1.5 全称量词与存在量词-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语 1.5全称量词与存在量词 [学习目标]1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，强化数学抽象的核心素养，2.能正确使 用存在量词对全称量词命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养（易混点），3能正确使用全称量词对存在量词 命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养（易混点） 必备知识基础落实 答案见Pa即 要点一全称量词与全称量词命题 (2)符号表示：存在量词命题“存在M中的元 1.全称量词 素x,(x)成立”可用符号简记为 短语“ n ”在逻辑中通常 要点三 全称量词命题和存在量词命题的否定 叫做全称量词，并用符号“ ”表示.常见 的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。 表述 定 Vx∈p 2.全称量词命题 (1)定义：含有 的命题，叫做全称 量词命题. xEM.p(x) (2)符号表示：全称量词命题“对M中任意 个x,p(x)成立”可用符号简记为 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 要点二存在量词与存在量词命题 (1)一个全称量词命题只能有一个变量 1.存在量词 ()】 短语“ ”在逻辑中 (2)不含有全称量词的命题一定是存在量词 叫做存在量词，并用符号“ ”表示.常见 命题 () 的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有 (3)一个存在量词命题可以包含多个变量， 的”等 2.存在量词命题 (4)全称量词命题和存在量词命题的否定只需 (1)定义：含有 的命题，叫做存在量 否定结论即可. ) 词命题. 关键能力素养提升 答案见Pm 探究一 全称量词命题与存在量词命题的辨 (2)判断全称量词命题“Hx∈M,p(x)”是真 析及真假判断 命题，需要对集合M中每个元素x,证明 p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 规律总结 x,使p(x)不成立，那么这个全称量词命题就 (1)有些全称量词命题和存在量词命题没有 是假命题， (3)判断存在量词命题“3x∈M,p(x)”是真命 定义中的量词，需要自己“翻译”，发现其中的 题，只需在集合M中找到一个元素x,使p(x) 量词，才可以判断其是全称量词命题还是存 成立即可：如果在集合M中，使p(x)成立的元 在量词命题，进而再判断其真假 素不存在，那么这个存在量词命题是假命题 ·17 数学必修第一册课堂学案 【例题1】指出下列命题是全称量词命题还是存 探究二全称量词命题和存在量词命题的否定 在量词命题，并判断它们的真假。 (1)x∈N,2x+1是奇数： 规律总结 (2)存在一个x∈R.使马=0： (1)一般地，写出全称量词命题和存在量词命 (3)存在一组m,n的值，使m一n=1: 题的否定，首先要明确这个命题是全称量词 (4)至少有一个集合A,满足A{1,2,3}: 命题还是存在量词命题，并找到其量词的位 (5)对任意实数x,有3x+2>0. 置及相应结论，然后把命题中的全称量词改 成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否 定结论 (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐 含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据 规则来写出命题的否定， (3)全称（存在）量词命题和它的否定不能同 时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真 一假 【例题2】写出下列命题的否定，并判断其真假 (1)每一个素数都是奇数： (2)任意偶数的平方还是偶数： (3)有些实数的绝对值是正数： (4)某些平行四边形是菱形 【变式1】指出下列命题是全称量词命题还是存 在量词命题，并判断其真假， (1)Vx∈R,x2+2>0: (2)Hx∈N,x≥1： (3)x∈R,x<1. 18 第一章集合与常用逻辑用语 【变式2】写出下列命题的否定，并判断其真假. 【例题3】已知函数f(x)=x2-2x十5. (1)V:ER.-+>0 (1)是否存在实数m,使不等式m十f(.x)>0 对于任意x∈R恒成立，并说明理由： (2)所有的正方形都是矩形： (2)若至少存在一个实数x,使不等式m一 (3)3x∈R,x2+2x+8≤0： f(x)>0成立，求实数m的取值范围。 (4)至少有一个实数x,使x3+1=0. 44444444444444444444444444444444444444444444444444 探究三 全称量词命题和存在量词命题中的 【变式3】已知命题“对于任意x∈R,x+a.x十 参数问题 1≥0”是假命题，求实数a的取值范围. 4444 解题技巧 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“Hx∈M,a>y(或a< y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问 题，通常转化为求函数y的最大值（或最小 值)，即a>ym(或a<ymm). (2)对于存在量词命题“3x∈M,a>y(或a< y)”为真的问题，实质就是不等式能成主问 题，通常转化为求函数y的最小值（或最大 值)，即a>ymm（或a<ymx). (3)若全称量词命题为假命题，通常转化为其 否定形式一存在量词命题为真命题解决， 同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为 其否定形式—全称量词命题为真命题解决 ·19· 数学必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.将a+6十2ab=(a十b)”改写成全称量词命 3.命题“3x∈R,x3一x2十1≤0”的否定是() 题是 A.不存在x∈R,.x3-x2+1≤0 A.3a,bER,a2+62+2ab=(a+b)2 B.x∈R,x3-x2+1≤0 B.3a<0,b>0,a2+b+2ab=(a+b)9 C.3x∈R,x2-x2+1>0 C.Ha>0,b>0,a2+b+2ab=(a+b)2 D.Yx∈R,x3-x2+1>0 D.Ya,bER,a2+62+2ab=(a+b)? 4.(多选)以下四个命题既是存在量词命题又是 真命题的是 () 2.全称量词命题“所有被5整除的整数都是奇 A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 数”的否定是 B.至少有一个实数x,使x≤0 A.所有被5整除的整数都不是奇数 C.两个无理数的和必是无理数 B.所有奇数都不能被5整除 C.存在一个被5整除的整数不是奇数 D存在正数x,使→>2 D.存在一个奇数不能被5整除 提示完成P课时作业（六）和P培优训练（二） 章未复习方案 知识网络体系构建 集合与常用逻钢用语 [柴介 常州逆拼州动】 架合的板念 果合问的 集合的基 充分条件写 全栋量词与 基木关系 木运 必巫条件 在益问 集介元系 集的 的特性 表示 盐 必 充 全 伞称量问 分条件 条件 称星 在 命题和存 在品词命 件 词 词 的否定 性 性 知识整合 融会贯通 答案见P 探究一集合间的关系及运算 间关系或运算求参数时，要注意端点处的等号 (1)集合间运算的常用技巧：①借助数轴：②利 能否取到. 用Venn图.(2)集合间关系及运算中的注意事 【真题1】(1)(2022·全国乙)设全集U={1,2, 项：①当涉及集合间关系和运算的有关问题， 3,4,5},集合M满足CM={1,3},则( 如A二B,A∩B=O,AUB=B等时，都有可 A.2∈M B.3∈M 能涉及集合A或B为空集的情况：②由集合 C.4任M D.5任M ·20·因为ab≠0，所以a≠0且b≠0. 所以a2一ab十b方≠0， 1.5全称量词与存在量词 所以a十b一1=0，所以a十b=1」 必备知识·基础落实 综上可知，当alb≠0时，a十b=1是a2+2+ab-a2-=0 的充要条件. 要点一 [变式2]证朋必要性：a.r2+hx+c=0有一根是1，则x=1代 1.所有的任意一个 入方程得a十b十c=0. 2.(1)全称量词(2)Hx∈M,(x) 充分性：a十b十c=0,则a×1十b×1十c=0,所以ar+ 要点二 hx+c=0有一根是1. 1.存在一个至少有一个3 综上所述，a.+x十c=0有一根是1的充要条件是a十b十 2.(1)存在量词(2)3x∈M,p(x) c=0. 要点三 [例题3]解析由题得AC(A∩B)台A二B,B={x3≤x≤22. 3x∈M,p(.x)Hx∈M,p(x) 2a+1≥3， [辨析]提示(1)×(2)×(3)√(4)× 由题得A≠0，则A二B=3a-5≤22， 解得6≤a9. 关键能力·素养提升 3a-5≥2a+1. [例题1]解析(1)命题中含有“”，所以是全称量词命题.因为 综上可知，A二(A∩B)的充要条件为6≤a≤9；A二(A∩B) 对任意自然数x,2x十1都是奇数，所以该命题是真命题. 的一个充分不必要条件可以为6<a9. (2)命题中含有存在量词“存在一个”，所以是存在量词命 答案6≤a≤96<a≤9（答案不唯一） [变式3]解析方程x2十m.x十n=0有两个小于1的正根的充要 题，国为不存在x∈R,使占=0成立，所以该命题是假 (△=m一4n≥0， /m-4≥0， 命题 条件是0<1十=一m<2,→ -2<m<0,所以g→： (3)命题中含有存在量词“存在一组”，所以是存在量词命 0<=<1 (0<<1, 题.当m=4,n=3时，m一n=1成立，所以该命题是真命题. 但p今g知m=-1,n=名，此时力成主，但㎡-4n<0,所 (4)命题中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命 题.存在A={3},使A至{1,2,3)成立，所以该命题是真 以q不成立，因此p台.所以p是9的必要不充分条件. 命题 [例题4]解析因为p是q的充分不必要条件，所以p→q且 (⑤)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称量词命题.当 4p,即{x-2≤x≤10}是{.x|1一m≤x≤1十m,m>0}的 x=一1时，3x十2=一1<0，所以该命题是假命题. 真子集， 1-<-2,1-≤-2， [变式1门解析(1)命题中含有“V”,所以是全称量词命题.由于 所以1十m≥10，或1十m>10,解得m≥9或m>9. Vx∈R,都有x≥0，所以x+2≥2>0，即x+2>0.所以 n>0, “Vx∈R.x2十2>0”是真命题. 所以实教m的取值范国为{mm9}, (2)命题中含有“V”,所以是全称量词命题.由于0∈N,当 [变式服丽1著p是g的完条条件，则2十光方 x=0时，x=0>1不成立，所以“Vx∈N,x≥1”是假命题. (3)命题中含有“3”，所以是存在量命题.由于0∈R,当 程组无解，故不存在实数，使得p是q的充要条件 x=0时，x=0<1成立，所以“3x∈R,<1”是真命题. (2)设命题p对应的集合为A={2,一3}，命题9对应的集合 [例题2]解析(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一 为B={xaxr+1=0}. 个”，因此该命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真 因为p是q的必要不充分条件，所以B军A. 命题. ①当B=☑时，a=0: (2)由于全称量词“任意”的否定为“存在一个”，因此该命题 ②当B≠时，≠0，则B={一 },因为B=A,所以-1=2 的否定：存在一个偶数的平方不是偶数，是假命题. (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此该命题的否 或-1=一3，所以a= 定：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题. (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此该命题的 综上可知，a=0或a=-号或a=子 1 否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题 随堂检测·学以致用 [变式2]解析(1)是全称量词命题，该命题的否定：3x∈R, 1.A解析因为A二B=a=2或a=3,所以a=3→A二B,而 F-x叶<0，因为对于任意的d-x计}-(x一2）广≥ A二B护a=3,所以“a=3”是“A二B”的充分不必要条件.故 0,所以这是一个假命题。 选A项， 2.BD解析因为p,q都是r的充分条件，所以p→r,q→r:因 (2)是全称量词命题，该命题的否定：存在一个正方形，它不 为：是r的必要条件，所以→5：因为9是s的必要条件，所以 是矩形. →4，所以→r→→q,P→s→g,所以g白白s,所以p是s 因为正方形是特殊的矩形，所以这是一个假命题」 的充分条件，r和都是g的充要条件，p是（的充分条件，故 (3)是存在量词命题，该命题的否定：Hx∈R,十2x+ 选BD项 8>0. 3.解析方程③的解是x=1或x=一1或x=3,因此x2=1→ 因为对于任意的x,x2+2.x+8=(x十1)2+7≥7>0， ③，①=→x2=1,②→2=1，故(1)中填③，(2)中填①或②. 所以这是一个真命题. 答案(1)③(2)①或② (4)是存在量词命题，该命题的否定：Vx∈R,2+1≠0. 4.解析因为a:一2≤x≤5，B:m+1≤x≤2m一1(m22),若a是 因为x=一1时，x2十1=0，所以这是一个假命题. (m+1≥-2， 「m≥一3. [例题3]解析(1)不等式m十f(x)>0可化为m>一f(x),即 B的必要条件，则2m一1≤5，所以m≤3，所以2≤≤ m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(.x-1)2-4 1n≥2， m≥2， 对于任意x∈R恒成立，只需m>一4即可，故存在实数m 3.所以m的取值范围为{m2≤m≤3}. 使不等式m十f(x)>0对于任意x∈R恒成主，此时m的取 答率{m2≤m≤3} 值范国为{mm>一4. 289· (2)不等式m-f(x)>0,可化为m>f(x),若至少存在一个 并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”，所以“小迪是巴布亚企 实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>fx)m: 鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.故选B项 又f(x)=(x-1)2十4，所以f(x)m=4.所以m>4. 答索(1)B(2)B 所以所求实数m的取值范围为{mm>4. [真题4]ACD留析命题“Hx∈R,使得x2>3”中含有“H”, [变式3]解析易知全称量词命题“对于任意x∈R,x十ax+ 所以是全称量词命题，故A项正确，B项错误：方程2x 1>0”的否定形式为“存在x∈R,x2十a.x十1<0”. 5x一2的解是x=7或x=2,故C项正确：命题的否定既要 由“命题真，其否定假：命题假，其否定真”可知，这个否定形 式的命题是真命题. 改变量词“”和“3”，又要否定结论≥x,故D项正确.故 选ACD项. 由于函数f(x)=x2十ax十1的图象开口向上，借助二次函 数的图象（图略）易知，△=a一4>0，解得a<-2或a>2. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 所以实数a的取值范围是{aa<-2或a>2. 随堂检测·学以致用 2.1等式性质与不等式性质 1,D解析由于所给的等式对任意a,b∈R均成立，所以D项 必备知识·基础落实 正确.故选D项 要点一 2.C解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故C项正确， L.≠> <≥≤ 故选C项. 2.不等号 3.D解析A项中对量词处理不当，且没有否定结论：B项中没 3.a>b或a=ba<b或a=b 有否定结论：C项中对量词处理不当：D项正确.故选D项， 要点二 4.BD解折A项中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称 a>h a-<o a=h 量词命题：B项中，x=0时，x=0,所以B项既是存在量词命 要点三 题又是真命题：C项中，因为3+（一3）=0，所以C项是假 2.(1)b<a (2)a>c (3)a+o>b+c (4)ac>bc uc<bc 争题：D项中，当=号时，士-3>2，所以D项既是存在量 (5)a+c>b+d(6)ac>lbd(7)a">r>0(n∈N.n≥2) [辨析]提员(1)×(2)√(3)×(4)× 词命题又是真命题.故选BD项. 关键能力·素养提升 章末复习方案 [例题1B解析对于A项，某人月收入x不高于2000元可 表示为x≤2000，错误：对于B项，某变量y不超过a可表 [真题1门解析(1)由题意可得M=(2,4,5},对比选项知，A项 示为y≤，正确：对于C项，某变量x至少为a可表示为x 正确，B.C,D项错误.故选A项. a,错误：对于D项，小明的身高为xcm,小华的身高为ycm, (2)由题意可得MUN={xx<2,则C(MUN)={xx 小明比小华矮可表示为x<y,错误.故选B项 2},故A项正确：CM={xx≥1}，则NU(CM)={xx> [变式1门解析设需安排x艘轮船和y架飞机， -1,故B项错误：MnN={x-1<x1},则u(M∩N)= (300.x+150y≥2000， 6x+3y≥40， (x≤-1或x>1},故C项错误：CN={xx≤一1或x> 250.r+100y≥1500，即 5.x+2y>30. 则 2,则MU(CN)={x<或x≥2，故D项错误.故选A项. r>0,x∈N, x≥0，x∈EN, (3)因为整数集Z={xx=3k,k∈ZU{xx=3k+1,k∈ZU y0,y∈N, y≥0，yEN. {xx=3k+2,k∈Z,U=Z,所以C(MUN0={xx=3k,k∈ [例题2]解析x2+1-(-2.x°-2x)=x2+2x+2x+1 .故选A项. =(x2+x2)+(x2+2x+1)=(x+1)(x2+.x+1) (4)由A二B可得，若a一2=0，解得a=2,此时A=(0,一2}， B=(1,0,2},不符合题意；若2a-2=0,解得a=1,此时A= =+[(e+)+] {0,一1}，B={1,一1,0}，符合题意.故a=1.故选B项. 因为x<一1，所以x十1<0. 答(1)A(2)A(3)A(4)B 又因为(+2)广'+>0， [真题2]解析(1)由题设得A☒B={0.1,2},故1∈A☒B,且共 有3个元素，故子集有8个，故A,D项正确，C项错误：A☒ 所以+D[(+)广+]<0， A={-1,0,1},则(A⑧A)⑧B={-2,一1,0}，而A☒(A⑧☒ 所以x2+1<-2x2-2.x. B)={一2，一1,1,2,3}，显然(A☒A)B≠A☒(A☒B),B项 [变式2]解析因为x2+x十1一(-2m2+2m.x) 错误，故选AD项 =x2-(2m一1)x+2m2+1 (2)结合差集的定义，由集合A={4,5,6,7,9},B={3,5,6, 8,9},得B一A={3,8),故A项错误：集合A={rx<一1 -(x-2n号）广-2mr-1+2m+1 2 或x>3},B={x一2≤x<4},则AB={xx<一2或x 4},故B项正确：若ACB,则对于任意x∈A,都有x∈B,所 =(e-m+号)广++m+ 以{xx∈A且x任B}=⑦，即A一B=☑，故C项正确：由题 设中全集U、集合A,B的关系图可知，根据集合的新定义， =(-+)+(m+号)广+号>0… 集合A一B所表示的区域即为集合A∩(CB)表示的区城， 所以x2+x十1>-2m+2m.x. 即A一B=A∩(CB),故D项正确.故选BCD项， [例题3]解析(1)正确.因为ac2>bc2,所以2≠0且2>0，所 答察(1)AD(2)BCD 以a>b. [真题3]解折(1)由d=,得a=士b,当a=一b≠0时，a+= (2)错误.因为a<b<0.即-a>一b>0,所以- 2ab不成立，充分性不成立：由a2+=2ab,得(a一b)=0, -a>-b2>0, 即a=b.显然a=?成立，必要性成立，所以“a=?”是“a十 0.由 =2ab”的必要不充分条件.故选B项. >-1>0可得>名 b (2)会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“小 迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳” (3)错误.若a>>0,c<0,>0,显然有4<白 d ·290·