课时作业(45)简单的三角恒等变换-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时作业（四十五） 简单的三角恒等变换 答案见P知 基础训练川 7.若3sinx-3cosx=2√3sin(.x+g),p∈(-π 1设5x<0<6,os号=a,则n号 r),则g A.VFa 8已知x[受]，且如msx=一2则m专 2 B VI-a c 1-a D.2 9.已知sin(年+a)-sin0+cos0,2sing-sin20, 2.(多选)tan75°= 求证：sin2a+2cos23=3. A.2+3 B.-2+3 件离 .15 3.(多选在△ABC中，若sinC+sin(B-A)= sin2A,则△ABC可能是 () A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 4.设函数f(x)=2cos2x+十3sin2.x+a(a为实常 数)在区间[o,受]上的最小值为一4，那么a的值 等于 A.4 B.-6 C.-4 D.-3 5.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c= 受则e,c的大小送系为 A.a<h<c B.a<c<b C.K<c<a D.K<a<c 6.三国时期吴国的数学家赵爽创作了 一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾 股圆方图”中，四个相同的直角三角 形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正 方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形 中较大的锐角为0.则tan(0-无) () A.2 c号 n ·275· I能力提升I ‖拓展探究 10.函数y=sinx十sin zcos r十1的最小正周期是 13.若sin[2(a+)]=nsin2B,则ana±8±2 ,单调递增区间是 tan(a-8+y) () 1L.化简下列各式 (1)9osA+c0s(120°+B)+c0s(120°-B) 421 B.n sin B+sin(120+A)-sin(120-A) “+1 n+1 (2)sin A+2sin 3A+sin 5A Cn” D+1 n-1 sin 3A++2sin 5A+sin 7A" 14.如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对 称，邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0. (1)将十字形的面积表示为关于8的函数： (2)当0为何值时，十字形的面积最大？最大面 积是多少？ 12.已知函数f(x)=sinx+3 sin rcos a. (1)求f(x)的最小正周期： (②若)在区间[一骨]上的最大值为号， 求m的最小值. ·276·(2)因为xe[,2-,所以0<2<,所以当0< 4.C /(x)=2oos x+③sin 2r+a=1+os 2x+3sin 2 a-2sin(2c+吾)+a+1. 当x [o,吾]时,2x+ -<即<时#f(2)#单调递增;当<2- [吾7],以(x)-()-2-in第+a+1-2× #<n,即^{2时,(x)单调递减,综上可知,()在 ()十a+1=-4.所以a=-4.故选C项。 []上单调递增,在[,2-]上单调减 5.B 解a=sin14*+cos14-2sin(14*+45)-2sin59* A项. 6.D 翻如图所示,设BC一t,AC一y,由已知条件可以得到 #12-十1=25解得{所以tn-.所以tn(-)一 14.解(1)依题意知tana=2,所以可得cos(2a+)= *+-25. 1_4. tan-tan_ 1 cos{a+sina 10#440 1+tan0·tan等1+x1 1+tan{a l0. “#(分)_△④),① 3710 7.因为3sin-3cos r=2v3(sinxcos x)=2/3 ($+)]-cos acos(a+)+sin asin(a+)-5× sin(--)且{(一-→,),所以--吾# 3#02##,因为(0#)# 器一 10 8.因为 sin xoos xsin xootan一 1,所以 (一),所以-()(-,3),所以a-# sinr十cosxtanx+1 (3)-,所以a-}的值为哥. tanr=-1,又因为x [],所以x-3-,所以 cosx= ##以一10# /1-00-(V2+1)- 课时作业(四十五) 1.D因为5<<6-,所以(5,3-),(# 2十1. 2十1 #),又c-a.所以si--# 9.因为cos(2a+吾)-1-2sin(a+平) -1-2(sin0+cos θ)?--1-4sin 6cos 8. 故选D项. 且cos(2a+哥)--sin 2a. 2. AD 霜tan 75*-tan(45”+30°)-1an 45+tan30° 1-tan 45{tan30{ 1。 所以 sin 2o-1+4sin fcos f-1+2sin 20 又因为2cos 23-2(1-2sing)-2(1-sin20), 1_ -2+③,故A项正确,B项错误;由正切的半角公式知 所以 sin 2a+2cos 23-1+2sin 20+2-2sin 20-3 所以原等式成立. tan 75 1c0150,故C错误:tn757s s 753 /1-c0s 150{ c0s 75{ 2 2sin 752cos 75* sin 150” 1+cos150{},故D项正确,故选AD项. 2cos75* sin(2-)+,最小正周期r-2---令-+2^-< 3.AB 因为sinC+sin(B-A)=sin 2A,所以 sin(A+B)+ sin(B-A)-sin 2A. 所以 sin Acos B+cos Asin B+sin Bcos A -<吾+2^kx,k乙,解得-+<<3十kr, cos Bsin A=2sin Acos A,所以 2sin Bcos A=2sin Acos A. #E乙.所以f(x)的单调递增区间是(thn-吾,k+3-). 所以cos A(sinA-sin B)-0,所以cos A-0或 sin A-sinB 乙 因为0<A<n,0<B<x.所以A-或A=B.所以△ABC 答n ##- #n+3)e7 为直角三角形或等腰三角形,故选AB项 .383. 3.B由西数的图象可得-1.2-(ao+)-- 11.(1)原式-cs A+2cos 120'cos Bcos A-cos B sin B+2cos 120{sin A sin B-sin A 2sinA+BsinB-A 吾,所以-4.故选B项。 2 ____ 2 2 4.AC 解振幅A即为半径,即A一3.因为逆时针方向每分 (sin A+sin 5A)+2sin 3A (2)原式一 60 (sin 3A+sin 7/A)+2sin 5A 2.2+(2.2-3)]-2.2.因为1-0.d-0,所以0-3sin + 2sin 3Acos 2A+2sin 3A 2sin 5Acos 2A+2sin 5A -2n3A(2+0 5.C 由题意得,将函数y一sin2x的图象向左平移 12.解(1)因为/(cx)-cos 2x+sin 2x=sin(2x e(>0)个单位长度,得函数y=sin[2(x十q)]-sin(2x十 2)的图象,因为它是偶函数,所以2十h,kZ,即= #+.所以f(xc)的最小正周期r-2--n #+Z,因为→>o,所以的最小值是故选C项. (2)由(1)知f(x)-sin(2x-吾)+.由题意知-< 6.ABC 解根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为 ##<m,所以-5#<2x-吾<2m-吾使得(x)在 2n,所以函数的一个周期为一2x,A项正确;/()= [-]上的最大值为,即 sin(2-)在[一,” cos(8+)--1,B正确;(x十rπ)=cos(x+π+)= cs.(+)当--时++-,且c一 二项正 上的最大值为1.所以2m-吾→吾,即m→吾,所以m的最 确;画数/(x)=cos(x+)在(,2-)上单调递减,在 小值为. 13.D 解析记a十y=,则原式变为sin[(3十3)十(-3)] (2,r)上单调递增,D项错误,故选ABC项. nsin[(十8)十(-8)],展开得sin(十)cos(-③)十 7.由图易知A-3.T-8-22π,所以T=4r,所以 cos(+B)sin(-)=nsin(③+)cos(-)+ncos(+)· sin(B-8),等式两边同除以cos(8-③)cos(8十3)得 -2一,所以(x)-3sin(+),将(^{,3)代入,得 tan(十③)+tan(-③)=ntan(B十)-ntan(a-③),于是 1D项. sin(+)-1,因为lg<,所以+一吾,解得 = #,所以(x)-3sin(+). 14.解(1)设S为十字形的面积,则S-2xy一x2(yx>0). 又圆O的直径为1,则x-cosθ,y=sin8.因为0 ry.所 3sin({+) 以0<cos<sinθ,所以tan1,从而o(吾,吾),故S= 8.由题意得,re[,],且→>o,所以xre [- $ry-r”-2sin ocos 0-coso(<<哥). #],又因为画数/(2)在区间[-吾,]上的最小值是 (2)$=2sin eos -cos=sin 20-cos 20-1-. -2,所以根据三角数的图象可知,-或3. sin(20--(<<吾),其中tan=,(o 解得,所以。的最小值为# ),当sin(20-)-1,即20--时,S最大,所以当- r霜} 9.(1)画数(c)的周期T-2π-4r由-=0. 一 tan-(o). #2,得3-5--,0< 课时作业(四十六) 列表如下所示。 解函数y-sinx的图象向左平行移动吾个单位长度 3 1.A 7 2 2 # H{ {2{{ 可得到y-sin(c+)的图象,故选A项. 0. 。 2π 2.A 解根据函数图象的变换规律,将函数y一cosx的图象 3sin(-) 上所有点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,即可得 描出五个关键点并光滑连线,得到一个周期的简图,如图 到函数y-cos手的图象,故选A项. 所示。 .384.