四川省内江市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

绝密★启用前 内江一中高2026届高二上学期入学考试试题 数 学 1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。 2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上。 3、考试结束后，监考人将答题卡收回。 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案. 1、样本数据12，13，14，14，16，18，20，24的75%分位数为 （A）17 （B）18 （C）19 （D）20 2、设复数（是虚数单位），则 （A） （B） （C） （D） 3、某射击运动员射击5次的成绩如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 9环 9环 10环 8环 9环 （A）该射击运动员5次射击的平均环数为9.2 （B）该射击运动员5次射击的平均环数为9.5 （C）该射击运动员5次射击的环数的方差为1 （D）该射击运动员5次射击的环数的方差为 4、已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为 （A） （B） （C） （D） 5、柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示2只鞋，如果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为 （A） （B） （C） （D） 6、如图，中，为边的中点，为的中点，则 （A） （B） （C） （D） 7、当时，曲线与的交点个数为 （A）8 （B）6 （C）4 （D）3 8、某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案． 如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点，，处测 得其顶点的仰角分别为，，，， 则该古建筑的高度为 （A） （B） （C） （D） 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9、已知平面向量，，与的夹角为，则（    ） （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 10、函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有 （A）， （B） （C）在区间上单调递减 （D）为偶函数 11、我们知道正、余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12、已知，，则的值为 . 13、为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内兔子的数量为 只. 14、某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 . 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分） 在中，内角，，的对边分别为，，，，， （Ⅰ）求角； （Ⅱ）以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积. 16、（本小题满分15分） 2024年中国经济将会进一步发展，但也会面临一些挑战.某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图： （Ⅰ）确定的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）； （Ⅱ）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为， （i）求的值； （ii）从这家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在 [200,250)内的概率. 17、（本小题满分15分） 已知函数的最大值为3， （Ⅰ）若的定义域为，求的单调递增区间； （Ⅱ）若，，求的值. 18、（本小题满分17分） 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （Ⅰ）若，，求的坐标； （Ⅱ）若，，且，求实数的值； （Ⅲ）若，，求向量，的夹角的余弦值. 19、（本小题满分17分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式. 若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为 ， （Ⅰ）若，，，求面积； （Ⅱ）用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个： ①； ②，其中； （Ⅲ）若，且，求面积的最大值. ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$