专题01 三角形与全等三角形（7题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题01 三角形与全等三角形 三角形的三边关系 1．（2023秋•上城区期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．25cm，24cm，7cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，3cm，6cm D．1cm，2cm，3cm 2．（2023秋•浙江期中）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•临海市校级期中）如果a，b，c分别是△ABC三边的长，且|a+b﹣c|+|b+c﹣a|+|c+a﹣b|＝12，那么△ABC的周长是（　　） A．24 B．9 C．12 D．6 三角形的内角和定理与外角定理 1．（2023秋•下城区校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B，∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．100° 2．（2023秋•浙江期中）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C 3．（2023秋•乐清市校级期中）一副三角板，按如图所示放置，B、C、D在同一直线上，若AE∥BD，则∠CAD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4．（2023秋•浙江期中）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F，若∠CAB＝30°，∠B＝50°，则∠BDE的度数为 　 　． 17．（2023秋•浙江期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝　 　度． 三角形的“三线”的应用 1．（2023秋•浙江期中）下列四个图形中，线段AD是△ABC中BC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•浙江期中）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 　 　． 3．（2023秋•宁波期中）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　 　． 4．（2023秋•杭州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P． （1）已知∠EPD＝120°，求∠BAD的度数； （2）求∠EPD与∠BAD之间满足的数量关系． 全等三角形的性质 1．（2023秋•浙江期中）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝60°，则∠1的度数是 　 　． 2．（2023秋•温州期中）如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20，FC＝12，则AF的长是 　 　． 全等三角形的判定与性质 1．（2023秋•浙江期中）如图，∠ABC＝∠DCB，要说明△ABC≌△DCB，添加的条件不能是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．BE＝CE D．AC＝DB 2．（2023秋•新洲区期中）根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．AB＝5，BC＝3，AC＝8 C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° 3．（2023秋•南浔区期中）已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．求证：AB＝AC． 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴∠BED＝∠CFD＝　 　度 ∵D是BC的中点（已知） ∴BD＝　 　 又∵DE＝DF（已知） ∴△BDE≌△CDF（ 　 　） ∴∠B＝∠　 　（ 　 　）． ∴AB＝AC（ 　 　） 4．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD． （1）求证：△ABD≌△CED； （2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数． 5．（2023秋•椒江区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D，E，F分别是BC，AB，AC边上的点，BD＝CF． （1）若∠EDF＝∠ABC，求证：DE＝DF； （2）若∠A+2∠EDF＝180°，BC＝9，DC＝2BD，求BE的长． 6．（2023秋•金华期中）如图，把含45°角的三角板放在两堆竖直摆放的积木之间（每块积木规格均相同）． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）已知DE＝35cm，求一块积木的厚度a． 角平分线与线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD＝6，则DE的长可以是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（2023秋•南浔区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠B＝52°，∠C＝30°，则∠EAG的度数为（　　） A．12° B．14° C．16° D．18° 3．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，△ABD的周长为14，则△ABC的周长为 　 　． 4．（2023秋•下城区校级期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直． （1）求∠BPC的度数． （2）若AD＝8，求点P到BC的距离． 尺规作图 1．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•杭州期中）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法可得△OCP≌△ODP，判定这两个三角形全等的根据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．（2023秋•嵊州期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，根据尺规作图的痕迹作射线AE，交BD于点Ⅰ，连接CI，则下列说法错误的是（　　） A．点Ⅰ到边AB、AC的距离相等 B．CI平分∠ACB C．∠DIE＝90°+∠ACB D．点Ⅰ到A、B、C三点的距离相等 4．（2023秋•温州期中）如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，OA长为半径画弧，分别交OM、ON于点B、A．连结BA，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线AC，AC交OB于点C，则∠ACB的度数是（　　） A．120° B．105° C．90° D．75° 5．（2023秋•拱墅区校级期中）如图所示，在钝角△ABC中，AB为最长边．在边AB上找一点D，连接CD，使△DBC为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹，画出所有的情况）． 1．（2023秋•金华期中）如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，若∠B＝42°，∠C＝50°，则∠EAF的度数为（　　） A．56° B．28° C．46° D．23° 2．（2023秋•东阳市期中）如图，在△ABC中，已知BD：CD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为（　　） A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2 3．（2023秋•金华期中）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是 　 　． 4．（2023秋•绍兴期中）如图，自行车的三角架设计中，蕴含了 　 　的数学道理． 5．（2023秋•浙江期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 6．（2023秋•浙江期中）如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 7．（2023秋•乐清市校级期中）小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝7cm，EF＝8cm，则保温杯的壁厚为 　 　cm． 8．（2023秋•金华期中）下列命题为假命题的是（　　） A．全等三角形对应边相等，对应角相等 B．全等三角形的周长相等，面积也相等 C．三条边对应相等的两个三角形全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 9．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，得到△A′DE，A′E∥BC，A′D与AB相交于点F，当∠A＝32°时，则∠ADE的度数 　 　． 10．（2023秋•江岸区期中）如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S△BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 11．（2023秋•嵊州市期中）如图，在∠AOB的内部找出一点P，使得PM＝PN，且满足点P到OA与OB的距离相等． 12．（2023秋•浙江期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为　 　 　． 13．（2023秋•西湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．求证： （1）△BDF≌△ADC； （2）BE⊥AC． 14．（2023秋•椒江区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点M从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点M的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△ABM≌△DCM？ （2）当点M从点B开始运动，同时，点N从点C出发，以a cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在a，使得△ABM与△MNC全等？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 15．（2023秋•滨城区期中）【问题发现】（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝　 　． 【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积． 【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形与全等三角形 三角形的三边关系 1．（2023秋•上城区期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．25cm，24cm，7cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，3cm，6cm D．1cm，2cm，3cm 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 A.7+24＞25，能组成三角形，故此选项符合题意． B.2+5＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意； C.3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不合题意； D.2+1＝3，不能组成三角形，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（2023秋•浙江期中）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【解答】解：设第三边长x． 根据三角形的三边关系，得1＜x＜5， 第三边不可能为1， 故选：A． 3．（2023秋•临海市校级期中）如果a，b，c分别是△ABC三边的长，且|a+b﹣c|+|b+c﹣a|+|c+a﹣b|＝12，那么△ABC的周长是（　　） A．24 B．9 C．12 D．6 【分析】根据三角形的三边关系可得a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，再根据绝对值的性质可得a+b+c＝12，即可求解． 【解答】解：∵a，b，c分别是△ABC三边的长， ∴a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b， ∵|a+b﹣c|+|b+c﹣a|+|c+a﹣b|＝12， ∴a+b﹣c+b+c﹣a+c+a﹣b＝12， 即a+b+c＝12， ∴△ABC的周长是12， 故选：C． 三角形的内角和定理与外角定理 1．（2023秋•下城区校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B，∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．100° 【分析】首先利用三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB＝130°，再根据∠B，∠C的角平分线相交于点O，求出∠EBC+∠DCB得结果，再利用三角形的内角和求出∠BOC的度数． 【解答】解：∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵∠B，∠C的角平分线相交于点O， ∴∠EBC＝，， ∴∠EBC+∠DCB＝65°， ∴∠BOC＝115°， 故选：B． 2．（2023秋•浙江期中）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出三角形的最大角，进而得出结论． 【解答】解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴最大角∠C＝3×30°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意； B、∵∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠A＝∠B+∠C， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°÷2＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意； C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y， ∴y+2y+2y＝180°， 解得：y＝36°， ∴最大角∠B＝2×36°＝72°， ∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意； D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z， ∴z+z+2z＝180°， 解得：z＝45°， ∴最大角∠C＝2×45°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2023秋•乐清市校级期中）一副三角板，按如图所示放置，B、C、D在同一直线上，若AE∥BD，则∠CAD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】由AE∥BD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠CAE的度数，再结合∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE，即可求出结论． 【解答】解：∵AE∥BD， ∴∠CAE＝∠ACB＝45°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝45°﹣30°＝15°． 故选：B． 4．（2023秋•浙江期中）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F，若∠CAB＝30°，∠B＝50°，则∠BDE的度数为 　50°　． 【分析】根据三角形的内角和求出∠ACB＝90°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案． 【解答】解：∵∠CAB＝30°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵CE⊥AD， ∴∠AFC＝∠AFE＝90°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD＝×30°＝15°， 在△ACF与△AEF中， ， ∴△ACF≌△AEF（ASA） ∴AC＝AE， 在△ACD与△AED中， ， ∴△ACD≌△AED （SAS）， ∴DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∵∠ACE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝100°﹣75°＝25°， ∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝25°+25°＝50°， 故答案为：50°． 17．（2023秋•浙江期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝　75　度． 【分析】由题意可得∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°，由三角形的外角性质可求得∠BDA＝120°，再次利用三角形的外角性质即可求∠α的度数． 【解答】解：如图， 由题意得：∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠BDA＝∠A+∠ACB＝120°， ∴∠α＝∠BDA﹣∠B＝75°． 故答案为：75． 三角形的“三线”的应用 1．（2023秋•浙江期中）下列四个图形中，线段AD是△ABC中BC边上的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的画法知，过点A作AD⊥BC，垂足为D，其中线段AD是△ABC的高，再结合图形进行判断． 【解答】解：线段AD是△ABC的高的图是选项D． 故选：D． 2．（2023秋•浙江期中）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 　3　． 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论． 【解答】解：∵E是边AC的中点，△ABC的面积等于12， ∴S△ABE＝S△ABC＝6， ∵点D是边AB的中点， ∴△BDE的面积＝S△ABE＝， 故答案为：3． 3．（2023秋•宁波期中）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　　． 【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，则有S△BCF＝S△BEC＝5，进而问题可求解． 【解答】解：连接FC，如图所示： ∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15， ∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝， ∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF， ∴S△AEF＝S△BDF， ∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF， ∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF， ∴S△BCF＝S△BEC＝5， ∵S△BCF＝BC•FH＝×6FH＝5， ∴FH＝． 故答案为：． 4．（2023秋•杭州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P． （1）已知∠EPD＝120°，求∠BAD的度数； （2）求∠EPD与∠BAD之间满足的数量关系． 【分析】（1）由题意可得∠ADB＝90°，再由三角形的外角性质求得∠DBE＝30°，由角平分线的定义得∠ABD＝60°，最后利用三角形的内角和即可求∠BAD的度数； （2）结合（1）进行分析即可． 【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵∠EPD是△BDP的外角，∠EPD＝120°， ∴∠DBE＝∠EPD﹣∠ADB＝30°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD＝2∠DBE＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝30°； （2）∠BAD+2∠EPD＝270°，理由如下： ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∵∠EPD是△BDP的外角， ∴∠DBE＝∠EPD﹣∠ADB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD＝2∠DBE＝2∠EPD﹣180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣2∠EPD+180°﹣90°＝270°﹣2∠EPD； 即∠BAD+2∠EPD＝270°． 全等三角形的性质 1．（2023秋•浙江期中）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝60°，则∠1的度数是 　15°　． 【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出∠CAD＝45°，根据角的和差解答即可． 【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC， ∴AC＝CD，∠CDE＝∠BAC， ∵∠B＝60°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠CDE＝30°， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC＝45°， ∴∠1＝∠ADC﹣∠CDE＝15°， 故答案为：15°． 2．（2023秋•温州期中）如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20，FC＝12，则AF的长是 　4　． 【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△FDE， ∴AC＝FE， ∴AC﹣FC＝FE﹣FC， 即AF＝CE， ∵AE＝20，FC＝12， ∴AF+CE＝AE﹣FC＝8， ∴AF＝4， 故答案为：4． 全等三角形的判定与性质 1．（2023秋•浙江期中）如图，∠ABC＝∠DCB，要说明△ABC≌△DCB，添加的条件不能是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．BE＝CE D．AC＝DB 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴选项A，可以根据SAS证明△ABC≌△DCB， 选项B，可以根据AAS证明△ABC≌△DCB， 选项C，可以根据ASA证明△ABC≌△DCB， 选项D，SSA不能判定三角形全等， 故选：D． 2．（2023秋•新洲区期中）根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．AB＝5，BC＝3，AC＝8 C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° 【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【解答】解：A、∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，角边角，可以画出唯一三角形，故本选项正确； B、AB＝5，BC＝3，AC＝8，5+3＝8，不能构成三角形，故本选项错误； C、∠C＝90°，AB＝6，可画出多个三角形，故本选项错误； D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，∠A并不是AB，BC的夹角，所以可画出多个三角形； 故本选项错误． 故选：A． 3．（2023秋•南浔区期中）已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．求证：AB＝AC． 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴∠BED＝∠CFD＝　90　度 ∵D是BC的中点（已知） ∴BD＝　CD　 又∵DE＝DF（已知） ∴△BDE≌△CDF（ 　HL　） ∴∠B＝∠　∠C　（ 　全等三角形的对应角相等　）． ∴AB＝AC（ 　等角对等边　） 【分析】先根据HL证明△BDE≌△CDF，再根据全等三角形的对应角相等，得出∠B＝∠C，最后根据等角对等边，得出AB＝AC． 【解答】解：补全后的证明过程如下所示： ∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴∠BED＝∠CFD＝90度， ∵D是BC的中点（已知）， ∴BD＝CD， 又∵DE＝DF（已知）， ∴△BDE≌△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）． ∴AB＝AC（等角对等边）． 故答案为：90，CD，HL，∠C，全等三角形的对应角相等，等角对等边． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，且ED＝BD． （1）求证：△ABD≌△CED； （2）若CE为∠ACD的角平分线，求∠BAC的度数． 【分析】（1）证出△ADC是等腰直角三角形，得出AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°，由SAS证明△ABD≌△CED即可； （2）由角平分线定义得出∠ECD＝∠ACD＝22.5°，由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠ECD＝22.5°，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°，△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝CD，∠CAD＝∠ACD＝45°， 在△ABD与△CED中，， ∴△ABD≌△CED（SAS）； （2）解：∵CE为∠ACD的角平分线， ∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°， 由（1）得：△ABD≌△CED， ∴∠BAD＝∠ECD＝22.5°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝22.5°+45°＝67.5°． 5．（2023秋•椒江区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D，E，F分别是BC，AB，AC边上的点，BD＝CF． （1）若∠EDF＝∠ABC，求证：DE＝DF； （2）若∠A+2∠EDF＝180°，BC＝9，DC＝2BD，求BE的长． 【分析】（1）由“AAS”可证△EBD≌△DCF，可得DE＝DF； （2）由“AAS”可证△EBD≌△DCF（AAS），可得BD＝EC＝6． 【解答】（1）证明：由题意可知，∠EDC＝∠ABC+∠BED， 又∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC，∠EDF＝∠ABC， ∴∠BED＝∠FDC， 在△EBD和△DCF中， ， ∴△EBD≌△DCF（AAS）， ∴DE＝DF； （2）解：∵∠A+2∠EDF＝180°，BC＝9，DC＝2BD，BC＝BD+CD， ∴CD＝6， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠A+2∠ABC＝180°， 又∠A+2∠EDF＝180°， ∴∠EDF＝∠ABC， 由（1）同理可得：△EBD≌△DCF（AAS）， ∴BE＝CD＝6． 6．（2023秋•金华期中）如图，把含45°角的三角板放在两堆竖直摆放的积木之间（每块积木规格均相同）． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）已知DE＝35cm，求一块积木的厚度a． 【分析】（1）由题意知∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，即可得出∠DAC＝∠BCE，即可得证． （2）由（1）知DC＝BE，CE＝AD，则AD+BE＝CE+DC＝DE即可解答． 【解答】（1）证明：由题意知∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知DC＝BE，CE＝AD， ∴AD+BE＝CE+DC＝DE＝35cm． ∴7a＝35， ∴a＝5cm． 角平分线与线段垂直平分线的性质 1．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD＝6，则DE的长可以是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，利用角平分线的性质可求出DM的长，结合点到直线垂直线段最短即可得出DE≥6，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M，如图所示. ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DM⊥AB， ∴DM＝CD＝6． 又∵E是边AB上一点， ∴DE≥DM， ∴DE≥6． 故选：D． 2．（2023秋•南浔区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠B＝52°，∠C＝30°，则∠EAG的度数为（　　） A．12° B．14° C．16° D．18° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可． 【解答】解：∵∠B＝52°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣52°﹣30°＝98°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B＝52°， 同理∠GAC＝∠C＝30°， ∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝82°， ∴∠EAG＝98°﹣82°＝16°，故C正确． 故选：C． 3．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，△ABD的周长为14，则△ABC的周长为 　22　． 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝8，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝8， ∵△ABD的周长为14， ∴BC+BD+CD＝14， ∴BC+BD+DA＝BC+AB＝14， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝14+8＝22， 故答案为：22． 4．（2023秋•下城区校级期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直． （1）求∠BPC的度数． （2）若AD＝8，求点P到BC的距离． 【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠ABC+∠DCB＝180°，然后根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和解题即可； （2）过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到PE＝PA＝PD，然后计算解题即可． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， 又∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴，， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°； （2）过点P作PE⊥BC于E， ∵PA⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠CDA＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4． 尺规作图 1．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案． 【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD， ∴∠B＝∠BCD， ∴DB＝DC， ∴点D是线段BC中垂线与AB的交点， 故选：B． 2．（2023秋•杭州期中）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法可得△OCP≌△ODP，判定这两个三角形全等的根据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】由画法得OC＝OD，PC＝PD，加上公共边OOP，则可根据“SSS”可判定△OCP≌△ODP，然后根据全等三角形的性质可判定OP为∠AOB的平分线． 【解答】解：由画法得OC＝OD，PC＝PD， 而OP＝OP， 所以△OCP≌△ODP（SSS）， 所以∠COP＝∠DOP， 即OP平分∠AOB． 故选：D． 3．（2023秋•嵊州期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，根据尺规作图的痕迹作射线AE，交BD于点Ⅰ，连接CI，则下列说法错误的是（　　） A．点Ⅰ到边AB、AC的距离相等 B．CI平分∠ACB C．∠DIE＝90°+∠ACB D．点Ⅰ到A、B、C三点的距离相等 【分析】设点I到AB、BC、AC的距离分别为m、n、r，由尺规作图的痕迹可知，AE平分∠BAC，则点I到边AB、AC的距离相等，可判断A正确；由BD平分∠ABC，点I在BD上，得点I点AB、BC的距离相等，则m＝n，而m＝r，所以n＝r，则CI平分∠ACB，可判断B正确；由∠DIE＝∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（180°﹣∠ACB）＝90°+∠ACB，可判断C正确；由点I是△ABC的内心，可知点I到AB、BC、AC的距离相等，而不是点I到A、B、C三点的距离相等，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点I到AB、BC、AC的距离分别为m、n、r， 由尺规作图的痕迹可知，AE平分∠BAC， ∵点I在AE上， ∴点I到边AB、AC的距离相等， 故A正确； ∵BD平分∠ABC，点I在BD上， ∴点I点AB、BC的距离相等， ∴m＝n， ∵m＝r， ∴n＝r， ∴点I到AC、BC的距离相等， ∴点I在∠ACB的平分线上， ∴CI平分∠ACB， 故B正确； ∵∠IAB＝∠BAC，∠IBA＝∠ABC， ∴∠IAB+∠IBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）， ∴∠DIE＝∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（180°﹣∠ACB）＝90°+∠ACB， 故C正确； ∵点I是△ABC三条角平分线的交点， ∴点I是△ABC的内心， ∴点I到AB、BC、AC的距离相等，而不是点I到A、B、C三点的距离相等， 故D错误， 故选：D． 4．（2023秋•温州期中）如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，OA长为半径画弧，分别交OM、ON于点B、A．连结BA，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线AC，AC交OB于点C，则∠ACB的度数是（　　） A．120° B．105° C．90° D．75° 【分析】由作图痕迹可知，射线AC为∠OAB的平分线，OA＝OB，则△AOB为等边三角形，即可得AC⊥OB，即∠ACB＝90°． 【解答】解：由作图痕迹可知，射线AC为∠OAB的平分线，OA＝OB， ∵∠MON＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴AC⊥OB， ∴∠ACB＝90°． 故选：C． 5．（2023秋•拱墅区校级期中）如图所示，在钝角△ABC中，AB为最长边．在边AB上找一点D，连接CD，使△DBC为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹，画出所有的情况）． 【分析】分两种情况：①作线段BC的中垂线，交AB于点D1，连接CD1即为所求；②以点B为圆心，BC的长为半径，画弧，交AB于点D即可． 【解答】解：如图所示，CD，CD1即为所求． 由作图可知：D1点是BC中垂线上一点， ∴CD＝BD， ∴△D1BC为等腰三角形． 由作图可知：BC＝CD， ∴△BDC为等腰三角形． 1．（2023秋•金华期中）如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，若∠B＝42°，∠C＝50°，则∠EAF的度数为（　　） A．56° B．28° C．46° D．23° 【分析】由作图可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，则AE＝BE，，从而得到∠BAE＝∠B＝42°，由三角形内角和定理求出EAC＝46°，即可得到答案． 【解答】解：由作图可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线， ∴AE＝BE，， ∴∠BAE＝∠B＝42°， ∵∠B+∠C+∠BAE+∠EAC＝180°，∠C＝50°， ∴∠EAC＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠BAE＝180°﹣42°﹣50°﹣42°＝46°， ∴∠， 故选：D． 2．（2023秋•东阳市期中）如图，在△ABC中，已知BD：CD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为（　　） A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2 【分析】由三角形面积公式推出SADE＝S△ABC，而△ABC的面积为12cm2，即可求出△ADE的面积． 【解答】解：∵BD：CD＝2：1， ∴SABD＝S△ABC， ∵点E是AB的中点， ∴SADE＝S△ABD＝S△ABC＝×12＝4（cm2）． 故选：C． 3．（2023秋•金华期中）如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是 　12　． 【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【解答】解：∵BD是△ABC的边AC上的中线， ∴S△ABD＝S△BCD＝S△ABC＝×32＝16， ∵AE是△ABD的边BD上的中线， ∴S△ABE＝S△ADE＝＝＝8， 又∵BF是△ABE的边AE上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线， ∴S△BEF＝S△ABF＝S△ABE＝，S△CEF＝S△ACF＝S△CED＝＝8， 则S阴影＝S△BEF+S△CEF＝4+8＝12， 故答案为：12． 4．（2023秋•绍兴期中）如图，自行车的三角架设计中，蕴含了 　三角形具有稳定性　的数学道理． 【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解． 【解答】解：自行车的三角架设计中，蕴含了三角形具有稳定性的数学道理． 故答案为：三角形具有稳定性． 5．（2023秋•浙江期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案． 【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 6．（2023秋•浙江期中）如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，因为AA′、BB′的中点O连在一起，因此OA＝OA′，OB＝OB′，还有对顶角相等，所以用的判定定理是边角边． 【解答】解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下： 连接A'B'， ∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO＝A′O，BO＝B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB＝∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′＝AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准． 故选：B． 7．（2023秋•乐清市校级期中）小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝7cm，EF＝8cm，则保温杯的壁厚为 　0.5　cm． 【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题． 【解答】解：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD＝7cm， ∵EF＝8cm， ∴圆柱形容器的壁厚是×（8﹣7）＝0.5（cm）， 故答案为：0.5． 8．（2023秋•金华期中）下列命题为假命题的是（　　） A．全等三角形对应边相等，对应角相等 B．全等三角形的周长相等，面积也相等 C．三条边对应相等的两个三角形全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【分析】利用全等三角形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、全等三角形对应边相等，对应角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，是真命题，不符合题意； C、三条边对应相等的两个三角形全等，正确，是真命题，不符合题意； D、三个角对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意． 故选：D． 9．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，得到△A′DE，A′E∥BC，A′D与AB相交于点F，当∠A＝32°时，则∠ADE的度数 　29°　． 【分析】根据折叠得到∠A′ED＝∠AED，平行得到∠A′EB＝∠B，利用∠AED+∠BED＝180°，求出∠BED的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝32°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝58°， ∵A′E∥BC， ∴∠A′EB＝∠B＝58°， 由折叠性质可得： ∴∠A′ED＝∠AED＝∠A′EB+∠BED， ∵∠AED+∠BED＝180°， ∴∠A′EB+∠BED+∠BED＝180°，即：58°+2∠BED＝180°， ∴∠BED＝61°， ∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝29°； 故答案为：29°． 10．（2023秋•江岸区期中）如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S△BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】首先通过SAS证明△AOB≌△COD，然后利用全等三角形的性质可得AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，可得∠CDO+∠BDO＝∠ABO+∠BDO＝90°，可得AB⊥CD；根据三角形外角的性质可得∠BDO＝∠BAO+∠AOD＝45°，根据全等三角形的性质可得∠BAO＝∠DCO，即可得∠AOD+∠OCD＝45°；过点D作DE∠OA于E，过点B作BF⊥CO交CO的延长线于F，证明△ODE≌△OBF，根据全等三角形的性质可得DE＝BF，利用三角形的面积公式即可得S△BOC＝S△AOD． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOC+∠AOD＝∠BOD+∠AOD， ∴∠AOB＝∠COD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，①正确； ∵∠BOD＝90°，OD＝OB， ∴∠CDO+∠BDO＝∠ABO+∠BDO＝90°，∠BDO＝∠DBO＝45°， ∴AB⊥CD，②正确； ∵∠BDO＝∠BAO+∠AOD＝45°， ∵△AOB≌△COD， ∴∠BAO＝∠DCO， ∴∠AOD+∠OCD＝45°，③正确； 过点D作DE⊥OA于E，过点B作BF⊥CO交CO的延长线于F， ∴∠F＝∠DEO＝90°， ∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOF﹣∠DOF＝∠BOD﹣∠DOF， ∴∠BOF＝∠DOE， ∵OD＝OB， ∴△ODE≌△OBF（AAS）， ∴DE＝BF， ∵OA＝OC， ∴OA•DE＝OC•BF， ∵S△BOC＝OC•BF，S△AOD＝OA•DE， ∴S△BOC＝S△AOD，④正确， 故选：D． 11．（2023秋•嵊州市期中）如图，在∠AOB的内部找出一点P，使得PM＝PN，且满足点P到OA与OB的距离相等． 【分析】连接MN，作线段MN的垂直平分线GH，作∠AOB的平分线OE交GH于点P，点P即为所求． 【解答】解：如图所示，点P即为所求： 12．（2023秋•浙江期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为　 　或6或8　． 【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质易证∠PEC＝∠CFQ，∠PCE＝∠CQF．只需PC＝QC，就可得到△PEC与△CFQ全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F， ∴∠PEC＝∠CFQ＝90°， ∴∠QCF+∠CQF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCE+∠QCF＝90°， ∴∠PCE＝∠CQF， ①当0≤t＜4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图， 此时有AP＝2t cm，BQ＝3t cm，AC＝8cm，BC＝14cm． 当PC＝QC即8﹣2t＝14﹣3t， 解得t＝6，不合题意舍去； ②当4＜t＜5时，点P在BC上，点Q也在BC上，如图， 若PC＝QC，则点P与点Q重合，即2t﹣8＝14﹣3t， 解得t＝； ③当5≤t＜时，点P在BC上，点Q在AC上，如图， 当PC＝QC即2t﹣8＝3t﹣14， 解得t＝6； ④当≤t＜7时，点Q停在点A处，点P在BC上，如图， 当PC＝QC即2t﹣8＝8， 解得t＝8； 综上所述：当t等于或6或8时，以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等． 故答案为：或6或8． 13．（2023秋•西湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC．求证： （1）△BDF≌△ADC； （2）BE⊥AC． 【分析】（1）根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠DBF＝∠DAC，然后根据直角三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DEC＝90°，即可得证． 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDF和Rt△ADC中， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）； （2）∵Rt△BDF≌Rt△ADC， ∴∠DBF＝∠DAC， ∵∠DAC+∠C＝90°， ∴∠DBF+∠C＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴BE⊥AC 14．（2023秋•椒江区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点M从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点M的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△ABM≌△DCM？ （2）当点M从点B开始运动，同时，点N从点C出发，以a cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在a，使得△ABM与△MNC全等？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当△ABM≌△DCM时，，据此可解； （2）分情况讨论，找出对应边，根据对应边相等列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）当△ABM≌△DCM时， 则， ∵BM＝2t，BC＝12， ∴2t＝6， 解得t＝3； （2）如图，当△ABM≌△NCM， 则， ∴2t＝6， 解得t＝3． ∴CN＝3a＝8， 解得a＝； 如图，当△ABM≌△MCN时， 则BM＝CN，AB＝MC＝8， ∴BM＝2t＝12﹣8＝4， 解得t＝2， ∴CN＝2a＝4， 解得a＝2； 综上可知，当a＝或2时，△ABM与△MNC全等． 15．（2023秋•滨城区期末）【问题发现】（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝　7　． 【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积． 【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【分析】（1）由∠ACD＝∠E＝90°，得∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，可证明△ABC≌△CED（AAS），即得AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，故BE＝BC+CE＝7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E＝∠ACD＝90°，即得∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，可证明△ABC≌△CED（AAS），得BC＝ED＝4，故S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE＝4，又∠ADC＝45°，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE＝AE＝4，CE＝CD﹣DE＝2，根据∠ABC＝∠CAB＝45°，可得∠ACB＝90°，AC＝BC，即有∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，即可证明△ACE≌△CBF（AAS），从而BF＝CE＝2，故S△BCD＝CD•BF＝6． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4， ∴BE＝BC+CE＝7； 故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC， ∴∠E＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4， ∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6， ∴×6•AE＝12， ∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝4， ∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴BF＝CE＝2， ∴S△BCD＝CD•BF＝6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$