2.2 基本不等式-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度 3.(多选)若a>b>0,c<d<0,则一定有() 的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃，那么 A.ac<bd B.ac>bd t应满足的关系式是 A.4.5t28000 B.t28000 cy- C.4.5>28000 D.t>28000 2.已知实数a>b,M=a2一ab,V=ba一}，则M 4已知一晋≤a<≤受，则时的取值范围是 2 与N的大小关系是 a一的取值范围是 A.MN B.M<N C.M=N D.无法确定 提示完成P课时作业（七） 2.2基本不等式 [学习目标]1，掌握基本不等式a≤0中(a,b≥0)，发展数学抽象和直观想象的核心素养（重点）.2.结合具 2 体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，发展逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养 (难点) 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一基本不等式 >思考：使用基本不等式求最值时需要注意的三 1.重要不等式：对于任意实数a,b,都有a2十 个条件是什么？ 2ab,当且仅当 时，等号成立 2.基本不等式：对于任意 a,b,都有 ,当且仅当 时，等号成立 3.几何平均数与算术平均数：对于两个正数a,b, √ab叫做a与b的几何平均数，叫做a与 2 辨析 b的算术平均数 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 4用文字语言表述基本不等式，历<少为 (1)基本不等式中的a,b可以是任意值为正数 的代数式 () (2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最 要点二 应用基本不等式求最值 小值 () 如果x,y都是正数，那么 (3)在重要不等式中，“当且仅当a=b时，等号 (1)如果积xy等于定值P,那么当 成立”的含义是“a=b”是等号成立的等价 时，和x十y有 条件 (2)如果和x+y等于定值S,那么当 (4)多次使用基本不等式时，等号一定可以 时，积xy有 取到. () ·26· 第二章一元二次函数，方程和不等式 关键能力素养提升 答案见P 探究一 利用基本不等式证明不等式和比较 【变式1】已知a,b,c为正实数，且a十b十c=1,求 大小 证：（日-1）（分-1(2-1≥8。 误区防错 利用基本不等式证明不等式和 比较大小时应注意的几点 注意基本不等式v<艺中成主的条件 是a0,b>0. (2)如果式子不具备基本不等式的特点，则需 通过加、减项的方法拼凑成可用基本不等式 的形式。 (3)利用基本不等式比较大小时，要注意观察 其形式（和或积） (4)多次使用基本不等式时，要注意等号能否 【例题2】已知a,b,c都是非负实数，试比较 同时成立 ,a+b++c+√c2+a与、2(a+b+ (5)灵活应用基本不等式的变形形式，注重基 c)的大小. 本不等式的变形应用，基本不等式的常见变 形有：①a+b≥2√ab(a>0,b>0):②ab≤ (a十b)2 4 ③a+1≥2(a>0:④2+g≥2 6 (a,b同号). 【例题1】已知a>0,b>0,a十b=1,求证：（1十 )·(1+2≥9. 【变式2】若a>0,b>0,设A= 牛,B= 2 c-.D= 1,则A,B,C,D的 2 大小关系为 ·27· 数学必修第一册课堂学案 探究二利用基本不等式求最值 【变式3】1)求函数y=x+安(<0)的最大值 1 规律总结 (2)求函数y一x-3十x(x>3)的最小值， 基本不等式在求最值中的使用方法 (3)已知a>0,b>0,a+b=1+1, ,求1十 (1)拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型 的最小值. 函数的最值中 (2)常值代换.这种方法常用于“已知ax十 by=m(u,b,x,y均为正数)，求+1的最小 3 值"和“已知+b=1(ab.,y均为正数) x y 求x十y的最小值”两种类型. (3)构造不等式.当和与积同时出现在同一个 等式中时，可利用基本不等式构造一个不等 式从而求出和或积的取值范围。 【例题3】1)已知>0，求函数y=1+}-4的最 小值。 (2)已知x>0,>0,且满足营+￥=1，求xy 【例题4】(1)已知正数x,y满足8+1=1， 的最大值 求x十2y的最小值 (3)已知a>0,6>0,且ab=1,求2+六十 (2)已知x>0,y>0,且x+4y=1,求1+1 a的最小值 y 的最小值. ·28 第二章一元二次函数，方程和不等式 【变式4】(1)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+ 【变式5】函数g(x)=x2+(m+1).x+m,若存在 仍十3的最大值为 0≤≤2使得不等式g(x)≤-1成立，求实 (2)若a是正实数，2a2+36=10,则w2+b 数m的取值范围. 的最大值等于 探究三利用基本不等式求参数 规律总结 利用基本不等式求字母或式子的取值范围分 两种情况 (1)若已知等式，则要用基本不等式进行放 缩，得出不等式，解该不等式 (2)若已知不等式，则要先将参数分离出来， 转化为求函数的最值（恒成立或存在性）问 题.若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x):若a≥ f(x)恒成立，则a≥f(x)mx.若存在x使a≤ f(x)成立，则a≤f(x)mx;若存在x使a≥ f(x)成立，则a≥f(x)m.求最值时可能用到 基本不等式 【例题5】设a>6>c,且。b+方己>。”恒成 立，求m的取值范围， 探究四 基本不等式的实际应用 规律总结 应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)仔细阅读题目，透彻理解题意. (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知 数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变 量设为函数，并确定使函数有意义的自变量 的取值范围. (3)在自变量的取值范围内应用基本不等式 求出函数的最值，当函数不具备使用基本不 等式求最值的条件时，可考虑用函数的单 调性 (4)还原实际问题，作出解答 29 数学必修第一册课堂学案 【例题6】如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠 【变式6】某单位安装1个自动污水净化设备，安 墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园，设菜园 装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管 的长为xm,宽为ym 线、主体装置的占地面积x(单位：平方米)成 正比，比例系数为0.2，为了保证正常用水，安 装后采用净水装置净水和自来水公司供水互 补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单 (1)若菜园的面积为162m,则x,y为何值 位每年向自来水公司缴纳的水费为9(x)= 时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为60m,求号+2的 0>0),记y为该单位安装这种净水设 备的费用与安装设备后每年向自来水公司缴 最小值. 纳的水费之和. (1)写出y关于x的函数表达式： (2)求x为多少时，y有最小值，并求出y的 最小值 随堂检测学以致用 答案见P 1,(多选)设a,b是正实数，则以下不等式恒成立 为a,第三年产量的增长率为b,这两年产量的 的是 ( ) 平均增长率为x,则 () A.Vab 2ab a+b B.a>a-bl-b A.r=a 2 B.ratb 2 C.a2+b>4ab-3b2 C.x>a十b D.x≥a+b 2 2.若，y是正实数则(x+(2+号)的最小值 4.若-4<x<1,则fx)=x2十2 2x-2 为 ) A.有最小值1 B.有最大值1 A.6 B.9 C.12 D.15 C.有最小值-1 D.有最大值一1 3.某工厂第一年产量为A,第二年产量的增长率提示完成P课时作业（八）和P培优训练（三） ·30·①正确.周为a<<0,所以a6>0,所以品>0， 吾所以-<-是<所以-晋<<登又 所以品所以即> 1 所以0，所以-吾<0 2 [变式3]解析(1)不成立.原命题改为“若a>b且c≤0，则 a≤c”,即增加条件“c≤0” 22 2 (2)不成立.由a2>2可得a>b,但只有b≥0时，才有 >仔，即增加条件“b≥0” 2.2基本不等式 (3)不成立，号>2成立的条件有多种（知a>0>0,>D 必备知识·基础落实 0),因此可增加条件“b>0,>0” 要点一 [例题4们证朋因为c<<0,所以一c>一d>0, 1.≥a=b 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0, 2.正数 Vai<ab a=h 所以(a-c)>(b-d)>0, 1 4.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 将上式两边同乘以a-ch-d,得a-c少<h-d 要点二 又因为e<0,所以a-)>b一d) (1)x=y最小值2P [变式4]证明因为a>b,c>0,所以ac>c,即一ac<一bc,又 (2)x=y最大值号 e>f,即f<e,所以f-ac<e-. [思考]提显1)一正：符合基本不等武“>√品成立的前提 [例题5]解析方法一f(-1)=a一b, 21 f(1)=a+b,f(-2)=4a-2h, 条件，即a>0,b>0. 设f(-2)=mf(-1)+nf(1), (2)二定：化不等式的一边为定值 则4a-2h=m(a-b)十n(a十b)=(m十n)a-(m一n)b, (3)三相等：必须存在“=”成立的条件. [辨析]提示(1)√(2)×(3)√(4)× 千于是：解释则-》=-+， 关键能力·索养提升 因为-1≤f(-1)≤3，所以-3≤3f(-1)≤9. [例题1门国翻周为a,b为正数a十b=1,所以ab≤（色空艺） 又因为1≤f1)≤5，所以-2≤3f(-1)+f(1)≤14. 故∫(-2)的取值范围为一2≤f(一2)≤14. 于是品>≥4品>≥8：所以(1+)1+7)=1+日+ 方法三由女” [a-KD+f(-D 2 名+品1+出+品=1+品≥1+8=9，当且仅当a K(D-f(-D 2 b=2时，等号成立. 则f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). [变式1]证朋明因为a,b,c为正实数，且a十b+c=1, 因为-1≤f(-1)≤3，所以-3≤3f(-1)≤9， 又图为1≤f(1)≤5，所以-2≤3f(-1)+f(1)≤14. 所以-1=14=什≥2瓜>0， aa 故-2≤f(一2)≤14. 所以（一2）的取值范围为一2≤f(一2)≤14. 同理，名-1>2>0，-1>2瓜>0 b [变式5]解标因为2<a<3,一4<b-3,所以-2<a十b<0. 由-4<<-3，知3<一b<4,所以6<a(一b)<12,所以 所以（日-）（合-）（日-1）≥2酒..2 -12<abK-6由3<-6<4，知9<(-by<16,又号< 8,当且仅当a=6=c=}时，等号成立， <,所以3<任<8 [例题2]解析因为a'+b≥2ab,所以2(d+F)≥(a+b), a a 综上，a十b的取值范国为一2a十b<0,ab的取值范围为 所以，G于≥号a+b, -12<a-6,岳的取值范调为3<仁<8 同理，v+号6叶o.v于7≥号e+a. 随堂检测·学以致用 1,A解析因为雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度 所以v++v历T+PTT≥号a++叶+ 的4.5倍还要高，所以4.51<28000.故选A项. 2.A解析图为M-N=(a-ab)-(a-)=(a一b),又a> (c+a)]=2(a+b+c). b,所以(a—b)>0,即M>N.故选A项. 故√a++√+e+√+a≥√2(a+b+e),当且仅 a.AD霸由<d0得-子>->0d>0.又a>b0, 当a=b=c时，等号成立. [变式2服研周为a>0,6>0,所以“生>√瓜，当且仅当a=b 故由不等式性质，得一日>-名>0，所以号<名所以号 时，等号成立 b<0,即aL<0.所以ac-d<0,即ac<d.故选 周为A-B=12 (a+b_ 2 4 AD项. a十a++正 a +b +2ab 1 4 N 4 且a2+6≥2ab>0,所以A-B≥0， 号<子两式相加得一吾<空<受又周为-普<号 所以V≥学，当且仪当a=6时，等号成立. ·291· 2=2ub 国为1十 a干b且a>0,b>0,所以a+b≥2a6. [变式4幻解扬(1)(a+I+√+3)2=a+b+4+2√a+I· 4 6-3≤9+2.va)',(v8=9+a+6+4=18. 2 所以0< 1 a+b 2ab ,所以2<2a=瓜. a+b 2 ab 所以√a+I+√+3≤32，当且仅当a十1=b+3且 2 所以而产上工，当且权当a6时，等号成立 a叶b=5,即a=子6=号时，等号成立，所以V0行+ a √+3的最大值为3√2. 所以1工≤ah2≤ E,当且仅当a=b时， 2 (2)由基本不等式得a2+F=二(2a)(3,2+F)≤ 6 等号成立.所以A≥BC≥D, ·+2+-2公湾+6-1若-4当显仅 6 2 答案A≥BC>D 26 2w6 [例题3]服团(D依题意得y=1十}-4>≥2√·-4 当2a=5·V2+F,即a=2.i=号时，等号成立 一2，当且仅当1=1时，等号成立，即函数y=1什}一4> 图a32小 0)的最小值是一2 [例题5]解标由a>b>c,知a-b>0,a一c>0,b-c>0, (2)依题意，因为>0，y>0,芳+￥=1，所以营+￥ 所以原不等式等价于日二+二>m 3 要役原不等式恒成立，只雪二+二的最小植不小于 n即可. y=2时，等号成立，即√写≤1，解得x3,所以y的最 所以8二E+a二S=a=b)+(b-Q+(a-)+(h-d a-bb-c a-b b-c 大值为3. =2++82+28-4 2 a>0, 当且仅当名合名之即26-a十e时，等号成立.所以m≤ >0, X。=4,当且仅含i, 4,即m的取值范围为{mn≤4}. 2 a+b-8 [变式5服罚存在0<r<号使得不等式+(m十1)x十m≤ 2a+b 等号成立.因光六十品十的最小值为 一1成立，即存在0长<号使释不等式-m>成 [变式3]解标()因为x<0,所以-x>0,所以y=x十2 主所以-m≥（生） -[【-+2a]k-20…2a=2,当且 1 周为-什=+1+ 2x+1 x+7-1≥1， 当且仅当x十1=1，即，x=0时，等号成立，所以一m≥1，解 仅当-号时，等号成主所以一巨 得m≤一L.故实数m的取值范国为(nm≤一1， [例题6]解扬(1)由已知可得xy=162,而篱笆总长为x十2y. (2)因为x>3,所以x-3>0, 又x+2≥2v2xy=22X162=36,当且仪当x=2y,即 所以y+十-3)+3≥5，当且仅当 x=18,y=9时，等号成立， 所以菜园的长x为18m,宽y为9m时，可使所用篱笆总长 3=即=4时，等号成立所以=5 最小 (2)由题意知x+2y=60. （8由a+6=+名-出得h=l 国为(+号)u+20 日+号≥2日×=2，当且仅。- 2 ,b=2时， =1+2y+g+4>≥5+2 2y×2r y 等号成立.所以+号的最小值为2v2 =5+2×2=9, [例题4解桥()因为>0，y>0,8+1=1, 当且仅当x=y=20时，等号成立， x y 所以+2y=(受+})·(+2)=10+号+16>10+ 所以+号≥品-易当且仅当-y一20时，等号成立 x (8+1=1, 所以士+子的暖小值为易 r y =16y jx=12时， [变式6们解析(1)由题意可得，y关于x的函数表达式为y= {y=3 y +0>0 1 等号成立，故当x=12,y=3时，(x+2y)m=18. (②周为y=吉x+0=号x+10)+0-2≥ (2②国为>0>0，+=，所以}+号=+ y -5++5≥0.当且仅含y子脚一 2√号+10)…8-2=4 y x y 3y 吉时，等号成立，故+的最小值为9. 当且仅当号十10)=0即=5时，等号成主， y 所以当x=5时，y有最小值4. 。 292· 随堂检测·学以致用 (2)原不等式可化为2x2一x十6>0， 1D强由题意知>0，b>0A项中，V函>第可化为 图为方程2.2-x+6=0的判别式△=（一1）2一4×2×6< 0,所以函数y=2x2一x十6的图象开口向上，且与x轴无交 a十b>2√ab,缺少两者相等的情况：B项中，因为ab>0,所以 点.所以不等式的解集为R (a十b)2>a-b2,所以a十b>a一b成立，所以a>u- (3)图为9x2+6.x+1=(3.x+1)2>0, b-b:C项中，a2十B>4ab-3W可化为a2十4>4ah.缺少 两者相学的情说：D项中b叶品2√·品-2>2故 所以原不等式的解集为女中一吉} (4)原不等式可化为x2-10.x十25≤0，即(.x-5)2≤0， 选BD项. 所以原不等式的解集为{xx=5. 2B霸周为y为正实载，所以十)…(+号)-1十 [例题2]解析(1)当a=0时，不等式可化为x一2>0，解得x> 2,即原不等式的解集为xx>2, 4什￥+>≥5+2\·y y.证=9，当且仅当￥=g,即y= (2)当a≠0时，方程ax2十(1-2a).x一2=0的两根分别为2 x r y 2x时，等号成立.故选B项. 和1 3.B解析因为这两年产量的平均增长率为x,所以A(1十 x)2=A(1+a)(1十b),所以(1十x)=(1+a)(1+b),a>0, ①当a<-合时，解不等式得-日<r<2,即原不等式的解 a b>0,所以1+x=V1+a1+)≤1+a)十1+b=1+ 2 集为-<<2 a 生艺所以≤生中，当且仅当1+a=1+6即a=6时，等号 ②当。=一立时，不等式无解，即原不等式的解集为， 成立.故选B项. D霸易知f)=22安-[-D+],因 ③当-言<<0时，解不等式得2<<日，脚原不等式 2x-2 为-4<x<1,所以x-1<0,所以-(.x-1)>0.所以f(.x)= 的解集为2<K-日： 2[-1D+-D]K-1,当且仅当x-1= 1「 1 x-1' ④当a>0时，解不等式得<-日或>2，即原不等式的 即x=0时，等号成立.故选D项。 解集为{口《-或>2： 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 [变式2]解析由于△-1-4a,则当a>时，原不等式无解： 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（一） 当a<时，可解得恤<1+血 2 2 必备知识·基础落实 要点一 综上可知，当a>时，解集为空集： 一个2 [练习]BC解析A项，当a=0时，不等式ax2十x一1<0是一 当a<时，解集为{女和<r<1+和 2 元一次不等式，故错误：B项，不等式中含有x和y两个未知 数，所以不是一元二次不等式，故正确：C项，不等式一x一 [例题3假霸由ar+ha十c≥0的解集是{女-专<r<2: 2x十3>0符合一元二次不等式的概念，故正确：D项，不等 式x>0符合一元二次不等式的概念，故错误.故选BC项. 知a<0.又(-3)×2=台<0，则>0， 要点二 xr<或x>x}{zx≠- R 又-一弓2为方程ar+ba十(=0的两个根， {rx1<r<x}☑⑦ b=一 5 3 [思考]提示当a>0,且△<0时，因为二次函数的图象总在x 轴的上方，所以此时的解集为R:而当4<0，且△≤0时，因为 又￡=- 二次函数的图象开口向下，且与x轴相切于一点或无交点， 所以此时的解集为空集。 待解不等式支为(-号a)k+(-号aka<0, 关键能力·素养提升 p2x2+5a.x-3a>0. [例题1门解析(1)由x2-5.x>6,得x2-5.x一6>0. 又因为a<0,所以2x2+5.x-3<0. 因为x2一5x-6=0的两根是=一1和=6， 所以原不等式的解集为{x<一1或x>6} 所以所求不等式的解集为{：-3<<号} (2②)4r-4+1<0,即(2x-1D<0,则x=2 [变式3]解析(1)因为不等式a.x2+3.x-2>0的解集为{x1< x<b,所以方程ax+3.x一2=0的两个根分别为1和b,根 故r-4+1<0的解集为=} 据根与系款的关系，得1十6一豆，山=-名，所以。=-1， (3)由-2+7x>6,得x2-7.x+6<0, b=2.故选C项. 而2-7x十6=0的两个根是0=1和=6. 答案C 所以不等式x一7x十6<0的解集为{x1<x<6. (4)原不等式可化为x2-6.x十9<0，即(x-3)<0, (2)周为r+pr十g<0的解条为{-<r<},所以 所以原不等式的解集为⑦ [变式1]解析(1)原不等式可化为2x2-3.x一2>0， =一与=是方程十十g=0的两个实教根， 周为2-3一2=0的两根是而=一号和6=2。 1 3 所以原不等式的解集为{女<一或>2 由根与系数的关系可得 解得 (-)=,- ·293·