1.4 充分条件与必要条件-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语 随堂检测学以致用 答案见P L.设全集U={x∈N|x≥2，集合A={x∈N 3.(多选)设集合P={1,2,3},Q={x2≤x≤3}， x2=4},则CA ( 则下列结论中正确的是 () A. B.{x∈Nx>2)} A.PCQ B.P∩Q=P C.{x∈Nix<-2} D.{2,-2} 2.(2023·全国乙)设全集U={0,1,2,4,6,8},集 C.(PNQ)EP D.(CxQ)∩P≠Q 合M={0,4,6},N={0,1,6},则MU(CN)= 4.已知集合A={xlx>2},B={xx<2m},且 ( AC(CRB),则m满足的条件是 A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8 C.{1,2,4,6,8} D.U 提示完成P,课时作业（四）和Pw培优训练（一） 1.4充分条件与必要条件 [学习目标]1，通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，提升数学 抽象和逻辑推理的核心素养.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件 的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养，3，通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学 定义与充要条件的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一 充分条件与必要条件的关系 命题“若p,则g”中的条件p和结论q互换，就 1,充分条件与必要条件 得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为 (1)定义 原命题的逆命题)均是真命题，即既有p→q,又 有g→p,就记作 ,此时p既是q的充 命题 “若p,则g”是真命题 “若p,则g”是假命题 分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的 真假 充分必要条件，简称为 显然，如果p 推出 关系 是q的充要条件，那么q也是p的充要条件， 即如果 ,那么p与q互为充要条件 p是q的 条 p不是q的 条件 3.命题按条件和结论的充分性、必要性的分类 件，q是p的 件，g不是p的 关系 (1)充分必要条件（充要条件），即p→q且 条件 条件 q→p. (2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出 (2)充分不必要条件，即p→q且q中p. 了相应数学结论成立的一个充分条件：数学中 (3)必要不充分条件，即p女q且q→p, 的每一条性质定理都给出了相应数学结论成 (4)既不充分也不必要条件，即p刘且qP沙. 立的一个必要条件 >练习：(1)用符号“→”与“p”填空 2.充要条件 ①lx|>1 x>1: 如果“若p,则g”和它的逆命题“若q,则p”(将 ②a,b都是偶数 a十b是偶数. ·13· 数学必修第一册课堂学案 (2)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯 (2)若B二A,则p是q的必要条件：若B丢A, 一的吗？举例说明. 则p是q的必要不充分条件. (3)若A=B,则p,q互为充要条件 (4)若A不包含于B且B不包含于A,则p既 不是q的充分条件，也不是q的必要条件 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)若p是q的充要条件，则条件p和q是两 个相互等价的条件. () 要点二从集合的角度判断充分条件、必要条 (2)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条 件和充要条件 件”表述的是不同的逻辑关系。 () 设p对应的集合为A,9对应的集合为B (3)“若p,则q”与“p→g”是等价的. ( ) (1)若A二B,则p是q的充分条件：若AB, (4)若p是q的充要条件，q是s的充要条件， 则p是q的充分不必要条件， 则p是s的充要条件。 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 充分、必要、充要条件的判断 (3)a:A∩B=A,3:AUB=B: (4)a:x>y,:x2>y. 解题技巧 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件和结论，分清哪个是 条件，哪个是结论：②找推式，判断“p→q”及 “q→p”的真假：③根据推式及条件下结论. (2)集合法：写出集合A={x|p(x)》及B {xg(x)},利用集合间的包含关系进行判断. (3)传递法：若问题中出现若千个条件和结 论，应根据条件画出推式图，根据图中推式的 传递性进行判断. (4)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值 或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出 【变式1】设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且 结论（条件），但是这种方法不适用于证明题. b>2”的 () 【例题1】判断a是B的什么条件. A.充分不必要条件 (Da:1Bd>: B.必要不充分条件 C.充要条件 (2)a:x≤0,3：x<1； D.既不充分也不必要条件 ·14… 第一章集合与常用逻辑用语 探究二充要条件的证明 探究三充分、必要、充要条件的探究 解题技巧 解题技巧 (1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要 寻求充分、必要、充要条件的方法 从充分性和必要性两个方面分别证明 (1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条 ①充分性：把p当已知条件，结合命题前提条 件p 件，推出q (2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可 ②必要性：把g当已知条件，结合命题前提条 推出的结论p. 件，推出p. (3)寻求q的充要条件p有两种方法：一是从 解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论， 上述两方面入手，得到结论的一致性，即充要 然后确定推出方向，至于先证充分性还是先 条件；二是将原命题等价转化，获得充要 证必要性则无硬性要求。 条件。 (2)在充要条件的证明过程中，若能保证每 【例题3】设非空集合A={x|2a+1≤x≤3a 步的推理都具有等价性（白），也可以直接证 5},B={x3≤x≤22}，则A二(A∩B)的充要 明充要性。 条件为 :A二(A∩B)的一个充 【例题2】已知ab≠0，求证：a十b=1是a3+b+ 分不必要条件可以为 ab-a2一b2=0的充要条件. 【变式3】设p:一2<n<0,0<n<1,g:关于x的 方程x2十m.x十n=0有两个小于1的正根，试 分析p是g的什么条件。 【变式2】证明：ax2+bx+c=0有一根是1的充 要条件是a十b+c=0. 15 数学必修第一册课堂学案 探究四利用充分、必要条件求参数 【变式4】(1)若例题4中p,q不变，是否存在实 数m使p是q的充要条件？若存在，求出m 解题技巧 的值：若不存在，请说明理由， (2)若命题：x2十x一6=0是命题q:a.x+ 利用充分条件和必要条件求参数，主要是根 1=0的必要不充分条件，求实数a的值， 据集合间的包含关系与充分条件和必要条件 的对应关系，将问题转化为集合之间的关系， 建立关于参数的不等式或不等式组求解，同 时要注意参数范围临界值的取舍。 【例题4】已知p:一2≤x≤10，q:1一m≤x≤1十 m(m>0),且p是9的充分不必要条件，求实 数m的取值范围. 随堂检测学以致用 答案见P 1.已知集合A=(1,a},B={1,2,3},则“a=3”是 C.r是g的必要不充分条件 “A二B”的 D.s是g的充要条件 A.充分不必要条件 3.试从①.x=1:②.x=-1:③(x-1)(x+1)(x B.必要不充分条件 3)=0中选择合适的填空 C.充要条件 (1)x2=1是 的充分条件： D.既不充分也不必要条件 (2)x2=1是 的必要条件 2.(多选)已知p,g都是r的充分条件，x是r的 4.已知a:-2≤x≤5，A:m+1≤x≤2m-1(m≥ 必要条件，9是s的必要条件，则 ( 2),若α是？的必要条件，则m的取值范围为 A.p是q的既不充分也不必要条件 B.p是s的充分条件 提示完成P课时作业（五） ·16[变式3]解析由A二(A∩B),得A二B. C(A∩B)=(xx≤-2或2≤x≤5 ①若A=⑦，则2a十1>3a-5,解得a<6: (CA)∩B={x-3<x≤-2或2≤x≤3. 2a+1≤3a-5, [变式2]解析A∩B={4),AUB=3,4,5,7,8}. ②若A≠0，则2a十13， 解得6≤a9 因为CuA={1,2,6,7,8},CuB={1,2,3,5,6} 3a-522. 所以(CA)∩(CB)={1,2.6},A∩(CuB)={3,5 综合①②可知，使A二(A∩B)成立的a的取值集合为 (CA)UB=(1,2,4,6,7,8. {aa9}. [例题3]解析由题意可得CRB={xx≤1或x≥2)，又AU [例题4门B解析由题意知，当x=1时，y=0,1,2,3,所以2= (CRB)=R,用数轴表示如图所示 0,2,6,12:当x=2时，y=0,1,2,3,所以x=0,6,16,30.故 A⊙B={0,2.6.12,16,30},所以所有元素之和为66.故选 24 B项. 所以a的取值范围为{aa≥2. [变式服易知A={女>-是}B=xx<21,故A [变式3]解析(1)因为U=R,A={x1<8,B={x2<9), 所以AUB={x1<x<9},CA={xx≤1或>8}， B={xx≥2. 所以(CA)∩B={xx≤1或x>8}∩{x2<x<9)={x 答率{xx≥2 8<x9} 随堂检测·学以致用 (2)因为A∩C≠⑦，所以a≤8，所以a的取值范国为 1.C解析由题意知A={x1≤r≤3}，B={x2<x<4},由并 {aa8} 集的定义知AUB=(x1≤x<4}.故选C项. 随堂检测·学以致用 2.A解析由交集的定义结合题意可得M∩N={2.4}.故选 1.B解析由题意知A={2},所以CA=(x∈N|x>2?.故选 A项， B项. 3.C解析由题意知，AUB={xx≥0)，A∩B={x1≤r≤3}， 2.A解析由题意可得CN={2,4,8},故MU(CN)={0,2, 所以AB={x01或x>3}.故选C项 4,6,8}.故选A项 4,解析由题意可得A=0,一4， 3.CD解析因为1∈P,1任Q,所以P不是Q的子集，所以A (1)因为A∩B=B,所以B二A. 项错误：因为P∩Q={2,3}三P,所以B项错误，C项正确：因 ①若0∈B,则a2一1=0，解得a=土1. 为CRQ={xx2或x>3},所以(CQ)∩P={1}≠Q,所以 当a=1时，B={xx2十4x=0=A: D项正确.故选CD项 当a=一1时，B={0}=A. 4.解析易知CRB={xr≥2n,要使A二(CgB),则2m≤2，所 ②若-4∈B,则a-8a+7=0,解得a=7或a=1. 以m≤1. 当a=7时.B={xx2十16x十48=0}={一12，-4}，不是A 答案m≤1 的子集： 1.4充分条件与必要条件 当a=1时，B=A. ③若B=⑦，则△=4(a+1)-4(a2-1)<0,解得a<-1. 必备知识·基础落实 综上所述，a的取值范围是{aa≤一1或a=1. 要点一 (2)因为AUB=B,所以ACB. 1.(1)→÷充分必要充分必要 因为A={0,一4}，而B中最多有两个元素，所以A=B, 2.p=g充要条件p台g 即a=1. [练习]提示(1)①护②→ 1.3.2补集 (2)不唯一，例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是 “x>2"“x>3"或“2<x<3”等. 必备知识·基础落实 [辨析]提示(1)√(2)×(3)×(4)/ 要点一 关键能力·素养提升 所研究问题中涉及的所有元素U [例题1门解析1)取a=一1满足】<1，但得不到a>1,所以 要点二 a中3：利用不等式的性质，对a>1两边同除以4，不等号方 不属于ACA{xx∈U,且x廷A 向不改变，所以→a.所以a是B的必要不充分条件 [辨析]提灵(1)×(2)×(3)√(4)√/(5)√(6)X 关键能力·素养提升 (2)周为<1，可取=是，而2>0，不满足号<0，所以 [例题1门解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图 a一B,3Pa.所以a是B的充分不必要条件. 所示，由补集的定义可得CA={z一3<x≤一2或1<r< (3)图为A∩B=A→ACB→AUB=B,所以a→：而AU 3.故选D项 B=B→A二B→A∩B=A,所以B=a.所以a是B的充 要条件 -3-2-101231 (4)若a为2>-3，却没有4>9，所以aP若B为(-3)> (2)A=(1,3,5.71,CA=2,4,6},所以U={1,2,3,4,5, 2,却没有一3>2，所以B”a.所以a是B的既不充分也不 6,71.又CB={1,4,6},所以B={2,3,5,7. 必要条件 室(1)D(2){2,3,5,7) [变式1门B解析若a>2且>2，则a十b>4,但当a=4,b=1 [变式1门解扬(1)由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7.得 时也有a十b>4,故"a十b>4”是“a>2且b>2”的必要不充 分条件.故选B项 CA={2,4,7}.故选C项. (2)因为A=Cu(CA)=(0,3},所以3十m·3=0,解得 [例题2]证明①充分性：因为a十b=1,所以b=1一a, 所以a3++ab-a-=a3+(1-a)+a(1-a)-a2 m=一3. (1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a 答率(1)C(2)-3 a°=0， [例题2]解析如图，把全集U和集合 即a3+2+ab-a2一=0. A,B表示在数轴上，由图可知， ②必要性：因为a+日+ab-a2-=0, 0A={xlx≤-2或2≤≤5， 所以(a+b)(a2-ab+B)-(a2-ab+)=0, A∩B={x|-2<x<2, 所以(a-ab+i)(a十b-1)=0. 288· 因为ab≠0，所以a≠0且b≠0. 所以a2一ab十b方≠0， 1.5全称量词与存在量词 所以a十b一1=0，所以a十b=1」 必备知识·基础落实 综上可知，当alb≠0时，a十b=1是a2+2+ab-a2-=0 的充要条件. 要点一 [变式2]证朋必要性：a.r2+hx+c=0有一根是1，则x=1代 1.所有的任意一个 入方程得a十b十c=0. 2.(1)全称量词(2)Hx∈M,(x) 充分性：a十b十c=0,则a×1十b×1十c=0,所以ar+ 要点二 hx+c=0有一根是1. 1.存在一个至少有一个3 综上所述，a.+x十c=0有一根是1的充要条件是a十b十 2.(1)存在量词(2)3x∈M,p(x) c=0. 要点三 [例题3]解析由题得AC(A∩B)台A二B,B={x3≤x≤22. 3x∈M,p(.x)Hx∈M,p(x) 2a+1≥3， [辨析]提示(1)×(2)×(3)√(4)× 由题得A≠0，则A二B=3a-5≤22， 解得6≤a9. 关键能力·素养提升 3a-5≥2a+1. [例题1]解析(1)命题中含有“”，所以是全称量词命题.因为 综上可知，A二(A∩B)的充要条件为6≤a≤9；A二(A∩B) 对任意自然数x,2x十1都是奇数，所以该命题是真命题. 的一个充分不必要条件可以为6<a9. (2)命题中含有存在量词“存在一个”，所以是存在量词命 答案6≤a≤96<a≤9（答案不唯一） [变式3]解析方程x2十m.x十n=0有两个小于1的正根的充要 题，国为不存在x∈R,使占=0成立，所以该命题是假 (△=m一4n≥0， /m-4≥0， 命题 条件是0<1十=一m<2,→ -2<m<0,所以g→： (3)命题中含有存在量词“存在一组”，所以是存在量词命 0<=<1 (0<<1, 题.当m=4,n=3时，m一n=1成立，所以该命题是真命题. 但p今g知m=-1,n=名，此时力成主，但㎡-4n<0,所 (4)命题中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命 题.存在A={3},使A至{1,2,3)成立，所以该命题是真 以q不成立，因此p台.所以p是9的必要不充分条件. 命题 [例题4]解析因为p是q的充分不必要条件，所以p→q且 (⑤)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称量词命题.当 4p,即{x-2≤x≤10}是{.x|1一m≤x≤1十m,m>0}的 x=一1时，3x十2=一1<0，所以该命题是假命题. 真子集， 1-<-2,1-≤-2， [变式1门解析(1)命题中含有“V”,所以是全称量词命题.由于 所以1十m≥10，或1十m>10,解得m≥9或m>9. Vx∈R,都有x≥0，所以x+2≥2>0，即x+2>0.所以 n>0, “Vx∈R.x2十2>0”是真命题. 所以实教m的取值范国为{mm9}, (2)命题中含有“V”,所以是全称量词命题.由于0∈N,当 [变式服丽1著p是g的完条条件，则2十光方 x=0时，x=0>1不成立，所以“Vx∈N,x≥1”是假命题. (3)命题中含有“3”，所以是存在量命题.由于0∈R,当 程组无解，故不存在实数，使得p是q的充要条件 x=0时，x=0<1成立，所以“3x∈R,<1”是真命题. (2)设命题p对应的集合为A={2,一3}，命题9对应的集合 [例题2]解析(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一 为B={xaxr+1=0}. 个”，因此该命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真 因为p是q的必要不充分条件，所以B军A. 命题. ①当B=☑时，a=0: (2)由于全称量词“任意”的否定为“存在一个”，因此该命题 ②当B≠时，≠0，则B={一 },因为B=A,所以-1=2 的否定：存在一个偶数的平方不是偶数，是假命题. (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此该命题的否 或-1=一3，所以a= 定：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题. (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此该命题的 综上可知，a=0或a=-号或a=子 1 否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题 随堂检测·学以致用 [变式2]解析(1)是全称量词命题，该命题的否定：3x∈R, 1.A解析因为A二B=a=2或a=3,所以a=3→A二B,而 F-x叶<0，因为对于任意的d-x计}-(x一2）广≥ A二B护a=3,所以“a=3”是“A二B”的充分不必要条件.故 0,所以这是一个假命题。 选A项， 2.BD解析因为p,q都是r的充分条件，所以p→r,q→r:因 (2)是全称量词命题，该命题的否定：存在一个正方形，它不 为：是r的必要条件，所以→5：因为9是s的必要条件，所以 是矩形. →4，所以→r→→q,P→s→g,所以g白白s,所以p是s 因为正方形是特殊的矩形，所以这是一个假命题」 的充分条件，r和都是g的充要条件，p是（的充分条件，故 (3)是存在量词命题，该命题的否定：Hx∈R,十2x+ 选BD项 8>0. 3.解析方程③的解是x=1或x=一1或x=3,因此x2=1→ 因为对于任意的x,x2+2.x+8=(x十1)2+7≥7>0， ③，①=→x2=1,②→2=1，故(1)中填③，(2)中填①或②. 所以这是一个真命题. 答案(1)③(2)①或② (4)是存在量词命题，该命题的否定：Vx∈R,2+1≠0. 4.解析因为a:一2≤x≤5，B:m+1≤x≤2m一1(m22),若a是 因为x=一1时，x2十1=0，所以这是一个假命题. (m+1≥-2， 「m≥一3. [例题3]解析(1)不等式m十f(x)>0可化为m>一f(x),即 B的必要条件，则2m一1≤5，所以m≤3，所以2≤≤ m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(.x-1)2-4 1n≥2， m≥2， 对于任意x∈R恒成立，只需m>一4即可，故存在实数m 3.所以m的取值范围为{m2≤m≤3}. 使不等式m十f(x)>0对于任意x∈R恒成主，此时m的取 答率{m2≤m≤3} 值范国为{mm>一4. 289·