专题07 双曲线及其方程（分层训练）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 双曲线及其方程 一、单选题 1．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·一模）若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南·三模）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（    ） A． B．4 C． D．2 5．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①直线的斜率的取值范围是； ②点P到C的两条渐近线的距离之积为； ③； ④． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（    ） A．2 B． C． D． 8．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线的右焦点为F，过原点O作斜率为k的直线交双曲线于A，B两点，且，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东·二模）已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 11．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（    ） A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点是它的一个焦点 D． 三、填空题 12．（2024·北京海淀·三模）已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 14．（2024·山东烟台·三模）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 . 四、解答题 15．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 16．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 17．（2024·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 18．（2024·河北·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为. (1)求的方程； (2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程. 19．（2024·河南·三模）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于两点（异于点），直线与的斜率之积为. (1)求的方程. (2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点. (3)求直线斜率的取值范围. 1．（2024·江西景德镇·三模）已知是双曲线：上的一个点，且与两焦点构成的三角形的面积是. (1)求双曲线的标准方程； (2)是的右顶点，过点的直线与交于异于的不同两点、，与直线交于点.连接，并过作的平行线分别与直线、交于、两点.求证：是线段的中点. 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 3．（2024·全国·模拟预测）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足． （ⅰ）求斜率的取值范围； （ⅱ）证明：点恒在一条定直线上． 4．（2024·山西·一模）已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 5．（2023·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为. (1)求C的方程； (2)证明：为定值. 6．（2023·安徽亳州·模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.    (1)当时，求双曲线的标准方程； (2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 7．（2023·吉林·模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为 (1)求双曲线的标准方程； (2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为. （i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）求直线和交点的轨迹方程. 8．（2023·安徽黄山·三模）如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点. (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由. 1．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·重庆·期中）双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲线.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数，的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．渐近线方程为和 B．的对称轴方程为和 C．M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D．Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值 6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 . 8．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， . 9．（2024·湖北·模拟预测）祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线，，围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V= . 10．（22-23高二下·上海·期末）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点 .若双曲线的方程为，下列结论正确的是 . ①若，则； ②当过时，光由所经过的路程为； ③射线所在直线的斜率为，则； ④若，直线与相切，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 双曲线及其方程 一、单选题 1．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 2．（2024·四川·一模）若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求出双曲线的渐近线方程为，结合条件得到，即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，由题知， 所以离心率， 故选：B. 3．（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值. 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 4．（2024·湖南·三模）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及的关系即可求解. 【详解】由对称性，不妨设，双曲线的渐近线是， 则由题意，解得，故所求为. 故选：A. 5．（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据中点关系得，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得，根据点在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为的方程求解即可. 【详解】由题意，，设，则， 因为为线段的中点，所以，即，则， 因为，所以，即， 又在双曲线上，所以， 结合整理得，所以， 解得或（舍去），由，解得. 故选：A 6．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①直线的斜率的取值范围是； ②点P到C的两条渐近线的距离之积为； ③； ④． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用解析几何中的坐标思想来研究，结合双曲线方程及联解方程组，通过坐标运算进行分析求解即可. 【详解】由题意知，，设，又点P在C上，所以， 所以，所以直线的斜率， 所以，令，， 所以 所以，即直线的斜率的取值范围是，故①正确； C的渐近线方程为，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为．故②错误； ，故③正确； 当时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为， 由得， 所以得，， 解得， 所以C在点P处的切线方程为，即． 当时，C在点P处的切线方程为，所以点P处的切线方程为． 由，解得， 由解得 又，， 所以点P是线段MN的中点，所以，故④正确． 故选：C． 7．（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设两点的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可. 【详解】 ，故点在的垂直平分线上， 则点的横坐标为，且过作轴的垂线交渐近线于点， 故设点， 不妨设均在上，则， ，， ，即，， ，故离心率为. 故选：D. 8．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 二、多选题 9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线的右焦点为F，过原点O作斜率为k的直线交双曲线于A，B两点，且，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、数量积的坐标表示、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设出直线方程并与双曲线方程联立，利用对称性以及数量积的坐标表示即可得出的取值范围. 【详解】不妨设直线方程为，， 联立，消去并整理可得，此时恒成立； 由韦达定理可得； 因为直线过原点，所以A，B两点关于原点对称， 可得，解得， 又易知，所以双曲线右焦点； 因此， 即可得， 代入，得，解得或； 综上可得或， 易知双曲线渐近线方程为，且， ； 所以，因此的可能取值是. 故选：BC 10．（2024·山东·二模）已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．若满足的直线恰有一条，则 D．若满足的直线恰有三条，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的通径问题、求双曲线的顶点坐标 【分析】由双曲线的性质和离心率可得A正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径可得B错误；若满足的直线恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得，可判断C正确；若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，可得，可推导出D正确. 【详解】A：当时，因为，所以，故A正确； B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点） 当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为， 代入双曲线方程为，解得，此时弦长为， 由于不一定等于，故B错误； C：若满足的直线恰有一条， 由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交， 所以， 此时，故C正确； D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交， 所以，所以， 又，所以，故D正确； 故选：ACD. 11．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（    ） A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点是它的一个焦点 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的焦点坐标、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及即可逐一判断求解. 【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为， 容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点， 所以，其中一个焦点坐标应为而不是， 由双曲线定义可知． 故选：ABD 三、填空题 12．（2024·北京海淀·三模）已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求出双曲线的基本量，故可求离心率和渐近线方程. 【详解】设双曲线的半焦距为，由题设可得且焦点在轴上， 故可设双曲线方程为：，则即， 故即，故离心率为，渐近线方程为， 故答案为：；. 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】记，分别用m表示出，在中由勾股定理可得，在中由三角函数定义可得，再在中利用余弦定理列齐次式，然后可得渐近线方程. 【详解】因为，所以三点共线， 又，所以为直角三角形， 记，则， 由双曲线定义和对称性可得， 则有，即， 解得或（舍去）. 记，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，得 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 14．（2024·山东烟台·三模）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的参数及范围 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，由轴得，利用斜率公式可得结果. 【详解】因为双曲线：（，）的渐近线方程为，依题意有， 即，又右焦点为，且轴，所以， 所以， 故答案为：.    四、解答题 15．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 16．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据题中条件找到双曲线中的，从而求出的方程. （2）利用平移齐次化进行证明即可. 【详解】（1）由双曲线过点，则， 又离心率为2，则，即， ，即，代入， 可得，，， 因此，的方程为：. （2） 将双曲线向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线为，得到的双曲线如图所示， 则平移到，平移到， 平移后，变为，，设，，直线的方程为：①， ②， 将①代入②，用“1”的代换得，则， 各项同时除以，得，则， 又直线过，则，即， 因此， 故当直线，的斜率存在时，，的斜率之积为定值. 【点睛】方法点睛：平移齐次化的步骤， （1）平移； （2）与圆锥曲线联立并其次化； （3）同除； （4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去. 17．（2024·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)400． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用双曲线的定义与性质即可求解. （2）设出直线与双曲线方程联立，表达出韦达定理，再表示面积，利用函数性质即可求解最值. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由（1）知，，则直线是线段AF的垂直平分线．    因为以线段MN为直径的圆恰过点，所以以线段MN为直径的圆恰过点． 所以，故． 设直线， 由双曲线的对称性可得B，C必在轴两侧，则，故． 将代入，得， 则①，②， 由B，C必在轴两侧，可得， 因为，所以，所以，所以， ③， 将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或， 所以直线过定点 所以 令，则， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，， 所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最小值为400. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形面积最值.关键点是设出直线方程与双曲线方程联立，根据韦达定理和函数性质求解面积的最值. 18．（2024·河北·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为. (1)求的方程； (2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中的最值问题、双曲线中的动点在定直线上问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）分别求出均位于双曲线的右支时或分别位于双曲线的左､右支时的最小值，再根据题意进行取舍，进而求出曲线的方程即可； （2）先讨论斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，直线与双曲线联立，解出的取值范围，由的外心落在轴上，可得，则，最后解出的值，进而解出直线的方程. 【详解】（1）当均位于的右支时，， 当分别位于的左､右支时，， 因为，且，所以（舍）， 所以，即， 所以双曲线的方程为. （2） 由曲线的方程为，可得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得， 则， 此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴， 若外心的横坐标，则，但此时，， 由，则不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，联立消去可得， 由题意知恒成立， 设，则， 由于位于双曲线的右支，所以，即， 解得或， . 设的中点， 则在的中垂线上，设直线的斜率为，则， 所以，显然，则，可得， 由，则， 又因为， 可得:， 整理得， ， 即，由，则，满足， 所以直线方程为，即或. 【点睛】关键点点睛：由一元二次方程的判别式大于得出直线斜率的取值范围，再由题意结合图象得到关于的高次方程，结合的取值范围降次得到的值. 19．（2024·河南·三模）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于两点（异于点），直线与的斜率之积为. (1)求的方程. (2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点. (3)求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）借助虚轴定义计算即可得； （2）设出直线方程，代入曲线中，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜率之积可得直线中参数关系，即可得其定点； （3）借助（2）中所得与横坐标有关一元二次方程，计算其即可得. 【详解】（1）因为虚轴长为，所以， 将的坐标代入方程，得，解得， 故的方程为； （2）设，直线的斜率为，直线的斜率为， 当直线的斜率不存在时，设，易得， 由，得，解得（舍去）或（舍去）， 法一：所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入的方程得，则， 由， 可得， 即， 化简得，即， 所以或， 当时，直线的方程为，直线过点，与条件矛盾，舍去， 当时，直线的方程为，直线过定点，故直线过定点； 法二：设直线， 将的方程变形为，即， 将直线的方程变形为，代入的方程， 得， 整理得， 则，即， 所以直线， 故直线过定点； （3）由（2）知，整理得， 则且， 由可得， 由可得，即， 故. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 1．（2024·江西景德镇·三模）已知是双曲线：上的一个点，且与两焦点构成的三角形的面积是. (1)求双曲线的标准方程； (2)是的右顶点，过点的直线与交于异于的不同两点、，与直线交于点.连接，并过作的平行线分别与直线、交于、两点.求证：是线段的中点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）将双曲线上的点的坐标代入方程，再结合三角形面积公式列式求解即可； （2）设直线方程，与双曲线方程联立，韦达定理，联立直线与直线方程求得，同理求得，求得，即可证明. 【详解】（1）由题意可知，解得， 双曲线的标准方程是. （2）依题意直线斜率不为零，设：，，， 由已知，，将直线与进行联立得：， 整理得其中， 根据韦达定理可知，. 设直线：，直线：， 两者联立，得：， 同理得， ， 即线段的中点是定点. 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)在直线上，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的切线方程、双曲线中的通径问题 【分析】（1）设过与轴垂直的直线交于，两点，可得，再根据离心率以及，，的关系求解即可； （2）设，，由已知可得在上一点处的切线方程，可得直线的方程为，联立直线的方程与双曲线方程，利用韦达定理即可求解的坐标，由双曲线在，两点处的切线方程可得直线的方程，代入即可求解. 【详解】（1）在中，不妨令，解得，所以， 又，解得，， 所以双曲线的方程为； （2）点在直线上，证明如下： 设，， 由题可知双曲线在点处的切线方程为， 同理，在点处的切线方程为， 又两切线交点为，所以， 所以直线的方程为， 联立，得， 因为，满足，， 则，，所以， 所以，设，， 由题可知双曲线在，两点处的切线方程分别为，， 又两切线交点为，所以， 可得直线的方程为，即， 当时，，所以点在直线上. 3．（2024·全国·模拟预测）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； (3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足． （ⅰ）求斜率的取值范围； （ⅱ）证明：点恒在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）将点代入方程，解出即可； （2）利用距离公式即可证明； （3）将直线与双曲线的方程联立，可得到一个二次方程，利用二次方程的性质即可得到的取值范围，再利用韦达定理，可以用表示点的坐标，最后验证点恒在直线上即可. 【详解】（1）由点在双曲线上，知，故. 展开得到，即，故. 所以，故双曲线的方程为. （2）设的坐标为，则，即. 而双曲线的渐近线为和，故到两条渐近线的距离之积为，此为定值. （3） （ⅰ） 由题意知直线的方程为，即，与即联立，得到. 将展开，即为. 设，，由于与的右支有两个不同的交点，故关于的方程有两个不同的正数根，这等价于，即. 由，知条件等价于. 而 ， 故条件等价于，即，且，且，即. 所以斜率的取值范围是. （ⅱ） 设，由于是关于的方程的两个不同的正数根，故，. 由于，，，且在同一直线上，故，. 而，故，即. 从而，故. 由，，知. 去分母，得，即，所以. 由于点在直线上，而直线的方程为，故. 从而点的坐标为. 由于，故点恒在定直线上. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对韦达定理的多次运用，在求斜率的取值范围，以及求点的坐标时，均用到了韦达定理. 韦达定理能够让我们先确定关于一个多项式方程的根的初等对称多项式的取值（而不需要解出每个根），再由此确定任意一个对称多项式（或对称的分式表达式等其它对称表达式）的取值. 例如对于二次方程，我们由韦达定理确定和后，就可以由此确定若干对称表达式的值，例如在距离问题中常见的，和在比例问题中常见的. 本题中我们处理的是表达式，将其化为，再利用其取值为零，结合韦达定理即可轻松解出，而不需要解出. 4．（2024·山西·一模）已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【难度】0.65 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、双曲线中的动点在定直线上问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意得，解出的值即可； （2）一方面是上任意一点，从而可得出它也在直线上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可； （3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得，由向量数量积公式化简得，说明即可得证. 【详解】（1）因为双曲线经过点，且直线是的一条渐近线， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2） 首先设是上任意一点，所以有， 这表明了点也在直线上，也可以得到， 联立直线的方程与椭圆的方程有， 化简并整理得， 而，且， 这也就是说与双曲线相切于点； （3） 不妨设， 由（2）可知过点的直线的方程为， 因为点在直线上， 所以，即有， 又，从而， 所以， 若，则 ， 整理得， 因为，所以，也就是说， 从而， 所以点在定直线上上. 5．（2023·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为. (1)求C的方程； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据题意，直接列出方程求解，可得答案. （2）根据题意，分类讨论当垂直于轴和不垂直于轴时的情况，对于垂直于轴的情况，直接列方程计算；对于不垂直于轴时的情况，直线与双曲线联立方程，利用韦达定理，计算化简可证明成立. 【详解】（1）根据题意有，C的一条渐近线方程为， 将代入C的方程有，， 所以M，N到直线的距离之和为， 所以，C的方程为. （2）   方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知，， 且由双曲的定义可知，故. 当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知，， 故. 设，代入C的方程有：， 设，，则，， 所以， 所以. 综上，的值为6. 方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知，， 且由双曲的定义可知， 故. 当l不垂直于x轴时，设， 代入C的方程有：. 设，，则，， 所以. 综上，的值为6. 6．（2023·安徽亳州·模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.    (1)当时，求双曲线的标准方程； (2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）延长与交于，根据，得到，再设，利用双曲线的定义求解； （2）设，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程，设直线方程为，联立求得即可. 【详解】（1）解：如图所示：    延长与交于， 因为， 所以， 设，则，即， ， 故方程为； （2）设， 则， ， 两渐近线所在直线方程为：， 设直线方程为，将渐近线两侧平方与直线联立， 则可得，则， 则， 故. 7．（2023·吉林·模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为 (1)求双曲线的标准方程； (2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为. （i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）求直线和交点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（i）存在，；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、轨迹问题——直线 【分析】（1）注意到直线与双曲线有且仅有一个公共点时，l平行于渐近线可解； （2）利用韦达定理结合即可求得，再根据和的直线方程消去斜率即可得交点的轨迹方程. 【详解】（1） 故当直线过与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行 设直线，即，则点到直线的距离为 即双曲线的标准方程为：. （2）（i）由题可知，直线斜率不为0 设直线 由得： 成立 . 所以存在实数，使得成立. （ii）直线，直线 联立得： 所以直线和交点的轨迹方程为： 8．（2023·安徽黄山·三模）如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点. (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据韦达定理求参数、双曲线定义的理解 【分析】（1）根据题意，结合双曲线的定义和椭圆的定义即可求解； （2）设直线的方程为：，，根据题意得出，然后将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题意以及双曲线定义可得：，        由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，的椭圆（不含短轴端点），其方程为. （2）设直线的方程为：，， 则由，知，所以， 令，得     因点在直线上，所以，变形得，代入式化简得 ，若直线恒过线段的中点，则有 ，整理得          由，得，所以        代入整理得，，解得，所以存在，即直线，使得直线恒过线段的中点. 1．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点在双曲线上得到，再由图中角度关系结合两角差的正切展开式得到，然后结合已知得到，最后由离心率的齐次式得到结果； 【详解】    设，则，， ，则，① 则， 所以， ， 所以，② 将①代入②得， ， 因为， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：过两点的直线斜率（或正切值）为，再结合两角差的正切展开式将问题转化为. 2．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线、双曲线向量共线比例问题 【分析】直线l与C的一条渐近线平行求出可得点坐标，根据得点坐标代入，可得渐近线方程，设，求出，利用平方关系、商数关系、余弦的二倍角公式计算可得答案. 【详解】过的直线斜率为，则，则，依题知， 且，则，即， 根据，得，代入， 得，渐近线方程， 设， ，由，所以， ． 故选：A. 【点睛】方法点睛：当解析中与向量问题的结合时，一般的思路有两个，一个是寻找几何关系，比如：中点、垂直、角平分线等，利于数形结合求解；另一个是通过向量坐标化，进而转成代数运算求解. 3．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】建立如图平面直角坐标系，求出点M、E的坐标，代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求出余弦值即可. 【详解】设交于， 以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系， 因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面， 所以，所以，又因为底面圆半径， 所以，，所以， 设双曲线方程为，将代入， 得，解得，则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在求得双曲线渐近线方程后，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值. 4．（23-24高三下·重庆·期中）双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲线.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数，的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先确定的两条渐近线，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线方程，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率. 【详解】趋向于0时，趋向于0，趋向于正无穷时，趋向于0， 则的两条渐近线分别为，， 所以该函数对应的双曲线焦点在，夹角（锐角）的角平分线上， 设且，若，分别是，的倾斜角， 故，，故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角， 由，即， 整理得，可得（负值舍去）， 所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键. 5．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（    ） A．渐近线方程为和 B．的对称轴方程为和 C．M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D．Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、二倍角的正切公式、已知两点求斜率、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据题意结合图象分析判断A；根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算判断B；根据题意结合斜率公式运算求解判断C；根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果判断D. 【详解】对于A，函数图象是双曲线，由图象知：函数的图象与直线和无限接近， 但不相交，则直线和为该双曲线的渐近线，A正确； 对于B，函数图象是双曲线，由双曲线的性质知，双曲线的对称轴为其渐近线的角分线，且互相垂直， 一条对称轴的倾斜角为，由二倍角公式可得， 整理得，而，解得， 斜率， 另一条对称轴的斜率为，对应的方程分别为和，B正确； 对于C，设，直线的斜率分别为， 则，C错误； 对于D，函数，求导得，设， 则函数的图象在处切线的斜率， 切线方程为，令，得，即，则， 令，得，即，则， 因此的面积（定值），D正确． 故选：ABD    【点睛】方法点睛：求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 ①已知切点，求在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程． ②已知切线的斜率为k，求的切线方程：切点，通过方程解得，再由点斜式写出方程； ③已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程． 6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、等轴双曲线、余弦定理解三角形 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 . 【答案】 3 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题 【分析】根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可. 【详解】由题意知M在双曲线右支上，， 设，设点，则， 即， 则， 即， 又， 所以，所以，所以. 点在双曲线C右支上，所以，所以. 由对称性可得为的中点， 在中，， 即， 又在中，， 所以， 由于，故， 故， 所以双曲线的离心率的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可. 8．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， . 【答案】 2 18 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义式和三角形内切圆的性质推得，结合，求出，得内切圆的圆心横坐标为，再由条件推出为的角平分线，从而得到的内心即点，即得结论. 【详解】 设的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图， 则， 在双曲线右支上，由双曲线定义得，展开即得， ， 又，故，因，则得， 即内切圆的圆心横坐标为， 由，得， 可得，即为的角平分线， 由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为， 则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为； . 故答案为：2；18. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线的定义和三角形内切圆性质推出，结合，从而确定内切圆的圆心横坐标为，为后续求内切圆半径打下基础. 9．（2024·湖北·模拟预测）祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线，，围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V= . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求旋转体的体积、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】作出图象可知：当双曲线，它的渐近线以及，围成的图形绕轴旋转一周所形成的圆环面积恒定，所以根据祖暅原理可将题目转化为底面恒定，高为的圆柱，进而求出体积即可. 【详解】 如图：当双曲线，它的渐近线以及， 围成的图形绕轴旋转一周所形成的圆环， 令，分别代入和中， 解得：， 即外圆半径，内圆半径， 此圆环的面积为：为恒定值， 所以根据祖暅原理可将题目转化为底面为半径为的圆面，高为的圆柱的体积， 所以. 【点睛】关键点点睛：将几何体的体积转化成底面为半径为的圆面，高为的圆柱的体积是本题的关键所在. 10．（22-23高二下·上海·期末）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点 .若双曲线的方程为，下列结论正确的是 . ①若，则； ②当过时，光由所经过的路程为； ③射线所在直线的斜率为，则； ④若，直线与相切，则. 【答案】①③ 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】对于①：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于②：利用双曲线的定义直接求得；对于③：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于④：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出. 【详解】对于①：若，则，因为在双曲线右支上， 所以，由勾股定理得：，二者联立解得： ，故①正确； 对于②：光由所经过的路程为： ，故②错误； 对于③：双曲线的方程为，设左、右顶点分别为，如图所示： 当与同向共线时，的方向为，此时，最小， 因为在双曲线右支上，所以所在直线的斜率为，即，故③正确； 对于④：设直线的方程为，，，消去可得： ，其中， 即，解得代入， 有，解得， 由在双曲线右支上，即，解得（舍去），所以，所以，故④错误； 故结论正确的是①③. 故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：掌握双曲线的定义及理解双曲线的光学性质是解决本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$