5.4.3 正切函数的性质与图象-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

(3)因为os=sin吾，所以0<cos<sn<1 令2x十吾=红，则x=经-恶(k∈Z),所以其对称中心为 而y=sin,x在(0,1)上单调递增， (凭-意0)k∈D, 所以in(cosF)<sn(in) [变式4幻解析(1)y=2cosx对称中心的横坐标满足x=kπ+ [例题3]解析(1)因为一香<≤否， 吾∈取=0得到一个对称中心为（登，0） 所以02+吾<，所以0n(2z+晋)≤1， (2)令2r十g=xk∈D,则r=受-号(k∈Z,即)的 所以当sim(2x+号）=1，即x=是时，m=2: 图象的对称中心为（受-号，0）(k∈.又x)的图象的 当sim(2r+受)=0，即x=-晋时，a=0, 对称中心为（管+受，0）(k∈2)，所以经-号=经+晋 所以函数的值城为[0,2]，当x=一吾时，m=0, (2)因为-1≤cosx≤1，且函数y=logs(3cosx十1)有意 义，所以0<3cosx+1≤4.令4=3cosx+1. 昏图1（受，0）答案不唯-)(2)一号 周为对数函数y=log.u为减函数， 随堂检测·学以致用 所以l0g5(3cosx十1)≥-2， 所以函数y=og5(3c0sx+1)的值城为[一2，十o∞)， 1.C解ǖ因为x+∈R,所以cos(x+)∈[-1,1门.故选 最小位是一2，当且仅当3cosx十1=4.即c0sx=1时取得， C项. 此时x=2kπ(k∈Z). 2.C解析因为sin168°=sin12°，cos10°=simn80°，且函数y= (3)y=-3sin'x-4cos x+4=-3(1-cos'x)-4cos x+ sin,x在[0°，90门上单调递增，所以sin11°<sin12°<sin80°， 4=3cos'.r-4cos r+1, 即sin11°<sin168°<cos10°.故选C项. 令1=m,因为骨<<等，所以-<司 3.CD解析由题意知，当r=及时，f(x)=sim(2×十g） 此时画数化为y=3-4+1(一2<≤号)， 士1，故开+9=x十受(k∈Z,解得9=红+牙(k∈ZD.当 周为y=3r-4+1=3-号)广-号(-2<12)： k=0时g一子：当=1时9一平故选CD项 所以函数y=3-4+1在[-号，]上单洞递减， 4.服霸由登<<，得受+骨<ar+草<ox+草 所以3x(2)广-4×（号）+1长3-+1<3×(-)）月 又y=sima在(2kx十受，2x+暨)k∈D上单调递减， 1×(一)+1，即原函数的位城为[-，]，最小值为 罗+晋≥2+，>号+4， 所以 解得 om+吾<2kx+经 o+2 所以+2≥ ，当且仅当1=，即c0s=时取得，此时= [变式3]解析(1)因为 1-sin≥0所以-1≤im≤L >≥2十k,解得骨，又因为m>0,即号+2>w>0,解 -1≤sinx≤1. ,所以k=0, 所以当血=1时：当血=1时- 所以空<号，即ω的取值范周为[宁，寻]】 (2)因为-1≤cos(2x+号)≤1，所以当c0s(2x+子）= 5.4.3 正切函数的性质与图象 时y=5:当c0s(2a+哥）=-1时八=1， 必备知识·基础落实 3))=1-simx-sn=-(smx+)广+. 要点二 {红x≠变+kx,k∈ZR元（-受+kx,受+m) [辨析]提示(1)×(2)×(3)X(4)× 所以当sinx=一 时x)=吾：当x= 关键能力·索养提升 [例题1解扬由an≥3知，kx十子<<kx十受，k∈么. 故定义城为{女kx+晋<<k+登，∈Z [例题4们解析(1)由题意可得，函数f(x)的对称轴为一哥 k受。吾=kw=2张+号w>0)∈，当k=0时. [变式1服1)由6x+晋≠x十受，k∈乙得x≠餐+牙， u取值为号故选C项 答系C (2)由题意得 xx+受k五即 故 （2)令2x十吾=红+受(k∈D,则r=受+晋(ke.所以 tan r0, <kx+吾，keZ 函数y=3n(2r十晋)的对称轴方程是x-受+看ke。 定义城为(k,kr十受)，k∈Z ·324 [例题2】服颈ay=an(-之r+子)=一an(分x一平) 中心，C项正确：D项中，y=an(2x-子)的最小正周期 由m-吾<是x-平<km十受，∈，得2kx-受<x T=乏，D项错误.故选ABD项. 2x+经，k∈五， [变式4们解粉①若取o=kπ，k∈Z,则f(x)=tanx,此时f(x) 为奇函数，所以①错误：观察正切函数y=tanx的图象，可 所以画教y=tm(-号x十T)的单调递减区间是(2kx 知y=tamx的图象关于点（经，0），k∈Z对称，令x十p 吾，2x+）,kez 经kC乙得x=经-gkC乙分别令=1,2，可得-登 (2)因为tan2=tan(2-x),tan3=tan(3-r). p,m一9，故②③正确：④显然正确。 又周为登<2<x,所以-受<2-<0 答多②③④ 随堂检测·学以致国 国为登<3<，所以-受<3-<0， 1.C解析由log4tanx≥0可以得到tanx∈(0,1门，所以x∈ 显然-受<2-<3-<1<登， (kmkm十吾]∈么故选C项 又y=anx在(-受，受)上单调递增。 2.C解ǖ在(-受，受)上，cosx>0,fx)=tanx,所以在 所以tan(2-x)<tan(3-π)<tan1, （-受，受)上八x)的图象与函：y=anx的图象相同，在 即tan2<tan3<tanl. (-,-乏)和（受，x)上.osx<0,fx)=一tanx,所以在 [变式2]服团(1)令一受+kx<受一音<受十k红，k∈乙，解得 这两段区间上其图象是函数y=tanx的图象关于x轴的对 2k一<r<2kx+智，k∈乙.所以画教的单调递增区间为 称图形.故选C项. (2kx一牙，2kx十），k∈乙.故选B项。 3服窃函数x)=a(十子)在(-经，子)上单调递增，且 (2)tam(-1）=tam(-吾)，tam(-1g)=tam(-吾)月 T=,则有1)=1-周为-8经<1-<-1<0< 国为-受<-开<-吾<吾 年，所以1-x-1)0,脚0)<-100. 答案f(1)<f(-1)<f(0) 又y=mx在（一受，受）上单调递增， 4.胫扬y=an(一x)=一tanx,在(-牙，吾)上单调递减，所 所以am(-开)<m(-吾），即m(-1)<tm(-1) 以函数的值域为（一3,1）. 答率(1)B(2)< 答系(-5,1) [例题3服团，十2amr+1-立+2am+ 5.5三角恒等变换 cos' 1=tan'x+2tan x+2=(tan x+1)2+1. 5.5.1两角和与差的正弦，余弦和正切公式 周为x∈[-晋，]，所以amxe[-.l. 第一课时两角差的余弦公式 故当amx=一1，即x=一子时y取最小值1： 必备知识·基础落实 [练习]ACD解析若sina或sin3有一个为0，即=kπ(k∈ 当anr=1,即x=牙时y取最大值5. Z)或B=kπ(k∈Z),则cos(a一)=cos acos p,故A,C,D项 [变式3]解扬y-imx十cosr一sin reos 正确，B项不正确.故选ACD项. cos'r 关键能力·素养提升 =tam+1-tamx=(amx一专）广+是 [例题1霸os-o(十)=一o 图为xe[0,晋]所以amxe[0.1. =-os(经)=-cos(-晋） 所以当an=号时a=是：当an=0或1时，=1 =-(os平cos吾+sin牙sim否)】 故原函数的最大值是1，最小值是。 =-(停×+9×）-牛里 4 [例题4们ABD匠五令fx)=tm(2:牙），A项中，-D (2)原式=-sin(180°-13)sin(180°+43)+sin(180°+ 77)·sin(360°-47)=sin13sim43°+sin77sin47 tan(-2x-号）=-tan(2x+5)≠-tan(2x-晋） =sin13°sin43°+cos13°cos43 =cos(13°-43) fx),所以函数y=tan(2r一哥)不是奇函数，A项错误： =(-0= B项中，y=an(2x-弩)无单调递减区间，B项错误：C项 [变式1]解析(1)c0s50°c0s20°+sin50°sim20°=c0s(50°-20)= 中，因为f()=tam0=0,故（吾，0）为图象的一个对称 m30-9故选C流. ·325·第五章三角函数 5.4.3正切函数的性质与图象 学习目标]1，掌握正切函数的周期性和奇偶性，培养数学抽象的核心素养（重点），2，能借助单位圆画出y一 anx的图象，培养直观想象的核心素养，3.掌提正切函数在（一受，）上的性质，培养数学运算的枝心素养 (重点) 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 正切函数的图象 (续表) 性质 图象特点 奇函数 图象关于原点对称 在每一个区间 图象在（一艺十m,受+标小： (k∈D上都单调递增 k∈Z上是上升的 要点二正切函数的性质 辨析 性质 图象特点 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)正切函数在整个定义域内单调递增.( 定义域为 图象与直线r=受十km (2)存在某个区间，使正切函数单调递减。 k∈Z没有交点 值域为 图象向上，向下无限延伸 (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为 周期元。 () 最小正周期为 在区间（一受+x,受+ (4)函数y=tanx为奇函数，故对任意x∈R k∈Z上图象完全一样 都有tan(-x)=一tanx, () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 正切函数的定义域 【例题1】求函数y=√tanx一3的定义域. 规律总结 正切函数y=tanx的定义域为xx≠kπ十 吾，∈小.求正切函数与其他函数复合而成 的函数的定义域时，实际上就是解关于正切 函数的三角不等式，常借助三角函数的图象 求解。 ·143 数学必修第一册课堂学案 【变式1】求下列函数的定义域 【变式2】1)函数f(x)=tan(受-)的单调递 a)y=tan(6x+牙)：(2)y=ln(tanx). 增区间是 A[2kx-2x+],k∈Z B(2kx一，2kx+）,k∈Z C[4x一经4kx+],k∈Z D(4x子4x+),k∈Z 探究二 正切函数的单调性 tan(-16)(填“>” 规律总结 “<”或“=”). ()正切函教y=tanx在开区间（一受十m, 探究三正切函数的值域（最值》 受+kx)k∈Z)内都单调递增，求函数y 规律总结 Aan(aur十p)的单调区间，只需由一受十km< (I)正切函教y=tanx在定义城{缸x≠受十 十g<受十kx∈Z)解出x的取值范国即 kπ，k∈Z上的值域为R,而对于不同的x的 可，但若仙<0，可利用诱导公式将其化为正 取值范围，值城会不同，一般需要根据其单调 值，还要注意A的正负对函效单调性的影响 性和图象求解 (2)利用正切函数的单调性及复合函数的单 (2)在有关正切函数的值域问题中，应注意x 调性来研究含有正切函效的函数的单调性或 的取值范围，求出tanx的取值后，一般可以 者比较正切函数值的大小， 采用换元法求画数的值域。 【例题2】1)求函数y=1an(一r+牙)的单调 【例题3】若x∈[-吾]，求函数y= 递减区间. 2tanx十1的最值及相应的x的值. (2)比较tan1,tan2,tan3的大小. 144 第五章三角函数 【变式3】求函数y=1-mos工，x∈[o,牙]的 cos'r 【例题4】（多选）关于函数y=an(2x一)，下列 最大值和最小值 说法错误的是 () A.是奇函数 B在区间(0，号)上单调递减 C(,0)为图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 探究四正切函数的周期性、奇偶性与对称性 规律总结 (1)正切函数y=tanx的最小正周期是π，这 与正弦函效、余弦函数不同.一般地，函效y Aan(ar十g)A>0.w>0)的周期为T-恶 【变式4】关于x的函数f(x)=tan(x十g)有以下 几种说法： (2)正切函数是奇函数，正切函数的图象关于 ①对任意的9，f(x)都是非奇非偶函数： 原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中 心坐标是（经，0小，∈乙，正切函数的图象无 ②fx)的图象关于点（受-9,0）对称： ③f(x)的图象关于点（π一9,0）对称： 对称轴，而正、余弦函数的图象既中心对称又 ④f(x)是以π为最小正周期的周期函数. 轴对称。 其中正确说法的序号是 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数y=√/小og,tan x的定义域是 A(o,] B(2km,2kx+],k∈Z C(km,kx+],k∈Z D.(km-受km十]k∈Z 3.若fx)=tan(x+T),试比较f(-1),f(o), 2.函数fx)=cos五 sn文在区间[一不，x]上的图象 f(1)的大小，按从小到大的顺序排列为 大致是 4函数y=tan(x一x),x∈（一牙，）的值域 提示完成P课时作业（四十一） ·145