第03讲 基本不等式及其应用（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第03讲 基本不等式及其应用 【人教A版2019】 模块一 基本不等式 1．均值定理 均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正实数)，那么≥，当且仅当a=b时，式中等号成立. 此定理又称均值不等式或基本不等式. 2．基本不等式推广：≥≥. 叫做a和b的平方平均值，叫做算术平均值，叫做几何平均值. 3．基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值. 4．利用基本不等式求最值的条件 (1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数. (2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值. 特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式. (3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值. (4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件. 【题型1 基本不等式链】 【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD. 【解答过程】解： ，即，故A恒成立， 取，此时，故B不恒成立， 因为，所以，所以，故C恒成立， 因为，所以，所以，故D恒成立， 故选：B. 【例1.2】（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【解答过程】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 【变式1.1】（2024高一·全国·课后作业）若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据不等式的性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解. 【解答过程】因为， 对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确； 对于②中，由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以②不正确； 对于③中，由不等式，可得， 两边同除，可得成立，所以③成立； 对于④，由， 可得，即，所以成立，所以④正确. 故选：B. 【变式1.2】（2024高二上·新疆·学业考试）若，且，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】选项A，由重要不等式，三个同向不等式相加可得；选项B，由可得；选项CD，特值法排除. 【解答过程】选项A，∵，，， ∴， ∴， ∴．当且仅当时取等号，故A错误； 选项B，由， 则，故B正确； 选项C，当时，， 但，不满足，故C错误； 选项D，当时，， 但，不满足，故D错误. 故选：B. 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2.1】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【解题思路】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【解答过程】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【解答过程】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD. 【解答过程】设甲乙两地相距s，则平均速度故A错误，B错误； 又∵，∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得：， ∴，即， 故C正确，D错误． 故选：C． 【变式2.2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【解题思路】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可. 【解答过程】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A. 模块二 基本不等式的应用 1．最值定理 最值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相等时，它们的乘积取得最大值. 即已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型3 直接法求最值】 【例3.1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 【例3.2】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【解答过程】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】利用基本不等式即可得解. 【解答过程】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【解题思路】借助基本不等式计算即可得. 【解答过程】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 【题型4 配凑法求最值】 【例4.1】（23-24高三下·贵州毕节·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．6 【解题思路】先分离常数，再配凑积为定值形式，再利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】， 由 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 【例4.2】（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】∵，∴，, ∴ ， 当且仅当，即时取等号． 故选：A. 【变式4.1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【解答过程】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·云南昆明·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【解题思路】将原式变形为，结合不等式的加法性质利用基本不等式即可求得最值. 【解答过程】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 【题型5 巧用“1”的代换求最值】 【例5.1】（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【解答过程】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C. 【例5.2】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 【解题思路】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值. 【解答过程】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为. 故选：C. 【变式5.1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 【变式5.2】（23-24高二下·江西九江·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【解题思路】将条件等式化成，由，利用1的代换法和基本不等式即可求得最小值. 【解答过程】解：由，得，又， 所以 . 当且仅当时等号成立. 故选：B. 【题型6 和积互化求最值】 【例6.1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【解题思路】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】由题意得，所以， 所以， 当且仅当时取等，此时，故A正确. 故选：A. 【例6.2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【解答过程】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，，求下列代数式的最小值 (1)； (2). 【解题思路】（1）运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得； （2）展开变形成，再将换成展开，即可利用基本不等式求解．. 【解答过程】（1）因，，，则， 于是得， 当且仅当，即时取“”， 所以，当时，的最小值是； （2）因，，， 则， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，的最小值是 【变式6.2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）若，且 (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【解题思路】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值； （2）利用条件等式，得到，进而有，利用基本不等式可得答案. 【解答过程】（1），， ，得，解得，明显可得， 的取值范围为 （2）由得， ，结合得 ， 当且仅当时，等式成立，解得，， 即当时，取最小值为. 【题型7 利用基本不等式证明不等式】 【例7.1】（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【解答过程】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 【例7.2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【解题思路】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【解答过程】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 【变式7.1】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解题思路】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【解答过程】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 【变式7.2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式 (1)已知，，，且，求证：. (2)已知，，，求证： . 【解题思路】（1）利用“1”的代换，结合加法法则，根据基本不等式即可证明； （2）利用基本不等式结合乘法法则即可证明. 【解答过程】（1） ， 当且仅当时，取等号. （2），，， ，，， ， 当且仅当时等号成立. 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8.1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【解答过程】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D. 【例8.2】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【解答过程】因为，且， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以m的取值范围是． 故选：D． 【变式8.1】（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 【变式8.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 【解题思路】（1）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （2）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可； （3）根据，，利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）解：∵， ∴， ∴恒成立等价于恒成立． 又， ∴， 当且仅当，即，即，时等号成立． ∴， ∴． 故实数m的取值范围是． （2）∵，， ∴恒成立等价于恒成立． 又，当且仅当，即时取等号， ∴，即． ∴实数的最小值为－4． （3）∵，， ∴，当且仅当，即时等号成立． 又恒成立， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故正实数的最小值为4． 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9.1】（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【解题思路】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【例9.2】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【解题思路】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可. 【解答过程】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 【变式9.1】（23-24高一上·重庆·阶段练习）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 【解题思路】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可. （2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时和的值. 【解答过程】（1）根据题意，矩形海报纸面积为， 所以， 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以四个宣传栏的总面积， 其中所以. 即. （2）由（1）知， 则 ，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 即,时， 可使用宣传栏总面积最大为. 【变式9.2】（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【解题思路】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【解答过程】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【解题思路】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【解答过程】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 2．（2024·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【解答过程】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【解题思路】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【解题思路】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【解答过程】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解. 【解答过程】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 6．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【解答过程】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 7．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【解题思路】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【解答过程】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 8．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【解答过程】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下面的结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 【解题思路】利用不等式的性质及基本不等式计算即可. 【解答过程】对于A，因为，所以，则，故A正确； 对于B，不妨令，则，故B 错误； 对于C，， 当且仅当时取得等号，所以，故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以，则， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【解答过程】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB. 11．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【解题思路】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【解答过程】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【解题思路】利用基本不等式即可比较, 【解答过程】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为：. 13．（23-24高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【解题思路】由题设条件得，，利用基本不等式求出最值． 【解答过程】由已知，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以时取最小值． 故答案为：. 14．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【解答过程】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【解题思路】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【解答过程】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 16．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【解答过程】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 17．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【解题思路】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【解答过程】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 18．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【解答过程】（1）， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． （2）解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是： ，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【解题思路】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【解答过程】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以 ， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知 ， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 基本不等式及其应用 【人教A版2019】 模块一 基本不等式 1．均值定理 均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正实数)，那么≥，当且仅当a=b时，式中等号成立. 此定理又称均值不等式或基本不等式. 2．基本不等式推广：≥≥. 叫做a和b的平方平均值，叫做算术平均值，叫做几何平均值. 3．基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值. 4．利用基本不等式求最值的条件 (1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数. (2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值. 特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式. (3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值. (4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件. 【题型1 基本不等式链】 【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024高一·全国·课后作业）若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1.2】（2024高二上·新疆·学业考试）若，且，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2.1】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【例2.2】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 模块二 基本不等式的应用 1．最值定理 最值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相等时，它们的乘积取得最大值. 即已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型3 直接法求最值】 【例3.1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例3.2】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【题型4 配凑法求最值】 【例4.1】（23-24高三下·贵州毕节·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．9 B．10 C．12 D．6 【例4.2】（24-25高一上·上海·课后作业）当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【变式4.1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·云南昆明·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【题型5 巧用“1”的代换求最值】 【例5.1】（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 【变式5.1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【变式5.2】（23-24高二下·江西九江·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【题型6 和积互化求最值】 【例6.1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知，且满足，则（    ） A．的最小值为48 B．的最小值为 C．的最大值为48 D．的最大值为 【例6.2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，，求下列代数式的最小值 (1)； (2). 【变式6.2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）若，且 (1)求的取值范围； (2)求的最小值，以及此时对应的的值. 【题型7 利用基本不等式证明不等式】 【例7.1】（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【例7.2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【变式7.1】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【变式7.2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式 (1)已知，，，且，求证：. (2)已知，，，求证： . 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8.1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【例8.2】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【变式8.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知，． (1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式恒成立，求实数m的最小值； (3)若．且恒成立，求正实数a的最小值． 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9.1】（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【例9.2】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【变式9.1】（23-24高一上·重庆·阶段练习）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设． (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围； (2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 【变式9.2】（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 2．（2024·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 4．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 6．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 8．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下面的结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 10．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 13．（23-24高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 14．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 16．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 17．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 18．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是： ，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$