培优训练(2)(范围：1.4～1.5)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

培优训练（二） 答案见P (范围：1.4~1.5) I基础训练川 7.“一元二次方程x2十ax十1=0有实数根”的充要 L关于命题“3x∈N,x2+2x=0”,下列判断正确 条件是 的是 ( 8.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命 A.该命题是全称量词命题，且是真命题 题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真 B.该命题是存在量词命题，且是真命题 假，不必证明. C.该命题是全称量词命题，且是假命题 (1)存在实数x,使得x2+2x+3≤0： D.该命题是存在量词命题，且是假命题 (2)有些三角形是等边三角形： 2.命题“Hx>0,都有x2一x十3≤0”的否定为 (3)方程x一8x一10=0的每一个根都不是奇数. A.3x0,使得x2一x十3>0 B.3x>0,使得x2一x+3>0 C.Hx>0,都有x2-x+3>0 D.Hx≤0，都有x2-x+3>0 3.甲、乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个 周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒跑2.5 米，乙每秒跑3.5米，则“甲、乙相遇”是“甲、乙都 跑了400秒”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 9.设p:2x+1<3,9:x-(2u+1)<0. C.必要不充分条件 (1)若a=1,且p,q均为真命题，求满足条件的实 D.既不充分也不必要条件 数x构成的集合： 4.(选)设非空集合P,Q满足P∩Q=Q,且P≠ (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. Q,则下列选项中错误的是 ( A.Hx∈Q,有x∈P B.x∈P,使得x任Q C.3x∈Q,使得x正P D.x任Q,有x任P 5.已知p:x>a是q:2<x<3的必要不充分条件， 则实数a满足的条件是 ( ) A.a≥2 B.u≤2 C.a>2 D.a<2 6.已知p:x>2,q:x>1,则p是q的 (在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条 件”“既不充分也不必要条件”中选择一个填空). ·187. 1能力提升川 ‖拓展探究 10.已知p:3x∈R,.x2十4x十a=0,若p是真命题， 13.下列选项中，是“0是集合M={xa.x2+2x十 则实数a的取值范围是 1=0,a∈R}的真子集”成立的必要不充分条件 A.{a0<a<4 B.{ala≤4} 的是 () C.ala<o D.{aa≥4 A.a<0 B.a>0 11.(选)已知关于x的方程x2十(m一3)x十m= C.a≤1 D.a<2 0,则下列结论正确的是 () 14.对于给定集合M,若集合M中任意两个不同元 A.方程x2十(m一3)x十m=0有实数根的充要 素之和仍是集合M中的元素，则称集合M是 条件是m∈{mm<1或m>9】 “封闭集合”.设p,q为实常数且q≠0，集合C B.方程x2十(m一3)x十m=0有一正一负根的 {xx=p+g,n∈N},证明：集合C为“封闭集 充要条件是m∈{m0<m≤1) 合”的充要条件是“存在整数m≥一2，使得p C.方程x2+(m一3)x十m=0有两正实数根的 mg”, 充要条件是m∈{m0<m≤≤1} D.方程x2十(m一3)x十m=0无实数根的必要 条件是m∈{mlm>1} 12.已知集合A={x-1≤x≤2)，B={yly=a.x十 3,x∈A},C={yly=2.r+3,x∈A (1)若V∈B,H∈C,总有y≤成立，求 实数a的取值范围： (2)若HM∈B,32∈C,使得y≤y2成立，求 实数a的取值范围. ·18812.解析依题意知，P={xa一4<x<a十4}，Q={x1<3}, (2)由于存在实数x∈{x1≤≤3}，使m≥x,故只需m大于 因为x∈P是x∈Q的必要条件， 或等于x的最小值，即m≥L,故实数m的取值范国为 所以x∈Q→x∈P,即Q二P, {mm≥1}. 所以二4S解得-1Cu≤5， 10.BD解粉对于二次函数y=(x一2)2-1，其图象开口向上， 1a+4>3, 对称轴为直线x=2,最小值为一1，所以Hx∈R,y 故实数a的取值范围为{a一l≤a≤5}， (x-2)-1≥-1，所以A项错误：Va>-1,3x∈R,y 13.解析(1)P-{x-2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条 (x-2)2-1<a,所以B项正确：Ha<一1,3x∈R,y 1一n1十1， (.x一2)一1=a不成立，所以C项错误：当1=0，=4时， 件，知SP,则1一m≥一2，解得0≤m≤3. (一2)-1=（一2）一1，所以D项正确.故选BD项. 1十m≤10， 即所求m的取值范围是{m0≤m3}. 11.桥由题意得，（么气m>0“解得m>2。 (2)若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S, 答案m>2 m=一2所以(m=3 12.解析因为“存在xER,使x十2x十m≤0”是假命题，所以 所以 1+m=10, m=9, “对任意x∈R,都有.x2+2x十m>0”是真命题，因此△=4 所以不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 4<0,即n>1,故a=1. 14.解(1)(2,3)⊙(-1,4)=(5,14). 13.解扬p为真命题时，x2-a≥0，即a≤r. (2)交换律：a⊙3=3⊙a,证明如下：设a=(a,b),B=(c,d0, 因为1≤≤2时，上式恒成立，而1≤产≤4，所以a≤1. 则a⊙3=(ad+bc,bd-ac),⊙a=(c,d)⊙(a,b)=(bc+da. q为真命题时，△=4一4(a-2)≥0.即a≤3. db-ca)=(ad十，bxl-ac),所以a⊙B=3⊙a. 因为命题p,q均为真命题，所以a≤1. 故实数a的取值范围是{aa≤1. (3)设A中的元素I=(xy),a=(a,b)对任意a∈A,都有a⊙1= 14.解析(1)证明：当a=一3时，f八x)=一9.x+6x一1， I⊙a=a成立，由(2)知只需I⊙a=a,即(x,y)⊙(a,b)=(a, 因为△=36一4×（一9）×（一1）=0，且-9<0， b)(bxay,by-ax)=(a,b), 所以对任意x∈R,都有f(x)≤0. ①若a=(0,0),即a=b=0,显然有1⊙a=a成立： (2)因为f(.x)≤4x恒成立，所以3a.x十2x一1≤0恒成立 ②若a≠(0,0)，则 br+ay=a,即 br+a(y-1)=0,量 -ux+by=b, -a.r+b(y-1)=0 当a=0时，2一1≤0.解得≤号，不满足道意： 成立，即 x=0 解得=0. 当a≠0时，必须{aC0即a<0, y-1=0 y=1. 4≤0. 4+12a≤0. 解得a≤一3 所以当对任意a∈A,都有a⊙I=I⊙a=a成立时，得I=(0, 综上可知，实数a的取值范国是{da<-寻》 1),易验证当I=(0,1)时，对任意a∈A,都有a⊙I=I⊙a a成立，所以1=(0,1). 培优训练（二） 课时作业（六） 1,B解析该命题是存在量词命题，当x=0时，x+2x=0,所 1.D解析A,B项既不是全称量词命题也不是存在量词命题； 以该命题是真命题.故选B项， C项中含有存在量词，是存在量词命题：D项中含有全称量 2.B解析命题“Vx>0,都有x-x+3≤0”的否定为“3x> 0,使得2一r十3>0”故选B项. 词，是全称量词命题.故选D项. 3.C解析因为乙每秒比甲每秒多跑1米，所以当甲，乙都跑了 2.C解析否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故 200秒时，乙比甲多跑了200米，甲、乙第一次相遏.当甲、乙 C项正确.故选C项. 都跑了400秒时，乙比甲多跑了400米，甲、乙再次相遇.所以 3.A解析既要否定结论，又要改变量词，只有A项正确.故选 “甲、乙相遇”是“甲、乙都跑了400秒”的必要不充分条件.故 A项. 选C项. 4.B解析0是自然数，但不是正数，故A项错误：x=√2为无理 4.CD解析因为P∩Q=Q,且P≠Q,所以Q是P的真子集， 数，但2=2为有理数，故C项错误；0的绝对值是0，故D项 所以Vx∈Q,有x∈P,3x∈P,使得x任Q,A,B项正确，C 错误.故选B项. 项错误：设Q=(1,2,3),P={1,2,3,4},此时4任Q,但4∈P, 5.ACD解析A项中2x一x2=0的根为x=2或x=0:B项 D项错误，故选CD项. 中，+x+1=(+号)+是≥是，所以2+x+1=0无 5.B解析因为：x>a是4：2<x<3的必要不充分条件，所以 集合{x2<x<3}为集合{xx>a}的真子集，故只需a≤2. 解：C项中，素数2是偶数：D项中，0没有倒数，所以A,C,D 故选B项」 项都是真命题，B项是假命题.故选ACD项. 6.解析设命题p:x>2对应的集合为A={xx>2,命题q: 6.答离Vx,y∈R,x2+y≥0 x>1对应的集合为B={x|x>1},因为A军B,所以命题p 7.答室3x<0,(1+x)(1-9.x)>0 是命题q的充分不必要条件 8.解析(1)真命题，命避的否定为“Vx,y∈Z,3x一4y≠20” 答系充分不必要条件 (2)真命题，命题的否定为“在实数范周内，所有的一元二次 7.解析一元二次方程x十a.x十1=0有实数根，应满足△=a 方程都有解” 4≥0，解得a≤-2或a≥2.故充要条件是a≤-2或a≥2. (3)真命题，命题的否定为“存在一个正数，它的平方不是正数” 答案a≤-2或a≥2 9.解析(1)由于对任意的x∈{x1≤x≤3，都有m≥x,故只需 8解析(1)含有存在量词“存在”，命题为存在量词命题. m大于或等于x的最大值，即m≥3.故实数m的取值范国为 命题的否定是“对任意一个实数x,都有x十2x十3>0”，该 (mm≥3}. 命题为真命题 ·339· (2)含有存在量词“有些”，命题为存在量词命题. 又因为对V,∈N”,山≠出，均有出十西十1≥1，且西十 命题的否定是“所有的三角形都不是等边三角形”，该命题为 ≥3， 假命题. 所以m≥1一(n1十)，所以m≥一2： (3)含有全称量词“每一个”，命题为全称量词命题. 故存在整数m≥一2，使得p=g 命题的否定是“方程x2一8x一10=0至少有一个根是奇数”， 若存在整数m≥一2，使得p=mg,则十x1=p十q(1十 该命题为假命题. 9.解析(1)因为p:一2<x<1,g:x-3<0,即x<3,所以p,g均 热+号）=p叶9m+%十m. 为真命题时，实数x构成的集合为{x-2<x<1. (2)因为p是q的充分条件，且p:-2<x<1,q:.x<2a+1,所 因为n,m∈N,m≠m,m∈Z,m≥一2，则m十m≥3，m十 十m≥1，且m+h十n∈N”, 以{x一2<xr1}三{xx2a+1},所以2a十1≥1，解得a>0, 所以十x∈C. 故实数a的取值范国是{aa>0}. 综上所述，集合C为“封闭集合”的充要条件是“存在整数 10.B解析因为p:3x∈R,x2十4x十a=0是真命题，所以方 m≥一2，使得p=mg”. 程x十4x十a=0有实数根，所以△=4一4a≥0，解得a≤4， 故实数a的取值范围是{ala≤4}，故选B项. 课时作业（七） 11.CD解析在A项中，二次方程有实数根，等价于判别式 1.BC解折对于A项，应表示为“x十2>0”：对于D项，应表示 △=(m一3)2一4≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实 为“7℃≤1≤13℃”，故A,D项错误.故选BC项. 数根的充要条件是m∈{nm≤1或m>≥9}，故错误：在B项： 2.A解析fx)-g(x)=32-x十1-(2x2+x-1)=(x-1)+ 中，二次方程有一正一负根，等价于A二（m一3)-m心>0， 1>0,故f(x)>g(x).故选A项. 0, 3.A解析因为，x≠2或y≠一1，所以M一N=x+y-4x十 解得㎡0，则方程有一正一负根的充要条件是m∈{mm< 2y十5=(x-2)+(y+1)>0,所以M>N.故选A项. 0,故错误：在C项中，方程有两正实数根，等价于 4.ABD解析令a=1,b=-2,c=0,代入A,B,C,D项中，可知 △=(n-3)-4m≥0， A,B,D项均不成立.故选ABD项. 3-m>0, 解得0<m≤1，故方程有两正实数 30(x-1)<213, n>0, 5.解析根据题意得30x>213, 根的充要条件是m∈{m0<m≤1，故正确：在D项中，方 x≥2，且x∈N°. 程无实数根，等价于△=(m一3)2一4m<0,解得1<m<9, 30(x-1)<213, 而{m1<m<9至mm>1},故m∈{mm>1)是方程无实 答室30.x>213, x≥2，且x∈N 数根的必要条件，故正确.故选CD项 1_2x-1-x -(x-1)2 12.解析(1)设=a.x十3，为=2x+3a,其中-1≤x≤2，由题设 6.服扬因为千之一7=21十于=21千7<0， 可得为≤即<3a-2,款十32计3a”解得 12a+3≤-2+3a, 所以空 a≥5，即实数a的取值范围为{aa≥5}. 2尚道设可得≤故2计3解得0心子 图千号 12a+3≤4+3a, 7.解扬设2x-3y=m(x十y)十n(.x-y)=(m十).x十(m一)y, 即实数a的取值范国为@e≥一}。 所以/m十1=2， 解得 m-n=-3, 5 2因为-2<-(+0< 13.D解析若“⑦是集合M={xa.x2+2.x十1=0，a∈R}的真 n= 2 子集”，所以M={xax2+2x十1=0，a∈R}≠②，所以方程 1 ax2十2x十1=0有实数解.当a=0时，由2.x十1=0可得x= -号特合题意：音a0时，由4=4一4如≥0可得a≤1，所 8,即3<2x-3y<8.所以2=2x-3y的取值范国是{z3< x<8}. 以a≤1且a≠0，综上，M={xa.r+2r十1=0，a∈R}≠☑的充 答室{：3<<8 要条件为a≤1，即“是集合M={xaz2十2.x十1=0，a∈ 登<<音 R)的真子集”成立的充要条件为a≤1，所选集合是a≤1的 8.解析由题意可得 y+≥55， 必要不充分条件，则a≤1应是所选集合的真子集，由选项 x,y,∈N. 判断A,B,C项都不正确，D项正确.故选D项. 9.解粉因为15<6<48，所以-48<-b<-15, 14.证正明对V∈C,不妨设=p十g=p十g西，m, 所以12-48<a一b30-15,即一36a-b<15. n∈N,m≠h,则x十x=(p十m)十（p+gm)=p+ 又<<12<a<0, g(西++号) 若集合C为“封闭集合”，即十∈C,则”十十 所以最<号<器即<号<2 10.C解析因为x>y>,x十y十=0，所以3x>x+y+= 卫∈N· 0,3<+计=0，所以>0,2<0.由>，得> 因为，∈N,所以卫∈Z,设卫=m∈乙，即p=mg, 故选C项 ·340·