5.5.2 简单的三角恒等变换-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

=sin 80'cos 80" 随堂检测·学以致用 8sin20° 1 1.A解析因为sinx= 号，所以由二倍角公式得60s2红= m20= [变式1门解析(1)原式=c0s(2×750°)=c0s1500°=c0s(4× 1-2mr=1-2×(-号)广=选A项 360+609=cs60=7 2.A解析易知原式= 品·器 .c0s28 2tan28°. (2)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°) am28=,故选A项 1 =-tan60°=-3 (3)原式=sin6c0s12c0s24c0s48 3.B解析由2sin2a=cos2a十1得4 sin ace0sa=2cosa.因为 -2'sin 6'cos 6cos 12'cos 24cos 48" ae(0.受）.所以cos。>0.所以部日=之又smia十osa= 2c0s6 -2sin 12'cos 12'cos 24'cos 48" 1,所以sina .故选B项. 5 16cos 6 -2sin24°cos24cos48 cos号-sin 1-ta号 1-4 16c0s6 4.解析cosa 2sin 48'cos 48 sin 96 cos6° cos2号+sin号 1+tam号 1+4 16cos 6 16cos6=16cos6=16 圈 [例题2]解罚)um(e+子)） ama十iam至 2+1 1-tan atan开 1-2X7-3 5.5.2简单的三角恒等变换 sin 2a 必备知识·基础落实 (2)sinasin acos acos 2a1 [辨析]提示(1)×(2)√(3)×(4)/ 2sin acos a 关键能力·素养提升 sin'a+sin acos a-2cos a 2tan a 2×2 [例题1解析因为1十osg 2c0号 tama+tana-2-4+2-2=1,. sin a 2sin受cos号sim号 [变式2照霸因为0<r<芹，血（年-）=是 所以an受=： 所以子-xe(0晋)os(经-)=是 所以osa一sina=os受-sm号-2sin号os号 所以 COs 2.r cos.r-sin'.r o号-sin号-2sin号os是 =2asx+sx)=2(停sr+竖n si+cos号 -2(ms平s+s血景m)=2m(停-）=得 1-tam号-21an受 tan号十1 [例题3]解析(1)原式=/sn10°+cos10°+2sin10°cos10°+ √sin10+eos10°-2sin10°cos10 1-(2广-2x号 =√/(sin10+cos10)F+√(sin10-cos10) ()+1 =|sin10°+cos101+sim10°-cos101 [变式1门解析因为180°<<270°，所以sin0. =sin10°+cos10°+cos10°-sin10 =2c0s10. cos'atan号 (2)证明：左边 1 c0sa 2am号 sin 1-am号 所以tan2=1十cos0 -2. 1+(-) 1 [例题2]国硼由题意得m书5inos. (2sin a=sin 0+cos 0. ① 所以原等式成立 ①2-②×2，得4sina-2sinB=1, [变式3服团1原式-牛编一2 变形为1一2sin月=2-4sima,则有cos23-2cos2a. 2cos 2a+2cos 2asin 2a 2tam号 2sin2a+2sin 2acos 2a +1 2cos2a(cos2a十sin2a】 [变式2]证明因为左边= 1十tar号 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) 2an号 1一tar号 1 1+ tan 2a' 1十amr号1+am号 (2)证明：左边= 1 sin Osin 20 cos 0-2sin 0cos 0 cos 20 cos dcos 20 cos dcos 20 tm号+2an号+l 9治右边，所以原等式成立 c0s20 1+tan受+2ian受+1-tan号 ·328· (an受+1) =(m号+) 所以tam∠BAD=37.66,an∠CAD=30.3型 x 21m号+2 37.66_30.34 所以tan∠BAC=tan(∠BAD-∠CAD)= =m号十号=右边， 1+376.30.3 r 所以原等式成立 7.32 7.32 [例题3]解扬)函数)的定义城为zx≠受十标，k长乙 x+37.6X3032、37.6×30.34 周为fx)=4 tan(x-5）-月 当且仅当r3孔.6×3034，即7=、3.66X303≈3照80时、 等号成立，此时tan∠BAC最大， =4 sin(x-5）-3 因为∠BAC是锐角，所以当x≈33.80时，∠BAC最大，即 =4m(合sx+停n有 球员沿边线带球进攻，他距离底线33.80米处射门对球门所 张的角最大，命中率最高。 =2sin .xcos x+23sin'.r-3 [变式4解析(1)设∠AOB=a,△OAB的周长为1，则AB= Rsin a,OB=Rcos a, =sin 2x+3(1-cos 2.r)-3 所以l=OA十AB+OB=R+Rsin a十Rcos a=R(sina+ =sin 2.r-3cos 2.c cosa)+R-/2Rsin(a+i)+R. =2sim(2x-吾）， 所以)的最小正周期T-受=元 由题意可得0<<登，所以<a十< (2)由1)可知fx)=2sim(2x-吾)，xe[-吾，吾]由 所以I的最大值为v2R+R=(2+1)R,此时a十开=受，即 a=开，所以当a=于时，△OAB的周长最大，即当藏取的长 于e[-子，]所以2x-晋∈[-晋看]当2x吾 方形的长宽比为2：1时，△AOB的周长最大. [-要-吾]时，f(x)单调递减，即f()在区间 (②)知图所示，设∠AOB=a,由题意可得0<a<受 [-晋-]上单调递减：当2红-晋∈[-吾，吾]时， 剿AB=Rsin a,OB=Reos a. f八x)单调递增，即八x)在区间[一意·]上单调递增。 [变式3]解折(1)图为f(.x)=msim2x+2cos2x-1(m>0), 所以f(x)=sin2x十cos2x 设长方形ABCD的面积为S,则S=2OB·AB, =m(、行血2+2 1 所以S=2 Rcos a·Rsin a=R·2 sin acos a=Rsin2a. 1m+1 国为0<a<受，所以0<2a<元 设sinp v布后斤0 1 因此当2a=受即a=至时，S=R,这时点B,C到点0 则fx)=m+1sin(2.x十g), 又f(x)的最小值为-2， 的距高为号R,长方形ABCD面积的最大值为R, 所以一√m十1=一2，所以m=3 随堂检测·学以致用 (2)与1得血g之mg-9.0Cg2x 1 1.D解扬原式=/4co54+2,(sin4一cos4)=|2c0s4|+ 2l sin 4-cos 4|=-2cos 4+2(cos 4-sin 4)=-2sin 4. 所以9=否，故fr)=2sin(2x+晋)， D项. 国为画！f)在区间[一吾]上的值接为[一1,2]， 2c霸=血+a-（+号） 所以当x[-吾a]时，-2<sn(2x+吾)<1， V2sin(号+于），所以fx)的最小正周期为T=2红=6x, 1 3 由-看<r<a,可得-吾<2r+吾≤2a+吾 最大值为瓦.故选C项. 所以受<2a+晋<，所以晋<≤受， 3.服折由已知得c0s0=-个-m0=一号，所以m号 故实数a的取植范国为[吾，受] 921+3三3.s20-2s9-1=2X4)' sin 3 [例题4们照扬如图，设AD=由题可知CD-68-,7型=30.34， 5 2 BD=30.34+7.32=37.66, 1 图-3员 4翻盟8-岛88品由教化和公 tan(a-15) 式可得sim(a+15)cos(a-15)=2(sin2a十sin30, ·329·第五章三角函数 5.5.2简单的三角恒等变换 [学习目标]1.能用两角和差公式、二倍角公式、积化和差，和差化积、半角公式（后三组公式不要求记忆）进行 筒单的恒等变换，提升逻辑推理的核心素养（重点），2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明 三角恒等式，并能进行一些简单的应用，提升数学运算的核心素养（难点） 必备知识基础落实 答案见P 要点一半角的正弦、余弦、正切公式 Pcos B (3)cos a+cos B=2cos co 2 21 1.由二倍角的余弦公式cosa=2cos2g-1=1 2 400 s s月-2sn空2n“2 2 2sim号可得半角公式： 2.积化和差公式 sin?a= 1-cos a 2 2 I+cos a,tang 2 (1)sin acos B-[sin(a)+sin(aB). 1-cos a 1+cos a (2cos asinsin(sint 2.由1中得到的三个式子两边开方可得： (3)cos acos B-[cos(a++cos(a-)]. sin号=土 1-cos a 1+c05& 2 2 cos 2 (4)sin asin B=- 2[cos(a+B)-cos(a-B)]. 1 m号=士没其中的符号由号所在的 辨析 象限确定， 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 3.万能公式：sin2a= 2tan a ,c0s2a= 1+cos a 2 ( 1+tan'a 1+tan。,tan2a 1-tan'a 2tan a 1-tan'a (2)存在a∈R,使得cosg= 2 2cos a. 要点二 和差化积，积化和差公式 g=1 (3)对于任意a∈R,sin号-2ina都不成立. 1.和差化积公式 () (1)sin a+sin B-2sin cos 2 21 (4若a是第一象限角，则tan受-V千cos :1-cos a (2)sin asin B-2cosin ( 关键能力素养提升 答案见P 探究一 半角公式的应用 ②若给出了角《的具体范围（即某一区间）， 规律总结 则先求号所在范围，然后再根据号所在范国 (1)确定半角的正弦、余弦、正切公式的符号 确定正负号 的原则 (2)半角的正切公式的有理式形式是tan 2 ①如果没有给出决定符号的条件，则在根号 sin a 1-cos a 前保留正负两个符号： 1十cosa sin a ·155 数学必修第一册课堂学案 【例题1】已知士cosa=2,求cosa一sina的值. 【例题2】已知sin0+cos0=2sina,sin3 sin a sin0cos0,求证：cos23=2cos2a. 【变式1】已知cos0= 号且180<0<270，求 +444 sin a+11 0 tan 2' 【变式2】求证：1十sina十cosa2tan号+了 2 21 探究三 辅助角公式的应用 规律总结 探究二 三角恒等式的证明 (1)公式形式：asin a十beos a=√a+b· 规律总结 sin(a+gamg=2）支usin a+-leosa 对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的 方法有直推法和代入法.将条件角转化为结 V瓜+Fcos(a-g)(tan9=号).将形如a· 论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是 sina十heos a(a,b不同时为零)的三角函数 直推法：有时从条件等式中解出关于某个角 式转化为同一个角的三角函数式。 的某个三角函数值，代入结论，等式便消去某 (2)形式选择：化为正孩还是余孩，要由具体 个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明 条件而定，一般要求转化后角α的系数为正， 问題，这就是代入法的基本思想 这样更有利于研究函数的性质。 ·156 第五章三角函数 【例题3】已知函数f(.x)=4 an xsin(交-x)· 【例题4】已知某标准足球场长105米，宽68米， 球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他 cos(x-5）-3. 距离底线多远处射门，命中率最高（注：对球 (1)求f(x)的定义域与最小正周期： 门所张的角最大时命中率最高)？ (2)讨论(x)在区间[一牙，]上的单调性。 【变式3】设函数f(x)=msin2x+2cosx-1 (m>0),且f(x)的最小值为-2. (1)求m的值： (2)若函数f(x)在区间[一吾a]上的值域为 [-1,2],求实数a的取值范围。 【变式4】(1)如图所示，要把半径为R的半圆形 木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB 的周长最大？ (2)在(1)的条件下，求长方形面积的最大值. 探究四 三角函数的实际应用 解题技巧 应用三角函数解实际问题的方法 (1)解答实际问题的关键是合理引入辅助角，确 定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函 数的问题，再利用三角函数的有关知识求解。 (2)在求解过程中，要注意三点：①充分借助平 面儿何性质，寻找数量关系：②注意实际问题中 变量的范围：③重视三角函数有界性的影响. ·157· 数学必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pn 1.,2+2cos8+2W1-sin8的化简结果是 4已知sn2a=号证明：m8十1 tan(a-15) =11. A.4cos 4-2sin 4 B.2sin 4 C.2sin 4-4cos 4 D.-2sin 4 2.函数f代)=sim营十cos的最小正周期和最 大值分别是 A.3π和2 B.3x和2 C.6π和2 D.6π和2 3已知sm0=-是3颜<0<受，则m 0 :cos 20= 提示完成Ps课时作业（四十五） 5.6 函数y=Asin(ax十p) [学习目标]1.结合具体实例，了解y=Asin(x十g)的实际意义，能借助图象理解参数仙，p,A的意义，了解参 数的变化对函数图象的影响，培养直观想象，数学抽象和数学建模的核心素养（重点）.2.掌握y=six与y一 Asn(似x十⊙)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素 养（难点） 必备知识基础落实 答案见Pn 要点用“图象变换法”作y=Asin(a十9) 3.A(A>0)对y=Asin(x+g)图象的影响 (A>0,aw>0)的图象 一般地，函数y=Asin(ax十)的图象，可以看 作是把y=sin(ax十p)图象上所有点的纵坐标 L.p对y=sin(x十g)图象的影响 (当A>1时)或 (当0<A<1 一般地，把正弦曲线上的所有点 (当 时)到原来的 (横坐标 )而得到. >0时)或 (当g<0时)平移 从而，函数y=Asin(x十g)的值域是[一A, 个单位长度，就得到函数y=sin(x+十 A],最大值是A,最小值是一A. 9)(9≠0)的图象， 4.正弦曲线到函数y=Asin(ax十p)图象的变换 2.w(w>0)对y=sin(t十g)图象的影响 过程 一般地，函数y=sin(ar十g)的周期是2红，把 y=sinx的图象向左(g>0)或向右(g0) y= 平移个单位长度 y=sin(x十)图象上所有点的横坐标 横坐标变为原来的。倍 的图象 (当w>1时)或 (当0<w<1时)到原 纵坐标不变 y 纵坐标变为原来的A倍 来的 倍（纵坐标 ),就得到y= 的图象 横坐标不变 sin(ur十p)的图象. 的图象 ·158