专题07 双曲线及其方程（九大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 双曲线及其方程 考点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 考点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 考点三、常用结论 1、双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 2、点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． 3、双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 4、双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 5、双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 重难点题型突破（一） 双曲线的定义及其应用 例1、（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例1、（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 1、（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2、（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 重难点题型突破（二） 双曲线的标准方程 例3、（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 例4、（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 例5、（24-25高二上·上海·随堂练习）以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是 ． 例6、（2024·新疆·三模）下列双曲线中以为渐近线的是（    ） A． B． C． D． 1、（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2、（24-25高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 3、（23-24高二下·上海·期中）如果双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为 ． 4、（11-12高二上·江苏常州·期中）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 重难点题型突破（三） 双曲线的焦点三角形的周长与面积问题 例7、（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 例8、（2024·湖南长沙·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 例9、（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为 ． 例10、（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 1、（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2、（2024·山东泰安·一模）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3、（22-23高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 4、（23-24高二上·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 重难点题型突破（四） 双曲线上两点间的距离问题 例11、（22-23高二上·北京海淀·阶段练习）已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为 ． 例12、（20-21高一下·江西景德镇·期末）若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为 . 例13、（2022·江西鹰潭·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 例14、（20-21高二·全国·课后作业）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．5 C．8 D．4 1、（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 2、（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 3、（22-23高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4、（20-21高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（    ）． A．8 B．7 C．6 D．5 重难点题型突破（五） 离心率与离心率的取值范围 例15、（23-24高二下·贵州黔南·期末）双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．4 例16、（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 例17、（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为    1、（2024·江西吉安·模拟预测）在以为原点的平面直角坐标系中，和分别为双曲线的左､右焦点，点为右支上一点，且是以为顶点的直角三角形，延长交的左支于点，若点为线段上靠近点的五等分点，则的离心率为 . 2、（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 3、（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 . 重难点题型突破（六） 渐近线相关问题 例18、（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例19、（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）设O为坐标原点，双曲线的左焦点为F，过F的直线与的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则C的渐近线方程为 . 例20、（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知双曲线，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例21、（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，在第一象限存在点，且点在双曲线上，满足，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 1、（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 2、（23-24高三下·内蒙古通辽·阶段练习）若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3、（2024·湖北黄冈·模拟预测）椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4、（2024·江西·模拟预测）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破（七） 直线与双曲线的位置关系 例 22、（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 例23、（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率为定值； (2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 1、（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 2、（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为． (1)求的标准方程； (2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围． 重难点题型突破（八） 最值与范围问题 例24、（24-25高三上·云南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点为. (1)求的方程； (2)设动直线与双曲线有且只有一个公共点（在第一象限），且与直线相交于点. ①证明：； ②设为坐标原点，求面积的最小值. 例25、（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，. (1)求E的标准方程； (2)若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围. 1、（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 2、（2024·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 重难点题型突破（九） 定点与定值问题 例26、（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 例27、（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 1、（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 2、（23-24高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（2022·全国·高考真题）（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2020·山东·高考真题）（多选题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 9．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 10．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 11．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 12．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 13．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 14．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 15．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 双曲线及其方程 考点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 考点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 考点三、常用结论 1、双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 2、点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． 3、双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 4、双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 5、双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 重难点题型突破（一） 双曲线的定义及其应用 例1、（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 例1、（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    1、（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 2、（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，，再根据双曲线的定义求出，从而求出离心率. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率. 故选：A 重难点题型突破（二） 双曲线的标准方程 例3、（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点，可求得双曲线方程. 【详解】由，得，所以焦点在y轴上，且． 设双曲线的方程为，所以解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：D． 例4、（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 例5、（24-25高二上·上海·随堂练习）以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆方程求出双曲线顶点坐标，再利用待定系数法可求出双曲线的标准方程. 【详解】在椭圆中，，，所以，， 所以椭圆的焦点为，所以双曲线的顶点为， 设双曲线方程为， 由题意可得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为：， 故答案为：. 例6、（2024·新疆·三模）下列双曲线中以为渐近线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】分别求出各双曲线的渐近线方程判断即可. 【详解】选项A：双曲线的渐近线方程为，A错误； 选项B：双曲线的渐近线方程为，B正确； 选项C：双曲线的渐近线方程为，C错误； 选项D：双曲线的渐近线方程为，D错误； 故选：B 1、（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 2、（24-25高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】由待定系数法即可联立方程求解. 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 3、（23-24高二下·上海·期中）如果双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的几何性质可知，再利用双曲线关系式，就可得，最后根据焦点在轴上，就可以写出双曲线方程. 【详解】根据已知条件双曲线关于原点对称，它的焦点在轴上，可设双曲线标准方程为， 其中，设焦距为，则有， 实轴长，即，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 4、（11-12高二上·江苏常州·期中）已知双曲线与曲线有公共的渐近线，且经过点，则的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】设，其中，代入点坐标即可得到答案. 【详解】设,其中， 将代入得. 双曲线方程是，即. 故答案为：. 重难点题型突破（三） 双曲线的焦点三角形的周长与面积问题 例7、（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 例8、（2024·湖南长沙·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、三角形面积公式及其应用 【分析】利用向量的线性运算再来求数量积，可得，再利用底边为的焦半径三角面积，可求出高为，从而可得一条渐近线的斜率，则即可解得离心率. 【详解】 不妨设点在第一象限内，为坐标原点， 由，得. 由的面积为，结合三角形面积公式得：点到轴的距离为， 所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为， 因此的离心率. 故选：B. 例9、（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据题意求出a,b,c,由及双曲线的定义求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意得,所以, 不妨设, 根据双曲线定义可得①， 又, 所以②， 联立①②解得, 所以的面积. 故答案为：16. 例10、（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】求出渐近线方程，写出直线的方程，联立渐近线求出和，求出三角形面积. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为. 不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线， 则直线的方程为，联立， 解得，即. 同理，联立，解得，即， 所以. 故答案为：. 1、（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、双曲线定义的理解、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义和性质，即可得出答案. 【详解】由双曲线C：, 可得，∴. ∵, ∴. 假设在双曲线右支上， 则两边平方得， ∴， 又∵ 的面积为 3， ∴，即. 故选：A. 2、（2024·山东泰安·一模）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积． 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 的周长为， 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线， ，，直线的方程为， 即代入整理得， 解得或（舍），所以点的纵坐标为， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 3、（22-23高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可. 【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 4、（23-24高二上·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由双曲线的定义和勾股定理，求出，可求的面积. 【详解】双曲线，实轴长，焦距，由对称性不妨设， 由，有， 则， 解得，. 故答案为：3 重难点题型突破（四） 双曲线上两点间的距离问题 例11、（22-23高二上·北京海淀·阶段练习）已知双曲线，点、为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、等轴双曲线 【分析】首先根据定义得到，再结合勾股定理求出，最后平方即可求解. 【详解】双曲线化为标准方程为， 由定义知①， 又因为，由勾股定理可知，②， ①式平方得③， 联立②③得，则， 则. 故答案为： 例12、（20-21高一下·江西景德镇·期末）若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由题设知，，，即可得到，从而计算可得． 【详解】解：双曲线中， ，，， ，， 因为分别是圆和 上的点，所以， ， ，， ， 所以 故答案为：． 例13、（2022·江西鹰潭·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 故选：B 例14、（20-21高二·全国·课后作业）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，依题意，有， ，（当在线段上时，取等号）． 故的最小值为9. 故选：A. 1、（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果. 【详解】    由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. 2、（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设右焦点为，根据双曲线的定义可得，再根据三角形性质结合点到线的距离求解即可. 【详解】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上. 根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号. 又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5. 故选：B 3、（22-23高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用双曲线定义及三角形三边关系判断最大时的位置关系，即可得结果. 【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立. 故选：D 4、（20-21高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（    ）． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】求得双曲线的，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于，圆于，计算可得所求最小值． 【详解】解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则， 可得双曲线， 焦点为，， 由双曲线的定义可得， 由圆可得圆心，半径， ， 连接，交双曲线于，圆于， 可得取得最小值，且为， 则的最小值为． 故选：． 重难点题型突破（五） 离心率与离心率的取值范围 例15、（23-24高二下·贵州黔南·期末）双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】双曲线中，，双曲线的离心率， 所以． 故选：D． 例16、（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的通径问题 【分析】由题意可知：为正方形，结合通径列式求解即可. 【详解】由题意可知：，且，结合对称性可知为矩形， 且，则为正方形，可得， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为: . 例17、（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】延长与双曲线交于另一点，连接.因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形，则，根据双曲线的定义及余弦定理建立等量关系求解即可. 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接.    因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形， 则. 设，则. 根据双曲线的定义可得，则， 所以. 在中，根据余弦定理可得，得. 在中，由，得, 则双曲线的离心率为. 故答案为： 1、（2024·江西吉安·模拟预测）在以为原点的平面直角坐标系中，和分别为双曲线的左､右焦点，点为右支上一点，且是以为顶点的直角三角形，延长交的左支于点，若点为线段上靠近点的五等分点，则的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形 【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形边角关系和余弦定理得出，进而得到，即可求出离心率. 【详解】由点为线段上靠近点的五等分点，    不妨设，则，连接. 由双曲线的定义可知，. 由是以为顶点的直角三角形可知，， 则①. 在中，②， 在中，③， 由①②得，所以； 由①③得，所以. 所以，解得， 所以， 所以，故. 故答案为： 2、（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线的定义，得到，则，当三点共线时，取得最大值，结合直线的斜率小于渐近线的斜率，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即， 则， 当三点共线时，取得最大值， 由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 3、（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交，运用长轴性质和通径长度可解. 【详解】由题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交． 显然满足的直线有1条为x轴，为左右顶点，长度为实轴长，. 当直线过，刚好垂直x轴时，令，可求得.此时直线只有1条. 加上前面的1条，总共2条，不满足题意. 如图， 运用双曲线对称性知道时，刚好有2条，总共3条，满足题意. 即.则.又由于， 则双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型突破（六） 渐近线相关问题 例18、（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】将双曲线方程写成标准形式，再根据渐近线方程公式求解即可. 【详解】双曲线即，故渐近线方程为. 故选：B 例19、（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）设O为坐标原点，双曲线的左焦点为F，过F的直线与的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设，则，由双曲线的定义可知， 在和中，利用余弦定理建立方程列式，化简得，即可求解. 【详解】如图所示，由，不妨设，则， 双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，， 由得，，则，① 在中，，② 在中，，③ 由①②得，，所以，④ 由①③得，，所以，⑤ 由④⑤得，故， 故的渐近线方程为. 故答案为： 例20、（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知双曲线，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据求出渐近线方程. 【详解】的渐近线方程为. 故选：A 例21、（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，在第一象限存在点，且点在双曲线上，满足，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理及辨析、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据三角形面积公式可得，然后求出，根据余弦定理构造齐次式，结合求出即可得解. 【详解】由得， 因为点在第一象限，所以为锐角，所以， 因为，所以， 由双曲线定义得， 在中，由余弦定理有， 整理得， 又，所以，即， 解得，所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B 1、（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】直接利用直线和双曲线的位置关系，双曲线的渐近线方程，建立方程组，进一步求出，最后求出渐近线方程． 【详解】双曲线的两条渐近线方程为， 设,，,，的中点坐标为,； 所以，， 两式相减得：，化简得：， 由于点,在直线上，则①， 由于， 所以，②， 联立①②得：，，代入，得到， 所以渐近线的方程为． 故答案为：． 2、（23-24高三下·内蒙古通辽·阶段练习）若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据渐近线方程即可求解. 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，解得． 故选：C 3、（2024·湖北黄冈·模拟预测）椭圆的离心率记为，双曲线的离心率记为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设出双曲线渐近线方程据椭圆离心率的公式，双曲线离心率的公式，构造方程组，解出即可. 【详解】设双曲线的渐近线方程为 记椭圆和双曲线的半焦距分别为，因为， 则, 令，则， 解得，（舍去），故，双曲线渐近线方程为： . 故选:A. 4、（2024·江西·模拟预测）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线左支于A，B两点，，，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由，，可设，，，由双曲线的定义得到的等量关系求解即可. 【详解】因为，， 所以可设，，． 因为，所以． 在中，，，， 所以，则，又， 所以，故双曲线C的渐近线方程为． 故选：D. 重难点题型突破（七） 直线与双曲线的位置关系 例 22、（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 例23、（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率为定值； (2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可. （2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程. 【详解】（1）由已知可得，解得， 所以双曲线方程为， 设， 所以，两式相减，可得， 又线段的中点为，所以，， 所以，解得， 所以直线的斜率为定值； （2）由（1）设直线的方程为， 由，所以，整理可得， 所以，解得或， 所以，，    所以， 又原点到直线的距离为, 所以的面积为， 化简可得，解得， 所以直线的方程． 1、（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可； （2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及求解即可. 【详解】（1）双曲线的中心在原点,焦点在轴上,设双曲线的方程为 由,可得, 由双曲线过点,可得, 解得, 则双曲线的标准方程为; （2）联立直线与双曲线方程， 化简得，则， 假设, 则，解得. 2、（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为． (1)求的标准方程； (2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据题意列出的方程运算得解； （2）设直线的方程为，代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由弦长公式求得，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围求得结论． 【详解】（1）因为的离心率为，焦距为， 所以，解得，所以． 所以的标准方程为． （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 不妨设分别在左､右位置，联立，得， 联立，得， 所以， 联立，得， 设，则， 由，即， 所以， 所以， 又，所以， 所以的取值范围为． 重难点题型突破（八） 最值与范围问题 例24、（24-25高三上·云南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点为. (1)求的方程； (2)设动直线与双曲线有且只有一个公共点（在第一象限），且与直线相交于点. ①证明：； ②设为坐标原点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据离心率求双曲线的标准方程、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）①联立直线的方程和双曲线的方程，由此求得点坐标，求得点坐标，利用向量数量积的坐标运算证得. ②先求得三角形面积的表达式，然后导数求得面积的最小值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由题意知，而，解得， 由，所以的方程为. （2）由，消去得， 由题意得，化简得. 则，故， 因为点在第一象限，所以，则. 将代入，得. ①由已知，所以， 所以. ②设直线与轴的交点为，则， 所以的面积为， 由，所以， 设，则， 令，解得，故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为. 所以当时，面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“双曲线的离心率以及右焦点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得双曲线的标准方程. 例25、（2025·宁夏·模拟预测）在平面直角坐标系中，点T到点的距离与到直线的距离之比为，记T的轨迹为曲线E，直线交E右支于A，B两点，直线交右支于C，D两点，. (1)求E的标准方程； (2)若直线过点，直线过点，记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，设点，结合两点间距离公式，代入计算，化简即可得到结果； （2）根据题意，分别设直线和直线的方程为和，然后联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，分别得到点的坐标，再结合点到直线的距离公式与面积公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以，整理得， 所以的标准方程为. （2）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立得，设、， 则，，， 故， 因为是AB中点，所以即， 同理可得， 所以到两渐近线的距离分别为，. 到两渐近线的距离分别为，， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接OP， 则四边形面积为， 因为，所以，所以， 所以四边形面积的取值范围为. 1、（23-24高二下·浙江杭州·阶段练习）已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、双曲线中的定值问题、双曲线中的参数及范围、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意列式求出，即可得答案； （2）分类讨论，求出和时，结论成立；当时，利用圆在处的切线方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算的值，即可证明结论； （3）求出弦长以及的表达式，可得，再结合特殊情况下的取值，即可确定答案. 【详解】（1）由题意知双曲线的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 故双曲线的方程为； （2）证明：设，则，当时，不妨取， 此时不妨取，则，即； 同理可证当时，有； 当时，圆在处的切线方程为， 即； 由可得， 因为切线交双曲线于，两点， 故，， 设，则， 故 ， 故， 综合上述可知； （3）由（2）可得当时，， ； 的渐近线方程为， 联立，得， 同理可得， 则 ， 由于，故， 由于，则； 当时，不妨取，则， 此时； 当时，不妨取，则， 此时； 综合上述可知. 2、（2024·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)400． 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用双曲线的定义与性质即可求解. （2）设出直线与双曲线方程联立，表达出韦达定理，再表示面积，利用函数性质即可求解最值. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由（1）知，，则直线是线段AF的垂直平分线．    因为以线段MN为直径的圆恰过点，所以以线段MN为直径的圆恰过点． 所以，故． 设直线， 由双曲线的对称性可得B，C必在轴两侧，则，故． 将代入，得， 则①，②， 由B，C必在轴两侧，可得， 因为，所以，所以，所以， ③， 将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或， 所以直线过定点 所以 令，则， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，， 所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最小值为400. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形面积最值.关键点是设出直线方程与双曲线方程联立，根据韦达定理和函数性质求解面积的最值. 重难点题型突破（九） 定点与定值问题 例26、（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的方程为； （2）设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 例27、（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 1、（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2、（23-24高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【难度】0.4 【知识点】根据韦达定理求参数、双曲线中的定值问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）由渐近线的倾斜角为，可得，从而可求出离心率，则可得，代入双曲线方程，再结合可求得，从而可求出双曲线的方程； （2）设的方程为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，表示出直线的方程和直线的方程，从而可表示出两点的坐标，然后化简计算即可. 【详解】（1）因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为， 所以，所以， 又，即在上，所以， 所以，故的方程为. （2）由（1）得，设， 由题意知的斜率不为0，设的方程为， 代入的方程并整理，得， 则， 所以，且. 直线的方程为，令，得，故， 直线的方程为，令，得，故， 所以 所以为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定值问题，（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简后，再利用根与系数的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的焦距、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 6．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、双曲线中的通径问题 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 7．（2022·全国·高考真题）（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 8．（2020·山东·高考真题）（多选题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆、双曲线定义的理解 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 9．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 10．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 11．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 12．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 13．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 14．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程； （2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. 【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 15．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的定值问题 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为．    联立, 化简得，， 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中. 方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$