1.3.1 并集与交集-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语 【例题3】(1)已知M={a-3,2a-1,a2+1},N {-2,4a-3,3a-1},若M=N,求实数a 【变式3a已知A=女k-一2<2，B=x 的值。 1≤3}，A=B,求实数k的值 (2)已知集合A={x|-3<x<4},B={x (2)若集合A=《xx2+x一6=0}，B={x 2n一1≤x≤m十1}，且B二A,求实数m满足 x2十x+a=0},且B二A,求实数a满足的 的条件. 条件 444444444444 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.已知集合A={一1,0,1}，则下列关系中正确 4.若集合A=(1,4,x,B=(1,x2},且B二A,求 的是 x的取值集合 A.A∈A B.0年A C.{0}∈A D.9A 2.已知集合A={1},B=1,2,3},则满足条件 A二C二B的集合C的个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 3.设a,b∈R,集合{1，a+b}={0,b},则b a= 提示完成Ps课时作业（二） 1.3集合的基本运算 1.3.1并集与交集 [学习目标]理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，提升数学抽象和直观想象的核 心素养（重难点） 7 数学必修第一册课堂学案 必备知识基础落实 答案见P 要点一 并集、交集的概念及表示法 并集的运算性质 交集的运算性质 符号语言 AUO= A∩0= 名称 文字语言描述 Venn图表示 表示 ACBAUB- ACB=A∩B= 对于两个给定的集 (0B A(B)三(AUB) (A∩B)CA(B) 并 合A,B,由 AUB= ② 集 的元 辨析 素组成的集合 (B 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 对于两个给定的集 ④B 交 合A,B,由 A∩B= (1)并集中的“或”与生活用语中的“或”是同样 的元 的含义 () 素组成的集合 (2)交集概念中的“且”即是“同时”的意思 要点二 并集与交集的运算性质 () (3)若两个集合A与B没有公共元素，则A,B 并集的运算性质 交集的运算性质 没有交集。 () AUB BUA A∩BBnA (4)两个集合A与B没有公共元素时，不能说 AUA- A∩A= 两个集合没有交集，而是A∩B=⑦.() 关键能力素养提升 答秦见P 探究一集合的并集运算 (2)(2021·北京)已知集合A={x|一1< x<1},B={x0≤x≤2}，则AUB=() 规律总结 A.{x-1<x2 B.{x|-1<x≤2 求集合并集的两种方法 C.{x0≤x<1 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以 D.{x0x≤2 直接利用并集的定义求解。 (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由 实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求 解，此时要注意集合的端点能否取到， 【例题1】(1)(2022·浙江)设集合A={1,2}, B={2,4,6},则AUB= A.{2 【变式1】已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a, B.{1,2 a∈M,则MUN= () C.{2,4,6 A{0) B.{0,3} D.{1,2,4,6》 C.{1,3,9} D.{0,1,3,9 8 第一章集合与常用逻辑用语 探究二集合的交集运算 探究三并集和交集性质的应用 规律总结 解题技巧 求交集的常见类型 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)若集合A,B的元素是方程的根，则应先 (1)在利用集合交集、并集的性质解题时，常 解方程求出方程的根后，再求两集合的交集 常会遇到A∩B=A,AUB=B等这类问题， (2)若集合A,B的元素是有序数对，则A∩B 解答时常借助于交、并集的定义及集合间的 是指两个方程组成的方程组的解集，交集是 关系去分析，如A∩B=A台A二B,AUB 点集 B曰A二B等，解答时应灵活处理， (3)若集合A,B是无限数集，可以利用数轴 (2)当集合B二A时，如果集合A是一个确定 来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含 的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B 有端点的值用实心点表示，不含有端点的值 ⑦的情况，切不可遗漏 用空心图表示 【例题3】已知集合A={xx<一1或x>4},B 【例题2】(1)(2023·新高考I改编)已知集合M= {x2a≤x≤a十3)，若AUB=A,求实数a的 {-2,-1,0,1,2},N={xx≤-2或x≥3}， 取值集合C 则MnN ( A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2 C.{-2 D.{2 (2)(2023·北京)已知集合M={x|x十2≥ 0),N={xx-1<0,则MnN= A.{x|-2≤x<1 B.{x|-2<x≤1 C.{xx≥-2 D.{xx<1} 【变式3】设集合A={x2a十1≤x≤3a-5},B= {x3≤x≤22}，求使A二(A∩B)成立的a的 取值集合 【变式2】(1)已知集合P={0,1,2),Q={1,2, 3},则P∩Q ( A.{0 B.{0,3} C.1,2 D.{0,1,2,3 (2)已知集合A=1,2,3,5,7,11,B={x3 x<15},则A∩B中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 9 数学必修第一册课堂学案 探究四集合中的新定义问题 合A⊙B的所有元素之和为 A.0 B.66 解题技巧 C.70 D.72 集合新定义问题的求解技巧 准确理解題意对解决新定义问题是至关重要 的，解决此类问题可按以下步骤进行：利用信 息·理解定义→转化为已掌握的知识 【变式4】定义集合A一B={xx∈A且x任B,若集 【例题4】定义集合运算：A⊙B={=xy(x十y), 合A=2+I0,集合B=女写20，则 x∈A,y∈B.设A={1,2},B={0,1,2,3},则集 集合A一B= 随堂检测学以致用 答案见P 1.设集合A={x1≤x≤3}，B=(x2<x<4}, (1)若A∩B=B,求实数a的取值范围： 则AUB= (2)若AUB=B,求实数a的值. A.{x|2<x≤3 B.{x2≤x3 C.{x1≤x<4} D.{x1<x<4) 2.(2022·全国乙)集合M={2,4,6,8,10},N= {x-1<x<6},则M∩N= A.{2,4} B.{2,4,6 C.{2,4,6,8 D.{2,4,6,8,10} 3.设A,B是非空集合，定义AB={xx∈(AU B)且x(A∩B)},已知A={x0≤x≤3}，B= {yy≥1}，则A米B= A.{x|1≤x<3 B.{x1≤x3} C.{x0≤x<1或x>3 D.{x0≤x≤1或x≥3 4.设A={xx2+4x=0},B={x.x2十2(a十1)x十 a2-1=0}. 提示完成Pm课时作业（三） 1.3.2 补集 [学习目标]1，在具体情境中，了解企集的含义，强化数学抽象的核心素养.2.理解在给定集合中一个子集的补 集的含义，能求给定子集的补集，培养数学运算的核心素养（重点）.3.能使用Vnn图表达集合的基本关系与 基本运算，体会图形对理解拍象概念的作用，强化直观想象的核心素养。 ·10·3.C解析A,B,D项表示的集合都是{1}，而C项表示含有一 个方程的集合，故远C项. ③当4=1-u>0,即a<时，若BCA,则B=(-3,21, 4,ABD解析原方程组的解为x=1,y=2,其解集中只含有一 所以a=一3×2=一6. 个元素，可表示为A,B,D项，C项不符合.故选ABD项 综上，实数口满足的条件为a>或a=-6, 1.2集合间的基本关系 随堂检测·学以致用 必备知识·基础落实 1.D解析“∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A,C项错 要点一 误；“”用来表示集合与集合之间的关系，故B项错误：而☑ 任意一个二三x∈B,且x在A至星 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故D项正确 故选D项 ACB.且BSA 2.D解扬因为集合A=1,B=(1,2,3},所以当满足条件 要点二 A二C二B时，集合C中一定含有元素1，所以集合C可以为 1.不含任何元素0 {1,(1,2},1,3},{1,2,3},故集合C有4个.故选D项. 2.子集真子集 3.解析由{1，a十b}={0,b1知a十h=0,且b=1.所以a=一1， [思考]提示(1)符号“二”表示集合与集合之间的包舍关系，而 b=1,所以b-a=2. 符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系。 答累2 (2){0}是含有一个元素0的集合，⑦是不含任何元素的集 4.解析因为B二A,所以x=4或x2=x,解得x=士2或x=1 合，因此⑦二{0)，而{}是含有一个元素☑的集合. 或x=0.经检验，当江=1时.不满足元素的互异性，故x的取 要点三 值有一2,0,2.所以x的取值集合为{一2,0,2. 1.子集ACA 2.ACC 1.3集合的基本运算 [辨析]提家(1)×(2)×(3)×(4)/ 关键能力·索养提升 1.3.1并集与交集 [例题1门解析(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实 必备知识·基础落实 数对，故A与B之间无包含关系， 要点一 (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相 所有属于集合A或属于集合B{xx∈A,或x∈B) 等的三角形，故A手B 所有属于集合A且属于集合B{xlx∈A,且x∈B (3)集合B={x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由 要点二 图可知AB. AAA②BA [辨析]提示(1)×(2)√(3)×(4)/ 21012348 关键能力·素养提升 (4)由列举法知M={1,3,5,7,…,V=(3,5,7,9,…, 例题1门解析(1)AUB={1,2)U{2,4,6}={1,2,4,6.故选 D项. 故NM. (2)在敦轴上表示出集合A,B,如图所示. [变式1门AC解粉集合M,P表示被3徐余1的整数集，集合 S表示被6除余1的整数集，且6是3的倍数，所以A项和 C项正确.故选AC项. 由图可知AUB={x一1<x2).故选B项. [例题2]解析由题设可知，一方而A是集合{a,b,c,d}的子集， 答案(1)D(2)B 另一方面A又真包含集合{a,b,故集合A中一定含有两个 [变式1]D解析因为M={0,1,3},V={xx=3a,a∈M),所 元素a,b,且含有c,d两个元素中的一个或两个.故满足条 以V={0,3,9},所以MUV={0,1,3}U{0,3,9}={0.1,3, 件的集合有{a,b,c,{a,b,d}.{a,b,c,d}. 9}.故选D项. [变式2]C解析固为集合N中有3个元素，所以真子集的个 [例题2]解析(1)由题意可得M∩N=(一2}.故选C项. 数为2一1=7.故逸C项. (2)集合M={xx+2≥0)={xx≥-2}，集合N={xx [例题3]解析(1)因为M=N,则(a一3)+(2a-1)+(a+1)= 1<0}={xx<1},在数轴上表示出集合M,N,如图所示. -2+(4a-3)+(3a-1).即2-4a+3=0,解得a=1或 a=3. 当a=1时，M={-2,1,2},N={-2,1,2),满足M=N: 由图可知M∩N={x|-2≤x<1}.故选A项. 当a=3时，M=(0,5,10),V={-2,9,8},不满足M=N. 答室(1)C(2)A 故实数a的值为1. [变式2]解析(1)由题意可得P∩Q={1,2.故选C项. (2)由题意知B二A. (2)由题意得A∩B=(5,7,11},所以A∩B中元素的个数为 ①当B=0时，m+1<2n-1,解得m>2: 3.故选B项. (-3<2n-1, 答案(1)C(2)B ②当B≠0时，有{m+1<4, 解得-1<m≤2. [例题3]解析因为AUB=A,所以B二A. m+1≥2m-1, 当B=☑时，只常2a>a+3,即a>3: 综上可知，m满足的条件是m>一1. 当B≠☑时，根据题意作出如图所示的数轴。 2k=3, B☐A [变式3]解析(1)因为A=B,所以 2+3-1 (2)A=(-3,2).对于x2十x十4=0， AB口 ①当A=1-4u<0,即a>}时，B=0,BCA成立： 42n+3 ②当△=1-4a=0,即a=}时，B={-号}，BcA不 由周可释{侣十822x太.20解释a<-4或2< a3. 成立： 综上，实数a的取值集合C为{aa<一4或a>2. ·287· [变式3]解析由A二(A∩B),得A二B. C(A∩B)=(xx≤-2或2≤x≤5 ①若A=⑦，则2a十1>3a-5,解得a<6: (CA)∩B={x-3<x≤-2或2≤x≤3. 2a+1≤3a-5, [变式2]解析A∩B={4),AUB=3,4,5,7,8}. ②若A≠0，则2a十13， 解得6≤a9 因为CuA={1,2,6,7,8},CuB={1,2,3,5,6} 3a-522. 所以(CA)∩(CB)={1,2.6},A∩(CuB)={3,5 综合①②可知，使A二(A∩B)成立的a的取值集合为 (CA)UB=(1,2,4,6,7,8. {aa9}. [例题3]解析由题意可得CRB={xx≤1或x≥2)，又AU [例题4门B解析由题意知，当x=1时，y=0,1,2,3,所以2= (CRB)=R,用数轴表示如图所示 0,2,6,12:当x=2时，y=0,1,2,3,所以x=0,6,16,30.故 A⊙B={0,2.6.12,16,30},所以所有元素之和为66.故选 24 B项. 所以a的取值范围为{aa≥2. [变式服易知A={女>-是}B=xx<21,故A [变式3]解析(1)因为U=R,A={x1<8,B={x2<9), 所以AUB={x1<x<9},CA={xx≤1或>8}， B={xx≥2. 所以(CA)∩B={xx≤1或x>8}∩{x2<x<9)={x 答率{xx≥2 8<x9} 随堂检测·学以致用 (2)因为A∩C≠⑦，所以a≤8，所以a的取值范国为 1.C解析由题意知A={x1≤r≤3}，B={x2<x<4},由并 {aa8} 集的定义知AUB=(x1≤x<4}.故选C项. 随堂检测·学以致用 2.A解析由交集的定义结合题意可得M∩N={2.4}.故选 1.B解析由题意知A={2},所以CA=(x∈N|x>2?.故选 A项， B项. 3.C解析由题意知，AUB={xx≥0)，A∩B={x1≤r≤3}， 2.A解析由题意可得CN={2,4,8},故MU(CN)={0,2, 所以AB={x01或x>3}.故选C项 4,6,8}.故选A项 4,解析由题意可得A=0,一4， 3.CD解析因为1∈P,1任Q,所以P不是Q的子集，所以A (1)因为A∩B=B,所以B二A. 项错误：因为P∩Q={2,3}三P,所以B项错误，C项正确：因 ①若0∈B,则a2一1=0，解得a=土1. 为CRQ={xx2或x>3},所以(CQ)∩P={1}≠Q,所以 当a=1时，B={xx2十4x=0=A: D项正确.故选CD项 当a=一1时，B={0}=A. 4.解析易知CRB={xr≥2n,要使A二(CgB),则2m≤2，所 ②若-4∈B,则a-8a+7=0,解得a=7或a=1. 以m≤1. 当a=7时.B={xx2十16x十48=0}={一12，-4}，不是A 答案m≤1 的子集： 1.4充分条件与必要条件 当a=1时，B=A. ③若B=⑦，则△=4(a+1)-4(a2-1)<0,解得a<-1. 必备知识·基础落实 综上所述，a的取值范围是{aa≤一1或a=1. 要点一 (2)因为AUB=B,所以ACB. 1.(1)→÷充分必要充分必要 因为A={0,一4}，而B中最多有两个元素，所以A=B, 2.p=g充要条件p台g 即a=1. [练习]提示(1)①护②→ 1.3.2补集 (2)不唯一，例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是 “x>2"“x>3"或“2<x<3”等. 必备知识·基础落实 [辨析]提示(1)√(2)×(3)×(4)/ 要点一 关键能力·素养提升 所研究问题中涉及的所有元素U [例题1门解析1)取a=一1满足】<1，但得不到a>1,所以 要点二 a中3：利用不等式的性质，对a>1两边同除以4，不等号方 不属于ACA{xx∈U,且x廷A 向不改变，所以→a.所以a是B的必要不充分条件 [辨析]提灵(1)×(2)×(3)√(4)√/(5)√(6)X 关键能力·素养提升 (2)周为<1，可取=是，而2>0，不满足号<0，所以 [例题1门解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图 a一B,3Pa.所以a是B的充分不必要条件. 所示，由补集的定义可得CA={z一3<x≤一2或1<r< (3)图为A∩B=A→ACB→AUB=B,所以a→：而AU 3.故选D项 B=B→A二B→A∩B=A,所以B=a.所以a是B的充 要条件 -3-2-101231 (4)若a为2>-3，却没有4>9，所以aP若B为(-3)> (2)A=(1,3,5.71,CA=2,4,6},所以U={1,2,3,4,5, 2,却没有一3>2，所以B”a.所以a是B的既不充分也不 6,71.又CB={1,4,6},所以B={2,3,5,7. 必要条件 室(1)D(2){2,3,5,7) [变式1门B解析若a>2且>2，则a十b>4,但当a=4,b=1 [变式1门解扬(1)由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7.得 时也有a十b>4,故"a十b>4”是“a>2且b>2”的必要不充 分条件.故选B项 CA={2,4,7}.故选C项. (2)因为A=Cu(CA)=(0,3},所以3十m·3=0,解得 [例题2]证明①充分性：因为a十b=1,所以b=1一a, 所以a3++ab-a-=a3+(1-a)+a(1-a)-a2 m=一3. (1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a 答率(1)C(2)-3 a°=0， [例题2]解析如图，把全集U和集合 即a3+2+ab-a2一=0. A,B表示在数轴上，由图可知， ②必要性：因为a+日+ab-a2-=0, 0A={xlx≤-2或2≤≤5， 所以(a+b)(a2-ab+B)-(a2-ab+)=0, A∩B={x|-2<x<2, 所以(a-ab+i)(a十b-1)=0. 288·