2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式(二)-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式（二） [学习目标]1.会解可化为一元二次不等式（组）的简单分式不等式，提升数学运算的核心素养（重点）.2.能够 从实际生话和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决，提升数学建模的核心素养（重点），3掌握与 一元二次不等式有关的恒成立问题的解法，强化数学运算的核心素养（难点）， 必备知识基础落实 答案见Pm 要点一元二次不等式恒成立问题 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问 L.一元二次不等式恒成立问题常用的两种思路 题，即k≥f(x)恒成立台 :k≤f(x)恒 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况， 成立台 即ax2+bx十c>0(a≠0)恒成立台 2.(1)当未说明不等式为一元二次不等式时，不 等式a.x2十bx十c>0对任意实数x恒成立台 u.x2十h.x十c≥0(a≠0)恒成立曰 a=b=0,a>0, 或 a.x2十bx十c<0(a≠0)恒成立台 c>0 △<0. (2)当未说明不等式为一元二次不等式时，不 a.x2十bx十c≤0(a≠0)恒成立 等式a.x十bx十c<0对任意实数x恒成立曰 a=b=0, a<0, 或 c<0 △<0. 关键能力素养提升 答案见P 探究一解分式不等式 【例题1】求下列不等式的解集. a2=0: 3十x 2}>0: 规律总结 8)千22 (4)3->3. 解分式不等式时一般先把分式不等式转化为 整式不等式，再用解整式不等式的方法求解。 444+44444444444444++44444444 分式不等式转化为整式不等式的常见情形 有：>0=fxgx)>0.f0<0台 g(x) g(x) f≥0 f(x)g(x)0, fx)g(x)<0, g(x） g(x)≠0， - f(x)g(x)≤0， g(x)≠0. ·34· 第二章一元二次函数，方程和不等式 【变式1】解下列关于实数x的不等式. (2)设不等式对于满足引m≤2的一切m的值 8号≤0： 28号≥1 都成立，求x的取值范围 82> ④号 【变式2】当a为何值时，不等式(a2-1).x2-(a 1)x一1<0的解集是全体实数？ 探究二 一元二次不等式的恒成立问题 规律总结 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量， 探究三 一元二次不等式的实际应用 谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自 变量，求谁的范围，谁就是参数，分离参数法 规律总结 是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的 解不等式应用题的步骤 方法 (1)读：阅读理解、认真审题，把握问题中的关 (2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 键量，找准不等关系； 0就是相应的二次函数的图象在给定范围内 (2)建：将文字语言转化为符号语言，用不等 全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次 式表示不等关系，建立相应的数学模型： 函数的图象在给定范围内全部在x轴下方， (3)解：解不等式，得到数学结论，要注意数学 模型中元素的实际意义： 【例题2】已知不等式m.x2-2.x十m-2<0. (4)答：回归实际问题，将数学结论还原为实 (1)若对于所有的实数x,不等式恒成立，求m 际问题的结果 的取值范围： ·35· 数学必修第一册课堂学案 【例题3】某企业上年度的年利润为200万元，本 【变式3】某旅店有200张床位，若每床每晚的租 年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适 金为50元，则可全部出租，若将出租收费标 度增加投入成本，投入成本增加的比例为x 准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减 (0<x<1).现在有甲，乙两种方案可供选择， 少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收 通过市场调查后预测，若选用甲方案，则年利 入超过15000元，则每个床位的出租价格应 涧y万元与投入成本增加的比例x的函数关 定在什么范围内？（答案用集合表示） 系式为y=f(x)=-20.x2+60x+200(0< x1):若选用乙方案，则y与x的函数关系 式为y=g(x)=-30x+65x+200(0<x 1).试根据投入成本增加的比例x,讨论如何 选择最适合的方案 随堂检测学以致用 答案见P L.(选)若不等式x2十bx十1>≥0对任意实数x 3.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)》 都成立，则b的值可以是 ( 与单价P(元)之间的关系为P=160一2x,生 A.-2 B.0 C.1 D.4 产x件所需成本为C(元)，其中C=500+30x 2.不等式<0的解集为 ( 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量 x的取值范围是 A{< A.20≤x≤30 B.20≤x≤45 B-<<1 C.15≤x30 D.15≤x≤45 4.已知函数f(x)=x2十1.x一1，若对于任意m≤ C{ar<-或> x≤m十1，都有f(x)<0成立，则实数m的取 值范围是 D.{r≤-2或x≥到 提示完成P课时作业（十） ·36·所以不等式g2+x+1>0即为-合e+日x+1>0,整 1 1∠0 理得x2一x-6<0,解得-2<x<3,即不等式gx+px+ 0不等式即号士0，与 x+l x ≠0， 同解， 1>0的解集为{x一2<<3. x2-1≠0 随堂检测·学以致用 x-(r+1D≤0 -1 1.A解析M={xx2一3x-4<01={x(x一4)(x+1)<0}= x(x+1) 则 x≠0， 即 x(x+1D≤0， {x一1<<4}，故选A项. x≠0， 2.C解析依题意知一7，一1是方程a2十8a.x十21=0的两 x2-1≠0， x2-1≠0， -7-1=-80 些与同部 根，且a>0,则有 -7x(-10=24 解得a=3.故选C项， 故所求不等式的解集为{xx<一1或0x<1或x>1. a [例题2]解析(1)对所有实数x,不等式mx2-2x十m一2<0恒 3.CD解析对于A项，由于不等式中二次项的系数为负，所以 成立，即函数f(x)=mx2一2x十m一2的图象全部在x轴下 解集不可能为R:对于B项，不等式的判别式为△=20 方.当m=0时，一2x一2<0，显然对任意x不能恒成立： 45>0,所以解集不可能为R:对于C项，不等式的判别式为 △=36一40=一4<0，所以不等式的解集为R:对于D项，不 当m0时，由三次画数的困象得公：加2)0.解 等式的判别式△=（一3）2一4×2×4=一23<0，所以不等式 得m<1一2.综上，m的取值范围是{mm<1一√2. 的解集为R故选CD项。 (2)设g(m)=(x2+1)m-2.x-2,它是一个以m为自变量 4.D解析当a=0时，有1<0，故A=☑：当a≠0时，若A= 的一次函数，由x2十1>0知，g(n)在一2≤m≤2上单调递 ,别有公0-0.得0<a<整上a的取位集合为 增，则只需g(2)<0即可.即2.x2十2-2x-2<0,解得0< x<1.故x的取值范围是{x0x1). {a0≤a≤4}.故选D项. [变式2]解析①当a2一1=0，即a=土1时 若a=1,则原不等式为一1<0，恒成立； 2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式（二） 若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<号，不特合题目 必备知识·基础落实 要点 要求，舍去 ②当a一1≠0，即a≠士1时，原不等式的解集为R的条件 1.(1)a>0△0a>0△0a<0△0a<0△≤0 (2)k>≥f(x)mk≤f（.x) 是低+G- 解得-<a<1 关键能力·素养提升 [例题1门解析(1)原不等式与(3十x)(2一x)>0同解， 综上所递，当一号<<1时，原不等式的解集是金体实数。 即与(x十3)(x一2)<0同解， [例题3]解析f(x)一g(x)=(-20x2+60x十200)-(-30x+ 故所求不等式的解集是{x一3<x<2}, 65.x+200)=10x2-5.x(0<x<1). 阳原不等式与（十0月标。 由10-5>0，解得t>号或r<0(合去。 故所求不等式的解集是{xx<一4或x≥I (3)原不等式即千2-20. 故当投入成本增加的比例x∈{0<<2}时，选择乙 方案； 故2<0，含0， x+2 当投入成本增加的比例x∈{女2<<)时，选择甲 (x十4)(x+2)≥0·同解 则原不等式与工十2≠0 方案： 故所求不等式的解集为{xx≤一4或x>一2}. 当投入成本增加的比例工一2时，选择甲或乙方案都可以。 （0原不等式即3-0，即3>0.即2>0… [变式3]解析设每床每晚的租金提高10的n倍，即为(50+ 10n)元， 则原不等式与x(3一4x)>0同解，即x(4x一3)<0， 出租的床位会减少10的n倍张，即为(200一10n)张， 故所求不等式的解集为{0<<是} 由题意可得该旅店每晚的收入为(50+10n)(200-10m)> 15000, [安式霸不孝大与号一0月格 整理可得m-15n十50<0，解得5<<10， 因为n∈Z,所以n可取6,7,8,9， j(x-5)(2x-1)≥0， 即2x1≠0， 此时每个床位的定价50十10m即为110,120,130,140， 所以每个床位定价的取值范国是{110,120,130,140%， 故所求不等式的解集为{红<2或≥5小 随堂检测·学以致用 ②不等式即号-1D0,所以5牛>0， L.ABC解析由题意可得伊一4≤0，所以一2≤b≤2.故选 ABC项. 所以，送与2一0月标。 2A题由不等天品≤0释（经+0解得 故所泉不等式的解集为✉合<<2 <≤1，所以不等式的解集为{-<≤1小.故选 （③)不式即千2经0，即号>0，p0, A项. 3.B解析设该厂每天获得的利润为y元，则y=(160-2x)x 这与不等式(3x一1)(3x十2)>0同解.故所求不等式的解集 (500+30.r)=-2.x2+130.x-500(0<x<80).由题意，知 为{-号>} -2.x2+130x-500≥1300，即x2-65x+900≤0，解得20≤ x≤45.故选B项. ·294· 4.解析要满足f(x)=x+m江一1<0对于任意m≤x≤m十1 (2)因为-2是2x+(2k+5).x+5k<0的解. 位成立，只需fm)<0, 所以2×(-2)2十(2k+5)×(一2)+5k=k-2<0 f(n+1)<0, 2m-1<0, (m+1)+m(m十1)-1<0， 解得-号m<0故实m的值范是一号m 所以长2，->-2>-号：所以2r+(2张+5)x+5k 2 (红+)(2r+5)<0的解集为女-号<r<-k小， 又2-x一2>0的解集为{xx<-1或x>2}, 章末复习方案 所以一2<一k≤3，所以k的取值范围为{k一3≤k<2. 答3(1)BD(2){k-3≤k<2 [真题1门解标(1)因为一1<b<0,a<0,所以ab>0,b<0<1, <1.所以ab-a6=ab(1-b)>0,u6-a=a(-1)>0. [直题5]服罚)由短感知x+=(+)(分+号)=2+ 所以ab>a>a,故选C项. (2)设a十33=m(a十)十n(a十23)=(m十n)a+(m十2n)a +若周为>0>0，所以号>0音>0，所以号+ y 比技o归的系数：释2从后解当=-1=2分 ≥2V号亡-2，当且仪当号-言脚4=即=2， 别由{a。1·得-1≤一a-1,2≤2a+406,两 y=8时，等号成立，所以x+￥≥4，所以。2-3a<4,解得 式相加得1≤a十37.故a十33的取值范国是1≤a十33 一1<a<4.故选B项. 7.故选A项. (2)将x2十bx十c≥2x十b整理为x十(b-2)x十c一b≥0，因 答室(1)C(2)A 为x2+bx十c≥2x十b对任意x∈R恒成立，所以△≤0，即 [真题2]解析(1)因为0<x<1,所以4一3x>0,则x(4 (-2)”-4(一b)≤0，整理得-4十4≤0，故A项正确： 3)=号×3rx4-3x)≤3×(+4)广=青当且 令6=1.c=2.则4=(1-2)-4×(2-1)=1-4=-3<0， 2 仅当3r=4一3，即=号时，等号成立，故r4-3)的最 满足题意，故B项错误：由A项知4>6+4，即>气十 大值为子故选C项 1≥1，故C项正痛：b叶≥6+行+1=（合+1）≥0，故D 项正确，故选ACD项 (2)由随唐知≠0.由5dy+y=1,可得2=导，所以 答案(1)B(2)ACD r+y=+==（位+4）≥× [真题6]解析(1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元平 5 方米， 2V宁×4=当且当=，y士号时，等号 由题知「80-2(x-25)]x≥2000 即x-65x+1000≤0，解得25≤x≤40， 成立，所以十y的最小值是号 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元！平方米. 8)周为a>0,6>0,所以++b>21日是+6 (2②)由题意得m≥25×80+50+2m+号(or-60),基理 得m>150+2m+号m, 号+>26-2区，当且仅当日-是且号-6：岸a= 两边同除以m得m≥1500+ 3m+2. =巨时，等号成立，所以。+层+b的最小值为2园 又1500+5 m+222 /1500. 3m+2-102. 爵系(1)C(2)号(3)22 [真题3]解析(1)x一4.x<0→x(x-4)<0,解得0<x<4.故 当且仅当0-号m即m=30>25时，等号成主】 选A项. 所以≥102，故该种玻璃的销售量n(单位：万平方米)至少 (2)不等式9.x2-6.x十1≥0，可化为(3x-1)≥0，不等式的 达到102万平方米时，才可能使2024年的销售收入不低于 解集为R,A项正确：一x2+2x-3<0变形为2-2x+3> 2023年销售收入与2024年投入之和，此时的售价为30欧 0,即(x一1)十2>0，不等式的解集为R,B项正确：x2-3x 元平方米. 4>0的解集为{xx>4或x<一1}，解集不是R,C项错误： 1 第三章函数的概念与性质 上十十1，因为上+1>不等式两边同乘以+1，即 x十x2十1≥x十1，即x≥0，故不等式的解集为R,D项正 3.1函数的概念及其表示 确.故选ABD项. 答率(1)A(2)ABD 3.1.1函数的概念 [真题4]解析(1)A项，当a=0时，有<2，无论b取何值，不能 使不等式的解集为xz>2,错溪B项，当>0： 必备知识·基础落实 4=F-8a<0时 要点一 不等式的解集是R,正确：C项，令f(x)=a.x2一br十2，显然 1.非空实数集任意唯一确定从集合A到集合B f(0)=2>0,故不等式的解集不可能是0，错误：D项，当a= y=f(.x),x∈A b=-1时.x-x-2=(x-2)(x+1)<0,解集是{x|-1< 2.x的取值范围A函数值(f(x)x∈A}子集 <2),正确.故选BD项. [思考]提示(1)确定，一一对应， ·295·