1.1 集合的概念-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 [学习目标]L.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，培养数学抽象的核心素养（重点）， 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用将号语言刻画集合，培养数学运算的核心素养， 必备知识基础落实 答案见P 要点一 元素与集合的概念 要点三 常用的数集及其记法 L.元素：一般地，把 统称为元素，通 概念 名称 记法 常用 表示 非负整数集 2.集合：一般地，把 叫做集合（简 组成的集合 (或自然数集) 称为 ),通常用 表示 正整数集 或 组成的集合 3.集合中元素的特性 整数集 组成的集合 4.集合相等：只要构成两个集合的元素 就称这两个集合是相等的， 有理数集 组成的集合 >思考：(1)你能举例说出：初中阶段，我们在代 数方面学习过的集合吗？ 实数集 组成的集合 (2)构成集合的元素有什么要求？ >思考：(1)如何准确理解符号“∈”和“任”？ (2)非负整数集与正整数集有何区别？ 要点二 元素与集合的关系 要点四集合的表示方法 知识点 关系 概念 记法 读法 1.自然语言法：用文字叙述的形式表示集合的方法. 如果 2.列举法：把集合的所有元素 a属于 元素 属于 就说a属于集 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方 集合A 与集 合A 法，表示形式为A={a,a2a3,…,an}. 3.描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合 合的 如果 关系 a不属于 A中所有具有 P(x)的元素x所 不属于 就说a不属于果 集合A 组成的集合表示为{x∈AP(x)},这种表示集 合A 合的方法称为描述法：有时也用冒号或分号代 数学必修第一册课堂学案 替竖线，写成{x∈A:P(x)}或{x∈A:P(x)}. (3)集合相等与集合的形式无关. () 辨析 (4)符号“∈”和“日”只用来表示元素和集合之 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 间的关系 () (1)组成集合的元素一定是实数. (5)0∈N. () (2)一个集合中可以找到两个相同的元素. (6)大于1的整数所构成的集合可以用列举法 ( 表示，属于有限集。 () 关键能力素养提升 答案见P 探究一 集合的判定 探究二 元素与集合的关系 解题技巧 误区防错 (1)判断一组对象能否构成集合的依据是元 (1)判断元素和集合关系的两种方法 素的确定性.如果判断的对象是确定的，就能 ①直接法：首先明确集合是由那些元素构成 构成集合，否则不能构成集合。 的，然后判断该元素在已知集合中是否出现 (2)解答此类问题的切入，点是集合元素的特 ②推理法：首先明确已知集合的元素具有什 性，即确定性、互异性和无序性， 么特征，然后判断该元素是否满足集合中元 素所具有的特征 【例题1】下列所给的对象能构成集合的是 (2)判断集合中元素的个数时，要注意相同的 ①高一数学必修第一册课本上的所有难题； 对象归入同一集合时只能算作一个 ②比较接近1的全体正数： 【例题2】用符号“∈”或“任”填空 ③某校高一年级16岁以下的学生： ④平面直角坐标系内到原点的距离等于1 (1)2 {xx<1Π}，3{x∈Z-5≤ 的点： x≤2}： ⑤参加跳绳比赛的年轻选手： (2)4 {xx=m2+1,n∈Z},5{x ⑥a,b,a,c x=n2+1,n∈Z}: (3)(-1,1) {yly=x2},(-1,1) {(x,y)|y=x2}: (4)人2 Q,0 N. 【变式1】（多选）下列所给的对象，能构成一个集 合的是 ( A.某校高一年级成绩优秀的学生 【变式2】用符号“∈”或“任"填空. B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 (1)3 {xlx<√10}，-1 {x∈N C.不小于3的自然数 一2≤≤2}： D.2024年某校春季运动会跳远项目前三名 (2)10 {k|k=m2+n2,m,n∈N},10 的获得者 {kk=m2+t,m,n∈N}. 2· 第一章集合与常用逻辑用语 探究三集合的表示及应用 【变式3】说明下列各集合表示的含义. (A- 规律总结 选用列举法或描述法的原则 2B=0产3=l: 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表 (3)C={(0,1)}: 示方法.列举法的特点是能清楚地展现集合 (4)D={(x,y)lx+y=1,且x-y=-1} 的元素，通常用于表示元素个数较少的集合， 当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列 举法；描述法的特点是形式简单、应用方便， 通常用于表示元素具有明显共同特征的集 合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制 条件较多时，就不宜采用描述法。 【例题3】用适当的方法表示下列集合， (1)由所有小于13的既是奇数又是素数的自 然数组成的集合： (2)方程x一2x+1=0的实数根组成的 集合： (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组 成的集合： (4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有 的点组成的集合： (5)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有 点的纵坐标组成的集合， 探究四 求集合中的参数 解题技巧 当元素a∈A,若集合A是用描述法表示的， 4444444444444444444444 则a一定满足集合中元素的共同特征，如满 足方程（组）、不等式（组）等：若集合A是用 列举法表示的，则a一定等于集合A中的某 个元素.反之，当a任A时，结论恰拾相反，利 用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解 出参数，再根据集合中元素的互异性对求得 的参数进行检验.另外，在利用集合中元素的 特性求参数时要注意分类讨论思想的应用. 数学必修第一册课堂学案 【例题4】(1)已知集合A={(x,y)|2.x-y十m> 【变式4】(1)已知集合A={a-3,2a-1},若-3 0},B={(x,y)x+y一n=0},若点P(2,3)∈ 是集合A中的元素，试求实数a的值 A,且P(2,3)B,则 (2)已知集合A中含有两个元素1和a2,若 A.m>-1,n≠5 B.<-1,n≠5 a∈A,求实数a的值. C.m>-1,n=5 D.m<-1,n=5 (3)若将(2)中的条件“a∈A”去掉，其他条件 (2)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a十 不变，求实数a的取值范围. 3},若1∈A,求实数a的取值集合。 随堂检测学以致用 答案见P 1.下列各组对象不能构成集合的是 C.{x=1} A.所有直角三角形 D.{1 B.二次函数y=x2的图象上所有的点 2x+y=4, C.高一年级开设的所有课程 4.(多选)方程组 的解集可以表示为 x-y=-1 D.充分接近√3的所有实数 2.已知A={x3一3x>0},则下列各式正确的是 2x+y=4, A.(r.y) x-y=-1 A.3∈A B.1∈A B.{(1,2) C.0∈A D.-1A C.1,2 3.下列集合中，不同于另外三个集合的是( D.{(x,y)x=1,y=2) A.{xx=1} B.{y(y-1)=0 提示完成P课时作业（一）课堂学案答案 为{x∈N一2x≤2}={0,1,2)，所以一1任{x∈N一2≤ 第一章集合与常用逻辑用语 2}. (2)若m=1,n=3,则m2十n2=10,所以10∈{k|k=m十 1.1集合的概念 m,n∈N》:若m=0,n=10,则m+=10,所以102∈{k 必备知识·基础落实 k=m2+m,m,n∈N. 要点一 答案(1)∈任(2)∈∈ L.研究对象小写拉丁字母a,b,c,… [例题3]解析(1)小于13的既是奇数又是素教的自然数有 2.一些元素组成的总体集大写拉丁字母A,B,C,… 4个，分别为3,5,7,11，故可用列举法表示为{3,5,7,11. 3.确定性互异性无序性 (2)方程x-2x十1=0的实教根为1，因此可用列举法表示 4.是一样的 为1}，也可用描述法表示为{x∈Rx一2x十1=0. [思考]提示(1)自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的 (3)集合代表的元素是点，可用描迷法表示为{(x,y)x<0, 且y>0}. 集合，不等式解的集合， (4)二次函数y=x2+2x一10的图象上所有的点组成的集 (2)构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象，也 合中，代表元素为有序实数对(x,y),其中工，y满足y=x十 可以是其他任何形式的对象，只要是有确定标准的对象即 2x一10，因为，点有无数个，所以用描述法表示为{(x,y)y= 可，另外，一个集合也可以是另一个集合的元素. x2+2.x-10. 要点二 (5)二次函数y=x2十2x一10的图象上所有，点的纵坐标组 a是集合A中的元素a∈Aa不是集合A中的元素 成的集合中，代表元素为实数y,所以可用描述法表示为 aA {y|y=x2+2.x-10. 要点三 [变式3]解析(1)A表示y的取值集合，由反比例函数的图象， 全体非负整数N全体正整数N”N,全体整数Z 知A={y∈Ry≠0. 全体有理数Q全体实数R (2)B的代表元素是点(x,y),B表示直线y=x-3,但除去 [思考]提示(1)符号“∈”和“任”是表示集合的元素与集合之间 点(3,0). 的关系，只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边 (3)C表示一个单元素集，是一个实数对集，是以一个，点的坐 是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换 标为元素的集合 (2)非负整数集包括零，而正整数集不包括零， 要点四 ④D表示一个实载时条，即方程红中的解，解方 2.一一列举 程组得其解为(0,1)，所以D是一个单元素集. 3.共同特征 [辨析]提示(1)×(2)×(3)√(4)/(5)√(6)× 例题4解折()依题意，因为P(2,3)EA,所以3是不 关键能力·素养提升 等式2x一y十m>0的一组解，即4一3十m>0,所以m> [例题1门解析①不能构成集合，因为“难题”的标准是模糊的， 所以元素是不确定的，故不能构成集合：②不能构成集合， -1周为P2,3e所以不是方程r+y一=0的 因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素是不确定的，故 一组解，即2十3一≠0，所以n≠5.故选A项。 不能构成集合：③能构成集合，其中的元素是“16岁以下的 答案A 学生”：④能构成集合，其中的元素是“到坐标原点的距离等 (2)①若a+2=1,即a=一1，则(a+1)2=0,a2+3a+3=1, 于1的点”：⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模潮的， 元素重复：②若(a十1)2=1，即a=一2或a=0,当a=-2 所以元素是不确定的，故不能构成集合：⑥不能构成集合， 时，a十2=0，d2+3a十3=1，元素重复：当a=0时，a十2=2， 因为有两个《是重复的，不符合元素的互异性. a+3a十3=3，满足题意：③若a2+3a十3=1，解得a=-1 客率③④ 或一2，均不符合题意.所以实数a的取值集合为{0. [变式1门BCD解析A项中“成绩优秀”没有明确的标准，所以 [变式4]解析(1)因为-3∈A,所以-3=a-3或-3=2a-1. 不能构成一个集合；B,C,D项中的对象都满足集合元素的 若一3=a一3，则u=0,此时集合A中含有两个元素一3， 特性，所以能构成集合.故选BCD项， 一1，符合要求： [例题2]解析(1)因为22<(、1T)2,所以2∈{xx<√1们： 若一3=2a一1，则a=一1，此时集合A中含有两个元素一4， 周为{x∈Z1-5≤x≤21={-5，-4，-3，-2，-1,0,1.2}， 一3，符合要求 综上所迷，满是题意的实数a的值为0或一1. 所以3任{x∈Z-5≤r≤2. (2)由题意，可知a=1或a2=a,若a=1,则a2=1,这与a≠ (2)令4=n+1,则n=士3度Z,所以4任{xx=m+1, 1相矛盾，故a≠1.若a=a,则a=0或a=1(舍去)，又当 n∈Z:令5=n+1,则n=士2∈Z,所以5∈{xlx=m+1, a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符 n∈Zh. 合题意.综上可知，实数a的值为0. (3)集合{yy=x}的代表元素是数，集合{(x,y)y=x)的 (3)由集合中元素的互异性可知≠1，即a≠士1. 代表元素是实数对，且1=(-1)炉，所以（一1,1）度{yly= 所以a的取值范围是a≠士l. x2,(-1,1)∈{(xy)1y=x. 随堂检测·学以致用 (4)W2是无理数，Q是有理数集，所以2∈Q:N表示正整数 L,D解析A,B,C项中的对象其备确定性，而D项中“充分接 集，所以0正N 近3”的标准是不确定的，故D项不能构成集合，故选D项， 答室(1)∈年(2)E∈(3)E∈(4)年任 2.C解析集合A表示不等式3-3>0的解集，显然3，】不满 [变式2]解析1)因为3<（√10），所以3∈{xx<√10)：因 足不等式，而0，一1满足不等式.故选C项. ·286· 3.C解析A,B,D项表示的集合都是{1}，而C项表示含有一 个方程的集合，故远C项. ③当4=1-u>0,即a<时，若BCA,则B=(-3,21, 4,ABD解析原方程组的解为x=1,y=2,其解集中只含有一 所以a=一3×2=一6. 个元素，可表示为A,B,D项，C项不符合.故选ABD项 综上，实数口满足的条件为a>或a=-6, 1.2集合间的基本关系 随堂检测·学以致用 必备知识·基础落实 1.D解析“∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A,C项错 要点一 误；“”用来表示集合与集合之间的关系，故B项错误：而☑ 任意一个二三x∈B,且x在A至星 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故D项正确 故选D项 ACB.且BSA 2.D解扬因为集合A=1,B=(1,2,3},所以当满足条件 要点二 A二C二B时，集合C中一定含有元素1，所以集合C可以为 1.不含任何元素0 {1,(1,2},1,3},{1,2,3},故集合C有4个.故选D项. 2.子集真子集 3.解析由{1，a十b}={0,b1知a十h=0,且b=1.所以a=一1， [思考]提示(1)符号“二”表示集合与集合之间的包舍关系，而 b=1,所以b-a=2. 符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系。 答累2 (2){0}是含有一个元素0的集合，⑦是不含任何元素的集 4.解析因为B二A,所以x=4或x2=x,解得x=士2或x=1 合，因此⑦二{0)，而{}是含有一个元素☑的集合. 或x=0.经检验，当江=1时.不满足元素的互异性，故x的取 要点三 值有一2,0,2.所以x的取值集合为{一2,0,2. 1.子集ACA 2.ACC 1.3集合的基本运算 [辨析]提家(1)×(2)×(3)×(4)/ 关键能力·索养提升 1.3.1并集与交集 [例题1门解析(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实 必备知识·基础落实 数对，故A与B之间无包含关系， 要点一 (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相 所有属于集合A或属于集合B{xx∈A,或x∈B) 等的三角形，故A手B 所有属于集合A且属于集合B{xlx∈A,且x∈B (3)集合B={x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由 要点二 图可知AB. AAA②BA [辨析]提示(1)×(2)√(3)×(4)/ 21012348 关键能力·素养提升 (4)由列举法知M={1,3,5,7,…,V=(3,5,7,9,…, 例题1门解析(1)AUB={1,2)U{2,4,6}={1,2,4,6.故选 D项. 故NM. (2)在敦轴上表示出集合A,B,如图所示. [变式1门AC解粉集合M,P表示被3徐余1的整数集，集合 S表示被6除余1的整数集，且6是3的倍数，所以A项和 C项正确.故选AC项. 由图可知AUB={x一1<x2).故选B项. [例题2]解析由题设可知，一方而A是集合{a,b,c,d}的子集， 答案(1)D(2)B 另一方面A又真包含集合{a,b,故集合A中一定含有两个 [变式1]D解析因为M={0,1,3},V={xx=3a,a∈M),所 元素a,b,且含有c,d两个元素中的一个或两个.故满足条 以V={0,3,9},所以MUV={0,1,3}U{0,3,9}={0.1,3, 件的集合有{a,b,c,{a,b,d}.{a,b,c,d}. 9}.故选D项. [变式2]C解析固为集合N中有3个元素，所以真子集的个 [例题2]解析(1)由题意可得M∩N=(一2}.故选C项. 数为2一1=7.故逸C项. (2)集合M={xx+2≥0)={xx≥-2}，集合N={xx [例题3]解析(1)因为M=N,则(a一3)+(2a-1)+(a+1)= 1<0}={xx<1},在数轴上表示出集合M,N,如图所示. -2+(4a-3)+(3a-1).即2-4a+3=0,解得a=1或 a=3. 当a=1时，M={-2,1,2},N={-2,1,2),满足M=N: 由图可知M∩N={x|-2≤x<1}.故选A项. 当a=3时，M=(0,5,10),V={-2,9,8},不满足M=N. 答室(1)C(2)A 故实数a的值为1. [变式2]解析(1)由题意可得P∩Q={1,2.故选C项. (2)由题意知B二A. (2)由题意得A∩B=(5,7,11},所以A∩B中元素的个数为 ①当B=0时，m+1<2n-1,解得m>2: 3.故选B项. (-3<2n-1, 答案(1)C(2)B ②当B≠0时，有{m+1<4, 解得-1<m≤2. [例题3]解析因为AUB=A,所以B二A. m+1≥2m-1, 当B=☑时，只常2a>a+3,即a>3: 综上可知，m满足的条件是m>一1. 当B≠☑时，根据题意作出如图所示的数轴。 2k=3, B☐A [变式3]解析(1)因为A=B,所以 2+3-1 (2)A=(-3,2).对于x2十x十4=0， AB口 ①当A=1-4u<0,即a>}时，B=0,BCA成立： 42n+3 ②当△=1-4a=0,即a=}时，B={-号}，BcA不 由周可释{侣十822x太.20解释a<-4或2< a3. 成立： 综上，实数a的取值集合C为{aa<一4或a>2. ·287·