简整理，得：. 【点睛】关键点睛：由平面向量共线的性质得到之间的关系是解题的关键. 重难点题型突破（三）、 与抛物线有关的距离与最值问题 例6、（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 例7、（24-25高三上·广东·阶段练习）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为. 故选：B． 例8、（2024·陕西商洛·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过点的抛物线的焦点为，过点作两条相互垂直的直线，，直线与相交于，两点，直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A．32 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】由点在抛物线上求出的值，即可求出抛物线方程，设直线方程为，则方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出、，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得或（舍去）， 所以抛物线，则，依题意直线的斜率存在且不为， 设直线方程为，则方程为，，，，， 联立直线方程与抛物线方程得， 则，，，同理，， 所以， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； 故选：A 例9、（2023·广西南宁·模拟预测）已知直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且，于点D，点D的坐标为，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、抛物线定义的理解、数量积的坐标表示 【分析】由，可得，进而求得直线方程，与抛物线联立，结合韦达定理得，代入，可解出，则即可求解. 【详解】依题得，，则，则直线的方程为， 即，与抛物线联立得， 设，则， 由，则， 解得，即抛物线， . 故答案为： 例10、（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求平面轨迹方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案. 【详解】设， 则， 化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆， 抛物线的焦点，准线方程为， 则 ， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 例11、（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】设切线的方程为，联立抛物线方程求得，得到直线和的方程为，进而得到的方程为，再联立抛物线方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由抛物线，可得， 设，则，， 再设切线的方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，可得， 则切线的方程为，即. 由切线过点，可得. 同理，切线的方程为， 由切线过点，可得， 则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤平面向量；⑥导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 1、（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由抛物线的定义，结合三点共线时最小即可求解. 【详解】 准线为，A在抛物线内部， 设到准线的距离为， 到准线的距离.      故选：C. 2、（23-24高三上·河南·期中）已知过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，点Q满足，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】由题意，设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、向量的坐标运算以及点到直线的距离公式再进行求解即可． 【详解】易知直线l的斜率存在且不为零， 不妨设直线l的方程为，， 联立，消去x并整理得， 因为 由韦达定理得，，① 不妨设， 因为， 所以，② 因为， 所以，③ 联立②③可得， 整理得到即④ 又，⑤ 联立④⑤，可得， 所以的最小值即为点到直线的距离， 则最小距离， 当最小时，，解得，， 经检验，其满足， 所以的最小值为． 故选：C． 3、（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线定义的理解 【分析】先求得点的坐标，再求得关于直线的对称点，借助三点共线求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线，设， 则，解得，显然，不妨设， 关于直线的对称点为，则 因此，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 4、（2023·江西九江·一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果. 【详解】如图所示：      由圆的标准方程为可知圆心，半径为， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义可知， 圆外一点到圆上点的距离满足，即； 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立； 即的最小值为． 故答案为： 5．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，则的最小值为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、抛物线上的点到定点的距离及最值、由标准方程确定圆心和半径 【分析】依题意由抛物线和圆方程可知焦点与圆心重合，设出直线方程并于抛物线联立，利用抛物线定义即可求得，由韦达定理和基本不等式即可求得其最小值为. 【详解】根据题意可知，抛物线的焦点为， 圆的圆心为，半径为，即焦点与圆心重合，如下图所示： 设直线的方程为，，且，， 联立直线和抛物线方程可得， 所以， 由抛物线定义可知，又易知， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以的最小值为. 故答案为： 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据梯形中位线可得，进而由抛物线定义可得，即可由余弦定理，结合基本不等式求解. 【详解】过分别作， 则是梯形的中位线，故, 由于, 所以, 故, , 当且仅当时取等号， 故，故的夹角最大值为， 故选：C 重难点题型突破（四）、 焦半径、焦点三角形问题 例12、（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为 ；的值为 . 【答案】 2 5 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设，与抛物线联立，由韦达定理得，，从而得到的坐标，以及线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出的值，得到的值. 【详解】令，，，线段的中点为 联立，消可得，则，,所以，即，所以线段的中点，由于线段的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），即， 由于在抛物线中，，所以 . 故答案为：2 ；5. 例13、（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据，得到为外接圆的直径，为外接圆的直径，，从而有，再结合抛物线得到求解. 【详解】解：如图所示： 因为，所以为外接圆的直径，为外接圆的直径， 所以， 由抛物线的定义得， 则， 所以， 所以， 则， 所以， 故答案为：1 例14、（21-22高三上·内蒙古通辽·期末）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为 . 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】抛物线的应用、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案. 【详解】由得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， ，，， 所以， 所以该光线经过的路程为12. 故答案为：12. 例15、（2021·四川南充·一模）已知O为坐标原点，抛物线C：上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动点，给出以下命题： ①若△MAF为正三角形时，则抛物线C方程为； ②若于M，则抛物线在A点处的切线平分； ③若，则抛物线C方程为； ④若的最小值为，则抛物线C方程为． 其中所有正确的命题序号是 ． 【答案】①②③④ 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据抛物线的标准方程及抛物线的几何性质依次判断即可. 【详解】①若△MAF为正三角形时，，故①正确； ②若于M，设 ，过的切线方程为:， 代入得， ，又，， ，所以过点的切线的斜率为， 因为，所以过的切线，又, 故抛物线在A点处的切线平分，②正确 ③若，则三点共线，， 由三角形的相似比得，故③正确； ④设则，关于准线l对称，， ， ,解得，故④正确. 故答案为: ①②③④ 1、（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，可得，从而转化为求的值，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D 2、（2024·陕西·模拟预测）设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．的面积为 D．以为直径的圆与l有两个交点 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】对于A，求出直线与轴的交点，可得抛物线的焦点，从而可求出，对于B，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得，对于C，先求出点到直线的距离，然后结合可求出的面积，对于D，设线段的中点为，求出点到直线的距离进行判断. 【详解】对于A，当时，，所以抛物线的焦点为，所以，得，所以A错误， 对于B，由选项A可知，设， 由，得， 所以， 所以，所以B错误， 对于C，点到直线的距离为，由选项B可知， 所以的面积为，所以C正确， 对于D，抛物线的准线为，设线段的中点为，则， 则点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与准线相切，所以以为直径的圆与准线只有一个交点，所以D错误， 故选：C 3、（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与轴仅有1个交点 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】设直线，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由求出，即可判断，再由弦长公式求出即可判断，利用抛物线的几何意义判断，求出，，由即可判断. 【详解】 依题意，设直线，，， 由，整理得，则， 所以，， 所以， 解得，所以， 又，解得， 所以，又， 所以，故错误； 因为，故错误； 因为，又线段的中点到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相切，即仅有个交点，故正确； 因为，若，则，解得或； 若，则，解得或； 即、或、， 所以或，故错误. 故选：. 4、（2024·广西南宁·一模）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ） A． B．9 C．36 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的应用 【分析】首先求出直线的方程为，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，则得到，最后利用焦点弦公式即可. 【详解】令，则， 则点的坐标为的焦点为， 则，所以直线的方程为， 与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得， 所以， 所以由抛物线的定义得. 故选：D.    重难点题型突破（五）、 直线与抛物线的位置关系 例16、（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，. (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线的通径问题 【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程； （2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点. 【详解】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为， 联立可得，则，所以，即， 所以抛物线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 同理可知，直线也不与轴重合， 设、，设直线的方程为， 联立得，， 因此，. 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，则，同理可得. 所以. 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 例17、（2023·广东汕头·三模）抛物线：的焦点为F，直线过焦点F与抛物线E交于A，B两点，当垂直于x轴时. (1)求抛物线的方程； (2)点，直线AC，BC与抛物线E的交点分别为M，N；探究直线MN是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线MN恒过定点，理由见解析 【难度】0.4 【识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的直线过定点问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）当轴时，根据抛物线的定义可得，可求出，即可求解； （2）设，，，，求出直线AB，直线AM，直线BN的方程，可得到，故可得到直线MN的方程为，即可求得定点 【详解】（1）∵，∴当轴时，， ∴根据抛物线的定义可得，解得， ∴抛物线的方程： （2）设，，，，    ∴直线AB方程为：即， ∵直线AB过点，∴， 同理，直线AM：即， ∵直线AM过点，∴，同理可得， ∴，∴， 直线MN的方程为：，∴ 当时，， ∴直线MN恒过定点 【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是利用直线AB，直线AM，直线BN的方程，可得到，故直线MN的方程可求解，即可求得定点 1、（2023·上海长宁·二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. (1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离； (3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 【答案】(1) (2)1 (3)证明过程见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的定值问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线定义的理解、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）已知焦点，就确定了椭圆的实轴所在的坐标轴和焦距，通过离心率就可以解出，，的值，进而写出椭圆的标准方程. （2）因为是焦点弦，所以能求出值，设出直线方程与抛物线联立，解出直线方程，把中点横坐标代入求出纵坐标即为所求. （3）设，利用点斜式写出，方程，进而表示出、两点坐标，用数量积表示出，再进行化简出常数即可. 【详解】（1） 解：根据题意设椭圆方程为，焦距为， 因为抛物线：的焦点为，且椭圆以为焦点， 所以，因为离心率为，所以， 因为，所以， 所以椭圆标准方程为. （2） 解：因为直线经过点且与交于点、，设，， 因为，所以直线斜率一定存在，设方程为，组成方程组，则有， 则，， 因为，所以，则， 当时，直线方程为，且，所以中点纵坐标为， 此时中点到轴的矩离为. 根据对称性，当时，中点到轴的矩离也为. （3） 由题意设直线方程为，与抛物线组成方程组： ，则， 有，，， 根据题意设，，， 则直线方程为，即， 因为点横坐标为，所以，即， 同理点坐标为， 所以， 化简得 因为，， 所以，即为常数. 2、（2022·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为. (1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程； (2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线. 【答案】(1)②③； (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）若同时满足①②，则可推出，故不符合题意； 若同时满足①③，则也是推出，不符合题意；由此可得同时满足条件②③，求得p的值，可得答案; （2）设切点P的坐标为，利用导数的几何意义求得AB的斜率，设线段AB的中点为G，进而利用点差法求得，结合题意可得，求得E的坐标为，可得OE的斜率为，从而证明结论. 【详解】（1）若同时满足①②，由②得 , 可得MN过焦点 ， 则， 故①②不能同时满足； 若同时满足①③，由③可得MN过焦点 ，则， 所以①③不能同时满足； 由以上可知，只能同时满足条件②③， 由②得，可得MN过焦点 ， 且 ， 故抛物线的标准方程为 ； （2）证明：设切点P的坐标为 ， 因为抛物线的标准方程为，则 ， 所以直线AB的斜率为 ，设 ， 则有 ，两式相减得， 所以， 设线段AB的中点为G，则有 ， l与直线 交于点Q，以PQ为直径的圆与直线交于Q,E两点， 所以 ,故点E的坐标为 ， 所以直线OE的斜率为 ， 则有 ,所以：O，G，E三点共线.. 【点睛】本题考查了抛物线方程的求解，以及直线和抛物线的位置关系，证明三点共线问题，综合性强，计算量较大，解答的关键是明确解题的思路，准确计算，即求出点的坐标，表示出直线OE,OG的斜率，证明斜率相等即可. 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线、双曲线中的通径问题 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 5．（2024·全国·高考真题）（多选题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、切线长、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 6．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 7．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 8．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 9．（2024·天津·高考真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即或， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 10．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【答案】 5 【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求. 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 11．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的参数范围问题、抛物线的焦半径公式、抛物线中的定值问题 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线 设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得，       由M、D、A三点共线，得，       由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，所以直线. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法． 12．（2021·全国·高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解； （2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为； （2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设，则， 所以， 由在抛物线上可得，即， 据此整理可得点的轨迹方程为， 所以直线的斜率， 当时，； 当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. [方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法 同方法一得到点Q的轨迹方程为． 设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为． [方法三]：轨迹方程+换元求最值法 同方法一得点Q的轨迹方程为． 设直线的斜率为k，则． 令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为． [方法四]：参数+基本不等式法 由题可设． 因为，所以． 于是，所以 则直线的斜率为． 当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为． 【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值； 方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解； 方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值； 方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值. 13．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案； （Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值 【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为； （Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法 设， 由， ， 由在抛物线上，所以， 又， ，， . 由即 ， 所以，，， 所以，的最大值为，此时. [方法二]【最优解】： 设直线，. 将直线的方程代入椭圆得：， 所以点的纵坐标为. 将直线的方程代入抛物线得：， 所以，解得，因此， 由解得， 所以当时，取到最大值为. [方法三] ：点差和判别式法 设，其中． 因为所以． 整理得，所以． 又， 所以，整理得． 因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式．    ① 由得． 因此，将此式代入①式解得． 当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为． [方法四]：参数法 设， 由，得． 令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得． 所以，此时M坐标为． 14．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 【答案】（1）；（2）：，： . 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中. 不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：， 所以当时，有，因此的纵坐标分别为，； 又因为抛物线的方程为，所以当时，有， 所以的纵坐标分别为，，故，. 由得，即，解得（舍去），. 所以的离心率为. （2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为. 由已知得，即. 所以的标准方程为，的标准方程为. 【点睛】 本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$