1.4.1：用空间向量研究直线、平面的位置关系【5大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1：用空间向量研究直线、平面的位置关系 【考点归纳】 · 考点一、平面法向量的概念 · 考点二、求平面的法向量 · 考点三、证明线面、面面平行 · 考点四、证明线面、面面垂垂直问题 · 考点五：空间向量在位置关系的应用 【知识梳理】 知识点一　空间中直线、平面的向量表示 1．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量：如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示 1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【例题详解】 题型一、平面法向量的概念 1．（23-24高二上·河南濮阳）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二·天津和平·阶段练习）已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 题型二、求平面的法向量 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    5．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 6．（2021高二·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    题型三、证明空间线面、面面平行 7．（2024高二上·全国）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 8．（22-23高二上·天津蓟州）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 9．（2023高三·全国）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    题型四、证明线面、面面垂垂直问题 10．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    11．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 12．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 题型五：空间向量在位置关系的应用 13．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 14．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，．用向量法解下列问题： (1)求长度； (2)求证：； (3)若点M，N分别在直线和上运动，当且时（MN为公垂线段，这样的MN只有一条），求MN的长度． 15．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 17．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．（23-24高二上·全国·期中）已知为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量与不重合），那么下列说法中： ①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（23-24高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 21．（23-24高二上·广东河源·期末）已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 22．（23-24高二上·安徽·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 23．（22-23高二上·广东惠州·期末）已知空间中，，则下列结论正确的有（   ） A． B．与共线的单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 24．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 25．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．若平面，则的最大值为 D．若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题 26．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 27．（2024高二上·全国·专题练习）如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 28．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 29．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 四、解答题 30．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面；(2)平面平面. 31．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 32．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 33．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 34．（23-24高二上·重庆梁平）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1：用空间向量研究直线、平面的位置关系 【考点归纳】 · 考点一、平面法向量的概念 · 考点二、求平面的法向量 · 考点三、证明线面、面面平行 · 考点四、证明线面、面面垂垂直问题 · 考点五：空间向量在位置关系的应用 【知识梳理】 知识点一　空间中直线、平面的向量表示 1．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2．平面的法向量：如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 知识点二　线线、线面、面面平行的向量表示 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 知识点三　线线、线面、面面垂直的向量表示 1．设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【例题详解】 题型一、平面法向量的概念 1．（23-24高二上·河南濮阳）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】首先分析题意，利用空间向量知识进行解答. 【详解】分析题意,，得出，即，所以，即. 故选:D. 2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可. 【详解】由题意知：，， 对于A，，， 与均垂直，是平面的一个法向量，A正确； 对于B，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，B错误； 对于C，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，C错误； 对于D，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，D错误. 故选：A. 3．（20-21高二·天津和平·阶段练习）已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论. 【详解】对于A，，，故选项A在平面内； 对于B，，，故选项B不在平面内； 对于C，，，故选项C在平面内； 对于D，，，故选项D在平面内. 故选：B. 题型二、求平面的法向量 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 5．（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【答案】（不唯一） 【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可. 【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 6．（2021高二·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【答案】答案见解析 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量可直接写出，设出平面的法向量，根据垂直关系列出方程组，求出答案. 【详解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且， ∴两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，      则， 则，易知向量是平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则即， 取，则， 所以平面的一个法向量为. 题型三、证明空间线面、面面平行 7．（2024高二上·全国）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 8．（22-23高二上·天津蓟州）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 9．（2023高三·全国）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    【答案】证明见解析 【分析】 建系，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 可得，，，， 因为是的中点，则， 则，因为，， 可得， 因为平面BCD的法向量可取为， 则，且平面BCD， 所以PQ平面BCD． 题型四、证明线面、面面垂垂直问题 10．（24-25高二上·全国·假期作业）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 11．（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 12．（2023高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. 求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以， 所以， 所以平面平面. 题型五：空间向量在位置关系的应用 13．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 14．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，．用向量法解下列问题： (1)求长度； (2)求证：； (3)若点M，N分别在直线和上运动，当且时（MN为公垂线段，这样的MN只有一条），求MN的长度． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据数量积的运算律求模长； （2）利用来证明； （3）根据，得到MN的长度即为在上的投影向量的模，然后求模即可. 【详解】（1） 设，，， ， （2）∵，， ∴， ∴ . （3）由（2）得， ∵ ∴， ∴MN的长度即为在上的投影向量的模， ∴. 15．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，假设存在M，使得平面，设，求出平面的法向量，得到方程组，方程组无解，假设不成立，不存在点M. 【详解】（1）∵，E为BD的中点， ∴⊥， 又平面⊥平面，且平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，    设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 假设在线段AD上存在，使得平面， 设，则， ∴．则． 平面的法向量， 由，即，即，无解，不存在． ∴线段AD上不存点M，使得平面． 【高分演练】 一、单选题 16．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】利用面面垂直的空间向量的坐标运算可得答案. 【详解】因为，又，所以， 所以，解得， 故选：. 17．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意利用直线与直线，直线与平面的位置关系，计算向量的数量积，进行判断. 【详解】若，则与共线向量，故A错误； 若，则与共线向量，故B错误； 若，则，故C错误； 若，则，故D正确， 故选：D 18．（23-24高二上·全国·期中）已知为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量与不重合），那么下列说法中： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 根据题意，根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，平面与平面不重合， 对于①中，因为和分别为平面和的法向量， 当，可得与平面平行，即，所以①正确； 对于②中，平面与平面垂直等价于平面于平面的法向量垂直，所以②正确； 对于③中，因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量， 若，可得，所以③错误； 对于④中，因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量， 若，可得或，所以④错误． 故选：B． 19．（23-24高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【详解】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0,,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C 20．（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可. 【详解】   因为为正方体，所以平面，， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，， 设，，， ，，， 因为∥平面，所以， 因为，所以，即， ， 所以当时，最小，最小为. 故选：A. 二、多选题 21．（23-24高二上·广东河源·期末）已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面的法向量的概念，结合线面位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误； 对于B中，由，可得，则，所以B正确； 对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确； 对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确. 故选：BC. 22．（23-24高二上·安徽·阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】ACD 【分析】由题意根据数量积的垂直表示、共线向量定理，判断坐标平面的法向量和直线的方向向量之间是否垂直，平行逐一判断即可. 【详解】，平面的一个法向量是，平面的一个法向量是， 因为,所以,又平面,所以直线平面，故A正确； 因为不存在使得,所以与不平行，即直线平面不成立，故B错误； ，因为,所以,又平面,所以直线平面，故C正确； 因为，所以与平行，即直线平面，故D正确． 故选：ACD． 23．（22-23高二上·广东惠州·期末）已知空间中，，则下列结论正确的有（   ） A． B．与共线的单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ACD 【分析】对于A，由判断；对于B，由不是单位向量判断；对于C，由向量的模公式求解判断；对于D，利用平面法向量判断. 【详解】对于A，，故，A正确； 对于B，不是单位向量，且与不共线，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，设，则， ，所以，， 又，所以平面的一个法向量是，D正确． 故选：ACD 24．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】由两条直线的方向向量数量积为0可得两直线垂直判断A；由数量积为0可得或判断B；由平面向量不共线判断C；由法向量与平面向量数量积为0列和的关系判断D. 【详解】对于A，，则，所以l与m垂直，故A正确； 对于B，，则，所以或，故B错误； 对于C，若，则，此方程组无解，所以不成立，故C错误； 对于D，，，因为向量是平面的法向量， 所以，得，，，故D正确. 故选AD 25．（23-24高二上·四川南充·期中）如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．若平面，则的最大值为 D．若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A、B选项，分别取、中点、，连接、、、、、、，证明面面平行，找出点的轨迹，结合图形求出的最大值和点的轨迹长度，可判断C、D选项. 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 对于A选项，，， ，故，选项A正确； 对于B选项，因为，， 设平面法向量为，则， 取，则，可得， ，即， 因为平面，所以平面，故选项B正确； 对于C选项，因为，所以为中点， 如图分别取、中点、，连接、、、、、、，    因为、分别为、中点，所以， 又因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以，且平面，平面，所以平面， 同理可得，平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因此当点P 为的边上一点（异于点）时，则平面，所以平面， 故点P的轨迹为的边上一点（异于点）， 因为， 所以结合图形可知，当点P在G点或H点时，取得最大值，故选项C正确； 对于D选项，根据C选项的分析，P点的轨迹的长度为，故D选项错误. 故选：ABC 【点睛】本题的核心是将求轨迹问题转化为面面平行的问题，满足条件的点一定在与已知平面平行的平面上，只要做出这个平面就能画出轨迹. 三、填空题 26．（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可得，求出，从而可求出结果. 【详解】因为、、， 所以， 因为向量是平面的一个法向量， 所以，解得， 所以. 故答案为：7 27．（2024高二上·全国·专题练习）如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 【答案】1 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论． 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，. 设，则 因为， ，， 即是AD的中点，故， 故选：B. 28．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的坐标运算，根据平行、垂直关系的坐标表示，和空间距离的坐标表示求解. 【详解】如图，由已知，，两两互相垂直， 以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 可得，，，， 设，，， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，， 因为平面，所以, , 又， ，可得， ，， ， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为: . 29．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 四、解答题 30．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直； （2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行； 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 31．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 32．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 33．（2024高二上·江苏·专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 34．（23-24高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 1 学科网（北京）股份有限公司 $$