专题08 抛物线及其方程（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题08 抛物线及其方程 一、单选题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·陕西西安·三模）设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024·重庆涪陵·模拟预测）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则（    ） A．4 B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 二、多选题 9．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．若为曲线上的动点，则的最小值为5 C．过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知是坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点点在第一象限，且直线与的准线交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．为钝角 11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，若点、分别在、上运动，点则下列说法正确的是（    ） A．当直线经过时， B．的周长最小值为 C．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时， D．设，则的最大值为 三、填空题 12．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 13．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 ． 14．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，为抛物线的准线与轴的交点，直线分别交抛物线于两点（点异于点，），为坐标原点，则实数的取值范围为 ； ． 四、解答题 15．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 16．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的方程； (2)设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程． 18．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 19．（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N． (1)求曲线C的方程； (2)过点A作于，若，O，B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点. (1)求的标准方程； (2)若直线过点，且斜率，求面积的最小值； (3)若直线，与相切，求证：直线也与相切. 2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．    (1)求抛物线T的标准方程； (2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N ①求证：M，H，N三点共线； ②若，求四边形ABCD的面积． 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. (1)求M的方程； (2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 4．（2024·江西吉安·模拟预测）已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切. (1)若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程； (2)若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 5．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 2．（2024·宁夏银川·三模）双曲线 与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点 P是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ． 6．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为 ． 7．（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 . 8．（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 抛物线及其方程 一、单选题 1．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得，代入求解即可. 【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点， 过焦点作垂直于于点，由题意可知， 根据抛物线的定义 在中，，又， 所以， 解得. 故选：C. 2．（2024·陕西西安·三模）设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．22 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可求解. 【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点， 设直线的方程为，，， 联立，可得，所以，， 则．因为，，所以，， 则，解得或．因为，所以． 故选：B 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的焦半径公式、根据韦达定理求参数 【分析】先求出抛物线方程，设与的坐标，联立抛物线利用韦达定理及抛物线的焦半径、基本不等式计算即可. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 则抛物线的方程为． 设，不妨设，设直线的方程为， 联立得， 所以，故， 则， 当且仅当且，即时，等号成立． 故的最小值为9.    故选：D． 4．（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、抛物线的焦半径公式 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 6．（23-24高二下·浙江·期中）已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、基本不等式求和的最小值、直线与抛物线交点相关问题 【分析】求出焦点坐标为，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，得到，由焦半径得到，，从而得到，利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意得，焦点坐标为， 当直线斜率不存在时，不满足交抛物线于两点，舍去， 设直线方程为，联立得，， 方程的判别式， 设， 则，， 则，， 其中的圆心为，半径为1， 故，同理可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C 7．（2024·重庆涪陵·模拟预测）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】作于点，与轴交于点，借助相似三角形的性质可得，，再结合所给数据与抛物线定义计算即可得解. 【详解】作于点，与轴交于点，则， 又且是的中点，则有， 即，又，故， 又，，， 故，即，则. 故选：A. 8．（23-24高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的定值问题、抛物线定义的理解、抛物线的通径问题 【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点. 【详解】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误； B选项，由抛物线的定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误； C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以， 所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误； D选项，设，联立得，， 设，则，设轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．若为曲线上的动点，则的最小值为5 C．过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求抛物线的轨迹方程、判断直线与抛物线的位置关系 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，依题意，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确； 对于D，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，周长为，D正确； 对于B，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为， 则，，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，B正确； 对于C，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为， 由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点， 当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，C错误. 故选：ABD 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知是坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点点在第一象限，且直线与的准线交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．为钝角 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线相交求直线方程、向量夹角的坐标表示 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出可判断A；设直线，与抛物线方程联立，利用可判断B；过作，由抛物线的定义可知，根据得直线的倾斜角可判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标表示，再利用向量的夹角公式可判断D. 【详解】对于A，由抛物线可得准线方程为， 又直线过抛物线的焦点， 则，所以，解得，故A正确； 对于B，由A选项可得，且焦点，当时，设直线， 设，，则，整理得，所以， 所以，故B错误； 对于C，过作，垂足为，由抛物线的定义可知， 若，则，则， 则直线的倾斜角为，则，故C错误； 对于D，由A选项可得，且焦点，因为直线 ，则，整理得 ，所以， 因为，所以 ， 所以，所以为钝角，故D正确. 故选：AD. 11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，若点、分别在、上运动，点则下列说法正确的是（    ） A．当直线经过时， B．的周长最小值为 C．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时， D．设，则的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】对A，求出焦点坐标即可得抛物线方程，计算出直线的方程，求出的横坐标，进而求出焦点弦；对B，利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离转化成到准线的距离，再依据数形结合即可求出最值；对C，将面积表达为与有关的式子，当最小时，面积最小，进而求出切点弦长；对D，可以转化成，求出使得最小的的位置，进而计算所求最大值. 【详解】由题意，，所以，， 对于A，直线经过，所以方程为：， 联立，得，解得， 所以，错误； 对于B，抛物线的准线方程为，过作于， 则， 当三点共线时，等号成立， 此时，正确； 对于C，四边形的面积为， 设，则， 则当在原点时，取得最小值，四边形的面积取得最小值， 由等面积法，，所以，正确； 对于D，， 要使得最大，则最小时，满足条件， 过作圆的切线靠近的切线，切点即为，由，，，所以， 此时，为最小值, 此时. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 三、填空题 12．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 13．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线定义的理解 【分析】由给定的抛物线方程直接求出焦点坐标；利用抛物线定义求出点的纵坐标，再求出三角形面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得，于是，， 所以的面积为. 故答案为：； 14．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，为抛物线的准线与轴的交点，直线分别交抛物线于两点（点异于点，），为坐标原点，则实数的取值范围为 ； ． 【答案】 或 1 【难度】0.4 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】联立方程组，令，可得实数的取值范围，根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称，从而可解. 【详解】联立方程组，整理得：， 直线交抛物线于两点， 则，即或； 设,，,， 则， 记，，焦点， 设直线方程为，代入整理得：， 则，同理可得，又， 因此， 根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称， 所以，则. 故答案为：或；1 【点睛】关键点点睛：借助韦达定理并结合根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称. 四、解答题 15．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 【答案】(1)或 (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解； （2）根据题意可得.①求得，进而可得直线，联立求点得坐标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线经过定点，即可得结果. 【详解】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或. （2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，    且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即； ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，， 且，即， 则， 令，得 ， 所以直线经过定点， 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 16．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定值问题 【分析】（1）由抛物线的准线方程求解，即可求解抛物线标准方程. （2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求得点，点，从而求出直线方程，联立抛物线方程，结合弦长公式求出，代入运算化简即可证明. 【详解】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以， 故抛物线E的标准方程为. （2）易知抛物线E的焦点， 设直线AB的方程为，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为， 联立可得，即，即， 所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点， 所以，AC的方程为， 同理可知，直线BD的方程为， 在直线AC的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，所以，直线的方程为，即， 设点、，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以， 同理可得， 所以 ， 故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的方程； (2)设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）理解题意，判断点在抛物线上，求得的值，即得方程； （2）设直线方程，与抛物线方程联立，求得的范围，写出韦达定理，将条件等式利用图形转化为，代入点坐标，整理后利用韦达定理化简即得. 【详解】（1）设抛物线的方程为． 因为，，所以点在抛物线上， 所以，故，所以抛物线的方程为． （2）      如图，由（1）知． 设直线：，，，， 由可得， 由，得，且，，． 分别过点作轴的垂线与过点的轴的垂线交于点,显然, 则有，同理有， 由可得， 整理得． 又时，，因，且，故有 即点的轨迹方程为，． 18．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）根据题意可知焦点F到准线的距离为，即可得方程； （2）设，利用平面向量数量积可得，结合基本不等式运算求解； （3）设，求直线的方程，结合题意可得，结合夹角公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为， 所以抛物线E的方程为. （2）设，可知，则， 可得， 显然不满足上式， 则，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以t的取值范围为. （3）设， 则直线的斜率， 可得直线的方程，整理得， 同理可得：直线的方程， 由题意可得：，整理得， 又因为直线的斜率分别为， 显然为锐角，则， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 19．（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N． (1)求曲线C的方程； (2)过点A作于，若，O，B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，8. 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题、数量积的运算律、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】（1）根据给定条件，利用圆与直线相切及与已知圆内切探讨关系，再结合抛物线定义求出轨迹方程. （2）设，由向量共线可得，进而可得，再利用直角三角形相似数量积的运算律求解即得. 【详解】（1）依题意，动圆在圆外，设动圆的半径为，且， 由圆与圆内切，得，由圆与直线相切， 因此点到的距离等于点到直线的距离， 即曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）线段MN的长度存在最小值，理由如下： 设，则， 由三点共线，得，解得， 直线的方程为，直线的方程为，则， 于是，则， 因此点在以为直径的圆上，设直线与轴交于点， 由∽，得， 则 ， 即，当且仅当取等号， 所以线段长度存在最小值，最小值为8. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点. (1)求的标准方程； (2)若直线过点，且斜率，求面积的最小值； (3)若直线，与相切，求证：直线也与相切. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据列式运算求得，得解； （2）设直线为与抛物线联立，利用弦长公式求得，再利用点到直线距离公式求得边上高，表示出，设，利用导数判断单调性求得的最小值； （3）设直线的方程为，与抛物线联立，由得，同理可得，可得，满足方程与联立验证即可. 【详解】（1）根据题意得，， ，，解得， 所以，抛物线的标准方程为. （2）设直线为代入得，， 设，，，则有，. 点到直线的距离为， ， ， 设， 则，所以函数在上单调递增， 所以，所以的最小值为. （3）直线的方程为， ，， ，即， 代入到得：， ，即，① 同理直线的方程为即， 代入到得：， ，即，② 由①②，显然，满足方程， 再将直线代入到得：， ，所以直线也与相切. 【点睛】关键点睛：本题第三问解题的关键是得到点的坐标均满足，即直线的方程为，与联立验证. 2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．    (1)求抛物线T的标准方程； (2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N ①求证：M，H，N三点共线； ②若，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的几何性质，得到，即可求得抛物线的标准方程； （2）①设分别求得的方程，求得和，根据，得到，再由的方程，求得的表达式，即可得证； ②由①，得到和，由和，分别求得和，两式相减得，结合和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为当经过抛物线的焦点F且垂直于x轴时，且， 可得，解得，所以抛物线的标准方程为. （2）解：①设是抛物线上任意两点， 则，所以， 同理设是抛物线上任意两点， 则，所以， 又因为，可得，所以， 同理，令，可得， ，令，可得， 所以点，H，N三点共线. ②由①知，同理， 所以，可得 ，可得 两式相减，可得，可得，（交于）， 因为且，所以， 可得，又为中点，则平分， 所以，且， 所以. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，A，B是抛物线上两点，满足（O是坐标原点），过点O作直线的垂线，垂足为D，记D的轨迹为M. (1)求M的方程； (2)设是M上一点，从P出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反射光线必过抛物线C的焦点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、抛物线中的直线过定点问题、由圆心（或半径）求圆的方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）设，联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示解出b，则过定点，进而确定点M的轨迹，即可求解； （2）易知若切线的倾斜角或，反射光线的方程为；若，设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为，过Q的切线设为，联立抛物线方程，由得.利用点斜式方程表示反射光线方程，即可证明. 【详解】（1）易知，设，联立抛物线C得， ∴，，由得 ， ∴，故过定点.∵， ∴D的轨迹是以为直径的圆（除去原点）， 即M的方程为； （2）设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为， 过Q的切线设为，联立抛物线C， 得，由，解得. 设切线的倾斜角为，则反射光线的倾斜角是或， 得反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 整理得，恒过点. 若或，则反射光线的方程为. 从而反射光线必过抛物线C的焦点. 4．（2024·江西吉安·模拟预测）已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切. (1)若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程； (2)若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)是定值0. 【难度】0.15 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据直线的斜率和中点坐标，得到，得到的方程，求出直线方程，联立抛物线，根据根的判别式为0求出，得到的方程； （2）由（1）知，直线斜率存在且为，表达出直线的方程，与联立，根据根的判别式为0求出，同理可得，两式相减得到. 【详解】（1）因为直线的斜率为2，线段的中点为， 所以， 所以直线的斜率为， 所以的方程为， 直线方程为，即， 与联立得， 因为直线与相切， 所以，解得， 所以的方程为.    （2）由（1）知，直线斜率存在且为， 设直线在轴上的截距为，则， 整理得 所以直线的方程为， 与联立得， 因为直线与相切，所以， 整理得， 同理可得， 以上两式相减得， 由直线与相切可得，由不重合可得， 所以，即为定值0. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 5．（2024·山西·三模）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）根据题意可知焦点F到准线的距离为，即可得方程； （2）设，利用平面向量数量积可得，结合基本不等式运算求解； （3）设，求直线的方程，结合题意可得，结合夹角公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为， 所以抛物线E的方程为. （2）设，可知，则， 可得， 显然不满足上式， 则，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以t的取值范围为. （3）设， 则直线的斜率， 可得直线的方程，整理得， 同理可得：直线的方程， 由题意可得：，整理得， 又因为直线的斜率分别为， 显然为锐角，则， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的参数范围问题、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解； （2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、切线长、抛物线定义的理解 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 2．（2024·宁夏银川·三模）双曲线 与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点 P是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线的方程求得焦点，延长交的延长线于点M，由角平分线的性质得且，继而由中位线的性质得，根据双曲线的定义求得，由双曲线的离心率公式可求得答案． 【详解】由抛物线得焦点，所以，延长交的延长线于点M， 因为PN是的角平分线，于点N，所以且， 又点O是的中点，所以且， 又，所以，由双曲线的定义得， 所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据韦达定理求参数、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为.      由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 4．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线的定义、方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积等知识判断四个结论即可. 【详解】 方法一：结论①：过点作轴的垂线，垂足为，则，所以， ， 因为经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），， 所以，由点在抛物线上，得，解得或（舍去），故①正确． 结论②：由①得抛物线的方程为，直线的方程为， 将其与抛物线方程联立，得，得或，所以， 故，故，②错误． 结论③：由，得，故③正确． 结论④：由，得， 故，故④正确． 所以正确结论的个数为3． 故选：C. 方法二：由直线的斜率为可得直线的倾斜角为． 对于①：，得，故①正确． 对于②：结合①可知，，故，②错误． 对于③：，故③正确． 对于④：，故④正确． 所以正确结论的个数为3． 故选：C. 5．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知是抛物线上三个不同的点，它们的横坐标，，成等差数列，是的焦点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、抛物线的焦半径公式 【分析】先求出，故可得，结合基本不等式可求. 【详解】因为，故，故，故， 所以，即， 若，则，故中必有两个点相同，这与题设矛盾， 故，故， 由基本不等式有，即， 故答案为：. 6．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】先通过得到点位置，再通过得到线段长度，设，根据焦半径公式可得求出，根据可得面积. 【详解】如图，由，得，又因为为，的中点， 所以，即N为PF的三等分点，且， 又因为， 所以，且， 所以． 不妨设，且在第一象限，，，解得， 因为点在抛物线上， 所以， 所以△AMN的面积． 故答案为：. 7．（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求平面轨迹方程 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案. 【详解】设， 则， 化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆， 抛物线的焦点，准线方程为， 则 ， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 8．（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设，由，解出得点坐标，结合得抛物线方程. 【详解】以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系， 不妨设． 由，则有，解得， 又，解得， ，则有， 故抛物线方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$