课时作业(8)基本不等式-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时作业（八）基本不等式 答案见P 基础训练川 8设a,6c都是正数，求证：答+5+>a十b十c 1,设函数f(x)=x+9(x>0),则fx)的最小 值为 A.1 B.2 C.3 D.6 2.(要选)已知a,b∈R,M=a2+,N=2ab,则 M,N的大小关系可能为 ( ) A.不确定 B.M=N C.M<N D.MN 3.若a,b,c是互不相等的正数，且a2+c2=2bc,则 下列关系中可能成立的是 A.a>bc B.c>a>b 又设函数/)->0. C.b>u>c D.ac>b (1)求f(x)的最大值： 4.已知x,y为正实数，且xy=4,则x十4y的最小 (2)证明：对任意实数a,b,恒有f(a)< 值为 ( A.4 B.8 36+4 C.16 D.32 5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m,形状 为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝 中，选用最合理（够用且浪费最少）的是( A.6.5m B.6.8m C.7 m D.7.2m 么若正实数a,6.c满是3a一26+c=0,则的最 大值为 7.已知a>b>c,则Va一b)b-0)与“2的大小关 系是 ·191· I能力提升I ‖拓展探究 10(选)已知。>0,6>0，若不等式名+名> 13.若对于所有的正数x,y均有z十、y≤ 2开6桓成立，则m的值可能为 a√x+y,则实数a的最小值为 14.不等式2x2-a.xy十y≥0对于任意1≤x≤2和 A.10 B.9 1≤y≤3恒成立，求实数a的取值范围. C.8 D.7 11.若a>0,b>0,a十b=2,则下列不等式对一切满 足条件的a,b恒成立的是 (写出所 有正确命题的序号). ①alb≤1：②、a+、b≤v2:③a2十}≥2：④a3+ >:⑤日+>2 12.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备 预计平均每年能给企业带来100万元的收入 维护设备的正常运行，第一年各种费用为10万 元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要 增加10万元. (1)求该设备给企业带来的总利润y万元与使 用年数x(x∈N)的函数关系： (2)这套设备使用多少年，可使年平均利润最 大？最大年平均利润是多少？ ·192·11.C 解由0<f(-1)=f-2)=f(-3)<3,得0<-1+ 2v②~6.83,当且仅当x-y时,等号成立,故用7米的铁丝最 a-b+c--8+4a-2b+c=-27+9a-3b+ 3 合适.故选C项. 由-1+a-b+c--8+4a-2b+c,得3a-b-7-0, 6.因为3a十c-2b,且a,b.c为正实数,所以2b-3a+c 由-1+a-b+c--27+9a-3b+c,得4a-b-13-0, ② 23ac.,当且仅当3a-c时,等号成立,所以. 由①②解得a-6,b-11,所以0 c-6 3,即6 c9.故选 6 /3ūc 3 C项. 12.明因为a>b>c>0,所以a-c>0,a-b>0,b- >0. (一c) )6C( a-ba-c(a-b)(a-c)'a-c a-c a-c' 7.因为abc,所以a-bo,b-c0,所以c #所以△_→ b(一c) (a-b)十(b-c)(a-b)(b-),当且仅当a-b-b-c,即 bC>0. 2 26-a十c时,等号成立. 、(a-)(6-)<( 2 z-20+y. (x-30十. 8.明因为a,b,c都是正数,所以也都是正数。 &#,” 13.C 解由题图可得x=35+.和x=30+.(其中 .=50+y x-55+3 #### y(i-1,2,3)是x(i-1,2,3)分流到环线上的车流量) 三式相加得2(++)>2(ate). (x:-x:-10. 消去y(i-1,2,3),得到x,的关系式,即-n-5,所以 即+gha十b十c,当且仅当a-b-c时,等号成立。 r--5. (r>r. 9.(1)/(c)-16r16 xr,综上可得xxx.故选C项. 十8 >ri. 8 立r 14.解设这所学校原来的长方形布局的长为a,宽为b(a去b). ①若保持原面积不变,则规划后的正方形面积为a: ②若保持原周长不变,则规划后的正方形周长为2(a十b), 所以/(x)的最大值为2②. (2)证明:-3+21-(6-){+3. 当6b-时,一30+2有最小值3. 由(1)知,f(a)有最大值2②,而2②<3. 所以对任意实数a,b,恒有/(a)<6-30-21. 课时作业(八) .9一6当 1.D 2.BD 解由基本不等式得a^*+-al^+bl2a||b|= 2la,当且仅当a一列时,等号成立,故选BD项 当a一b时,等号成立.所以n9.故选BCD项. 3.C 因为a,c均为正数,且a≠c,所以a”十2ac,又因 11.解对于命题①,2-a+b2vab→ab1,①正确;对于命 为a{}+-2bc,所以2bc2ac.因为c0,所以b>a,可排除 题②,令a-1,b-1时不成立,②错误;对于命题③,a十 A.B,D项,取a-2,c-1,可得b-,可知C项可能成立,故 =(a+b){-2ab-4-2ab>2,③正确;对于命题④,令a= 选C项. 1.b-1时不成立,④错误;对于命题,1+1-a十b #2正确. 8.当且仅当-16.即x-4时,等号成立,所以x十4y的最 答案①③ 小值是8.故选B项. 12.(1)由题意知,x年总收入为100x万元. 5.C 设直角三角形框架的两条直角边长为工,y(x0. 文年维护总费用为10(1+2+3十.十x)-5x(x十1)万元, y>0),则三角形的面积为-2,即xy-4.直角三角形的斜 所以总利润y-100x-5r(r+1)-180,xN. 即y--5(r*-19x+36),xN. 边长为 +y,因为x+y>2 xy=4,r+yv2xy (2)年平均利润为--5(+3)+95. 2②,所以三角形框架的周长C一x十y十十y三4十 .341. 等号成立,所以若a,b,cER,则a十b}十cab+ac十bc,故C 2 项正确;若a,b,cé(0,+),则a+b>2vab>0,b十 36.即x-6时,等号成立,所以<35. 2 b>0,a十c三2vac>0,则(a十b)(b十c)(a十c) 8 r一8abc,当且仅当a一b-c时,等号成立,故D项正 故这套设备使用6年,可使年平均利润最大,最大年平均利 润为35万元. 确,故选ACD项 13.解由题意可知十<a十y可化为a+ -1 -+1二 十y 2(r-1)· -+1-7,当且仅当x-4时,等号成立,因 、十y、x十y 此一的最小值为7. ##)#)# .-1 案7 7.因为文>0,>0,且2+1-1.所以2x+y-(2-+y)· ry ②,当且仅当x-y时,等号成立,所以av②,故a的最小值 ##4)-5+2-#>→+~ /2r.2y 为. 一9,当且仅当r /2 y-3时,等号成立,故2x+y的最小值为9.因为2x十ym恒 14.解析因为y0,所以对原不等式两边同时除以,得到 成立,所以n(2r十y)-9 2(){}-a·+1=0,令(-,则不等式变为2-at十 答nn9) ) 8.(1)证明:因为a^*}+3-2b(a+b)-a-2ab+-( b)0,所以a十3三2b(a十b). (2)因为a>0,0. 所以2ab-a+b2vab,即ab>ab. 所以vab>1,所以ab>1. 当且仅当a一b-1时,等号成立,此时ab取最小值1. 9.(1)因为(-y)-xy(x-y)-+y-y-xy (x-y)+y(y-x)=(r-y)(-)-(r-y)(+ 2v②.故实数a的取值范围为(ala2/2). #+y)-(ur)[(c+)+3]→0 培优训练(三) 当具仅当x一v时,等号成立: 所以当x一y时,(一y)一xy(x-y); 1.D 解由题意,知另一段绳子的长度为(5一x)m.因为两段 {1-(5-)1.花简得 当xy时,(一)“>xy(x-y). 绳子长度之差不小于1m,所以 10<<5. (2)令4a-2b-x(a+b)+y(a-b),所以4a-2b-(x+y)a十 (十y-4. -1. 12x-5l1. (c-y),所以 故选D项. 1---2. 解得 l05. -3. 2.B 因为x-y-[2a-(a-3)](a+3)-(a+3)*>0.当 因为1<a+b 4.-1<a-b2,所以-3<3(a-b)<6.所$ 以-2<4a-210. 且仅当a一一3时,等号成立,故xry.故选B项. 10.AC 一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,则需要 3.A 因为0<x<2,所以4-r0,则y=x 4- 购买800次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x #·(4-)<2+(4-)2,当且仅当-4-r,即 x一/②时,等号成立,故选A项 4c万元.因为y-8008+4x→2 4.B因为a,为正实数,(a)(+)-ab+ 6400.4-320,当且. 2 仅当6400-4.x,即x-40时,等号成立,所以当x-40时,y 成立,此时有a-,又因为+-n,所以a十1-,由 取得最小值:y一320.故选AC项. 11.因为a>0.60.,且a十b-4.所以+-1(1+ 基本不等式可知a十1→2(当且仅当a-1时,等号成立),所 ##)(+6)-寸(2++)>→寸(2+ 吾· 以m2.故选B项. 5.ACD 解若ab,cR,由不等式的性质可得a十cb十 c.故A项正确;当c-0时,ac^{}一b^{,故B项错误;因为a^{}十 a十b-4, $#+e-ab-ac-bc-(2a+2+2-2ab-2ac-2bc)- #寸[(a-b) +(b-c):十(a-c)]>0,当且仅当a-b-c时, t(<1) .342.