课时作业(5)充分条件与必要条件-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时作业（五） 充分条件与必要条件 答案见P I基础训练川 1已知：m-1K<m+1g:2<<号若p是9 1.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 件，则A与B的关系是 A.AB B.B年A 8.(1)是否存在实数m,使2x十m<0是x>3或 C.A=B D.A=B且B年A x<一1的充分条件？ 2.孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目 (2)是否存在实数m,使2.x十m<0是x>3或 前数量最多，分布最广的虎亚种.孟加拉虎有四 x<一1的必要条件？ 种变种，分别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪 虎（全身白色，有淡淡的黑色斑纹），金虎（全身金 黄色，有黑色斑纹)，纯白虎（全身白色，没有斑 纹).已知甲是一只孟加拉虎，则“甲全身白色”是 “甲是纯白虎”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若p:x>0,9:x>0,则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 9.已知a,b,c是△ABC的三条边，求证：△ABC是 C.充要条件 等边三角形的充要条件是a”十b十c2=ab十 D.既不充分也不必要条件 be+ca. 4.(多选)设x∈R,则x>2的必要不充分条件可 以是 A.x<1 B.x>1 C.x>0 D.<0 5.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的充要条 件，丙是乙的充分不必要条件，那么 () A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 6.使不等式0<x<2成立的一个充分不必要条件 是 ·183 1能力提升I ‖拓展探究‖ 10.(多选)下列命题中为假命题的是 13.已知集合P={x一2≤x≤10，非空集合S= A.x>2且y>3是x+y>5的充要条件 {x1-m≤x≤1十m}. B.A∩B≠O是A三B的充分条件 (1)若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值 C,两个三角形全等是两个三角形相似的充要 范围： 条件 (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要 D.一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件 条件？ 是此三角形为直角三角形 1L.设m∈N,一元二次方程x2一4x十m=0有整 数根的充要条件是m= 12.已知P={xa-4<x<a十4}，Q={x1<x 3},且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的 取值范围. 14.在中学阶段，对许多特定集合（如实数集）的学 习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算 律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实 数对组成，在A上定义一个运算，记为⊙，对于 A中的任意两个元素a=(a,b),3-(c,d),规定： a⊙B=(ad+bc,bd-ac）. (1)计算(2,3)⊙(-1,4)： (2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律， 并给出证明： (3)若“A中的元素I=(x,y)”是“对任意a∈A, 都有a⊙I=I⊙a=a成立”的充要条件，试求出 元素1 ·18410.ABD解析由并集的定义知，当集合A与B中没有公共元 色”不能推出“甲是纯白虎”，所以“甲全身白色”是“甲是纯白 素时，有m十n=,所以m十n=s可能成立：当集合A与B 虎”的必要不充分条件.故选B项. 中有公共元素时，m十>，所以m十>x可能成立：当集合 3.A解插由题意可知p一g,gPp,所以p是g的充分不必要 A与集合B为相等集合时，m=n=,所以m=1=s可能成 条件.故逃A项. 立：根据集合的并集运算可知m十n<:不能成立，故选 4.BC解折x>2→x>1,x>1→x>2:x>2→x>0,x>0中 ABD项， x>2.故速BC项. 11.解析由题意，集合A={xa.x2-2a.x十a一1=0}=0， 5.A解析由已知得，甲台乙，丙→乙且乙)丙，则丙→乙→甲 当a=0时，集合A={x一1=0}=0，满足题意： 且甲P两，即丙→甲且甲→丙，所以丙是甲的充分不必要条 当a≠0时，要使得集合A={xa.2-2a.x十a一1=0}=0， 件.故选A项. 则满足△=(-2a)2-4a(a-1)=4a<0,解得a<0. 6.解析设充分不必要条件对应集合P,则P至{x0<x<2},所 综上，实数a的取值范国是(aa≤0. 以P可以为{x1<x<2},即充分不必要条件可以是1<x<2. 答宽{aa≤0} 答室1<x<2(答案不唯一) 12.解析(1)因为A={x0≤x≤2}.B={xa≤x≤a十3}，所以 A=红0支亡2.图为(CAUB=R.新以0，解 照霸周为p是？的必要不充分条件，所以集合<< a+32, 得一1≤a≤0，即a的取值范围为a一1≤a≤0. 号}是集合m一1<m+1)的真子条：即 等号 (2)因为A∩B=☑，所以a>2或a十3<0，解得a>2或a< 一3.因为(CA)UB=R,所以一1≤a≤0，故不存在实数a, 使(CRA)UB=R,且A∩B=O. 不同时成立，解得一}<m≤多，故实数m的取值范国是 13.解析设同时参加田径和球类比赛的有x人，如图所示： (m-3<m< 间径 8-3-x 8.解析(1)欲使2x十m<0是x>3或x<一1的充分条件，则 d-3- {女<-受}x<-1或>3，则只要-受<-1，即 则15+8-3-x十x+14-3-x=28.解得x=3.只参加一 m≥2.故存在实数m≥2，使2x十m<0是x>3或x<-1的 项比赛的有28-(3+3+3)=19人 充分条件 答室319 (2)欲使2x十m<0是x>3或x<一1的必要条件，则只要 14.解析(1)因为0∈(B∩C),所以0∈C, {女<-受2>3或<-1小，这是不可能的，故不 所以a2十2a一3=0，解得a=1或a=一3. 当a=-3时，B={x一5<<-1}，不满足0∈B,故含去： 存在实数m,使2x十m<0是x>3或x<-1的必要条件. 当a=1时，B={x一1<x<3},满足题意. 9.证明必要性：因为△ABC是等边三角形，4，b,c是△ABC的 故实数a的值为1. 三条边，所以a=b=c,所以a2+∥十2=ab十bx十ca. (2)选择条件①：由A∩B=A,得A二B. 充分性：因为a2十+2=ab+bc十ca. 1a+2>2, 所以2a2+26+2c2=2ab+2hc+2ac, 所以 a-2号，解得0ca<号 即2a2+2+22-2ab-2bc-2ac=0. 所以(a-b)2十(b-c)2+(c-a)2=0,即a=b=c,所以△ABC 故实数a的取值范围是a0<u≤受} 是等边三角形 综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a十？十2= 选择条件②：由A∩(CRB)=☑，得ACB. ab+bcca. 1a+2≥2， 10.ABC解折对于A项，x>2且y>3→x十>5，但x十y>5 所以 -2,解释0ca<是 未必能推出x>2且y>3,如x=0且y=6满足x十y>5但 不满足>2，故A项为假命题：对于B项，A∩B≠未必能 故实数a的取值范因是{a0<a≤}： 推出AB,如A=1,2},B=(2,3),故B项为假命题：对于 选择条件③：由BLU(CRA)=R,得A二B, C项，两个三角形全等，则两个三角形相似，但两个三角形相 似，不一定全等，全等是相似的充分不必要条件，故C项为 (a+2≥2， 所以 -2 解得0心a≤受 假命题：对于D项，因为一个三角形的三边满足勾股定理能 推出此三角形为直角三角形，条件不仅是必要的，也是充分 故实数a的取值范围是a0<a≤受}， 的，故是充要条件，故D项正确.故选ABC项 1山.照扬x=生6=m=2士m,因为x是整数，即2士 2 课时作业（五） /一m为整数，所以4一m为整数，且n≤4，又m∈N”,取 1.A解析因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以x∈ m=1,2,3,4,验证可得m=3,4特合题意，所以m=3或4 A→x∈B,x∈BPx∈A.所以AB.故选A项. 是一元二次方程x2一4x十m=0有整数根的充要条件」 2.B解析由“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”，由“甲全身白 答室3或4 ·338· 12.解析依题意知，P={xa一4<x<a十4}，Q={x1<3}, (2)由于存在实数x∈{x1≤≤3}，使m≥x,故只需m大于 因为x∈P是x∈Q的必要条件， 或等于x的最小值，即m≥L,故实数m的取值范国为 所以x∈Q→x∈P,即Q二P, {mm≥1}. 所以二4S解得-1Cu≤5， 10.BD解粉对于二次函数y=(x一2)2-1，其图象开口向上， 1a+4>3, 对称轴为直线x=2,最小值为一1，所以Hx∈R,y 故实数a的取值范围为{a一l≤a≤5}， (x-2)-1≥-1，所以A项错误：Va>-1,3x∈R,y 13.解析(1)P-{x-2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条 (x-2)2-1<a,所以B项正确：Ha<一1,3x∈R,y 1一n1十1， (.x一2)一1=a不成立，所以C项错误：当1=0，=4时， 件，知SP,则1一m≥一2，解得0≤m≤3. (一2)-1=（一2）一1，所以D项正确.故选BD项. 1十m≤10， 即所求m的取值范围是{m0≤m3}. 11.桥由题意得，（么气m>0“解得m>2。 (2)若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S, 答案m>2 m=一2所以(m=3 12.解析因为“存在xER,使x十2x十m≤0”是假命题，所以 所以 1+m=10, m=9, “对任意x∈R,都有.x2+2x十m>0”是真命题，因此△=4 所以不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 4<0,即n>1,故a=1. 14.解(1)(2,3)⊙(-1,4)=(5,14). 13.解扬p为真命题时，x2-a≥0，即a≤r. (2)交换律：a⊙3=3⊙a,证明如下：设a=(a,b),B=(c,d0, 因为1≤≤2时，上式恒成立，而1≤产≤4，所以a≤1. 则a⊙3=(ad+bc,bd-ac),⊙a=(c,d)⊙(a,b)=(bc+da. q为真命题时，△=4一4(a-2)≥0.即a≤3. db-ca)=(ad十，bxl-ac),所以a⊙B=3⊙a. 因为命题p,q均为真命题，所以a≤1. 故实数a的取值范围是{aa≤1. (3)设A中的元素I=(xy),a=(a,b)对任意a∈A,都有a⊙1= 14.解析(1)证明：当a=一3时，f八x)=一9.x+6x一1， I⊙a=a成立，由(2)知只需I⊙a=a,即(x,y)⊙(a,b)=(a, 因为△=36一4×（一9）×（一1）=0，且-9<0， b)(bxay,by-ax)=(a,b), 所以对任意x∈R,都有f(x)≤0. ①若a=(0,0),即a=b=0,显然有1⊙a=a成立： (2)因为f(.x)≤4x恒成立，所以3a.x十2x一1≤0恒成立 ②若a≠(0,0)，则 br+ay=a,即 br+a(y-1)=0,量 -ux+by=b, -a.r+b(y-1)=0 当a=0时，2一1≤0.解得≤号，不满足道意： 成立，即 x=0 解得=0. 当a≠0时，必须{aC0即a<0, y-1=0 y=1. 4≤0. 4+12a≤0. 解得a≤一3 所以当对任意a∈A,都有a⊙I=I⊙a=a成立时，得I=(0, 综上可知，实数a的取值范国是{da<-寻》 1),易验证当I=(0,1)时，对任意a∈A,都有a⊙I=I⊙a a成立，所以1=(0,1). 培优训练（二） 课时作业（六） 1,B解析该命题是存在量词命题，当x=0时，x+2x=0,所 1.D解析A,B项既不是全称量词命题也不是存在量词命题； 以该命题是真命题.故选B项， C项中含有存在量词，是存在量词命题：D项中含有全称量 2.B解析命题“Vx>0,都有x-x+3≤0”的否定为“3x> 0,使得2一r十3>0”故选B项. 词，是全称量词命题.故选D项. 3.C解析因为乙每秒比甲每秒多跑1米，所以当甲，乙都跑了 2.C解析否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故 200秒时，乙比甲多跑了200米，甲、乙第一次相遏.当甲、乙 C项正确.故选C项. 都跑了400秒时，乙比甲多跑了400米，甲、乙再次相遇.所以 3.A解析既要否定结论，又要改变量词，只有A项正确.故选 “甲、乙相遇”是“甲、乙都跑了400秒”的必要不充分条件.故 A项. 选C项. 4.B解析0是自然数，但不是正数，故A项错误：x=√2为无理 4.CD解析因为P∩Q=Q,且P≠Q,所以Q是P的真子集， 数，但2=2为有理数，故C项错误；0的绝对值是0，故D项 所以Vx∈Q,有x∈P,3x∈P,使得x任Q,A,B项正确，C 错误.故选B项. 项错误：设Q=(1,2,3),P={1,2,3,4},此时4任Q,但4∈P, 5.ACD解析A项中2x一x2=0的根为x=2或x=0:B项 D项错误，故选CD项. 中，+x+1=(+号)+是≥是，所以2+x+1=0无 5.B解析因为：x>a是4：2<x<3的必要不充分条件，所以 集合{x2<x<3}为集合{xx>a}的真子集，故只需a≤2. 解：C项中，素数2是偶数：D项中，0没有倒数，所以A,C,D 故选B项」 项都是真命题，B项是假命题.故选ACD项. 6.解析设命题p:x>2对应的集合为A={xx>2,命题q: 6.答离Vx,y∈R,x2+y≥0 x>1对应的集合为B={x|x>1},因为A军B,所以命题p 7.答室3x<0,(1+x)(1-9.x)>0 是命题q的充分不必要条件 8.解析(1)真命题，命避的否定为“Vx,y∈Z,3x一4y≠20” 答系充分不必要条件 (2)真命题，命题的否定为“在实数范周内，所有的一元二次 7.解析一元二次方程x十a.x十1=0有实数根，应满足△=a 方程都有解” 4≥0，解得a≤-2或a≥2.故充要条件是a≤-2或a≥2. (3)真命题，命题的否定为“存在一个正数，它的平方不是正数” 答案a≤-2或a≥2 9.解析(1)由于对任意的x∈{x1≤x≤3，都有m≥x,故只需 8解析(1)含有存在量词“存在”，命题为存在量词命题. m大于或等于x的最大值，即m≥3.故实数m的取值范国为 命题的否定是“对任意一个实数x,都有x十2x十3>0”，该 (mm≥3}. 命题为真命题 ·339·