第22章 二次函数 知识点分类练习-2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024年人教版九年级上册数学二次函数知识点分类练习附解析 一.二次函数的定义(共3小题) 1.下列函数是二次函数的是( ) A.y=3x B.y=﹣3x+5 C.y=﹣3x2+5x﹣2 D. 2.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( ) A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1 D.y=x2+ 3.若函数y=a是二次函数且图象开口向上,则a=( ) A.﹣2 B.4 C.4或﹣2 D.4或3 二.二次函数的图象(共7小题) 4.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是( ) A. B. C. D. 5.二次函数y=(x+2)2﹣1的图象大致为( ) A. B. C. D. 6.如图,点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数图象可能为( ) A. B. C. D. 7.已知四个二次函数的图象如图所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是 .(请用“>”连接排序) 8.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是 . 9.如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象,当y2>y1,x的取值范围是 . 10.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整. (1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下: x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 … 其中,m= . (2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分. (3)观察函数图象,写出两条函数的性质. (4)进一步探究函数图象发现: ①函数图象与x轴有 个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 个不相等的实数根; ②方程x2﹣2|x|=2有 个不相等的实数根; ③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个不相等的实数根时,a的取值范围是 . 三.二次函数的性质(共13小题) 11.抛物线y=x2﹣2mx+3的对称轴为直线x=2,则m的值为( ) A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4 12.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是( ) A.(﹣1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(1,﹣2) D.(1,2) 13.若二次函数y=(x﹣m)2﹣1,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( ) A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3 14.若(2,5)、(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则它的对称轴是( ) A.x=﹣ B.x=1 C.x=2 D.x=3 15.抛物线y=x2﹣6x+4的顶点坐标是( ) A.(3,5) B.(﹣3,5) C.(3,﹣5) D.(﹣3,﹣5) 16.已知二次函数y=2x2﹣4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是( ) A.x<1 B.x>1 C.x<2 D.x>2 17.若点A(2,y1),B(﹣3,y2),C(﹣1,y3)三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 18.已知二次函数y=﹣x2+2x+3,当x≥2时,y的取值范围是( ) A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3 19.抛物线y=﹣(x+)2﹣3的顶点坐标是( ) A.(,﹣3) B.(﹣,﹣3) C.(,3) D.(﹣,3) 20.已知二次函数y=(x﹣2)2+3,当x 时,y随x的增大而减小. 21.抛物线y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的对称轴是直线 . 22.如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标为 . 23.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0) (1)求m的值及抛物线的顶点坐标. (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标. 四.二次函数图象与系数的关系(共1小题) 24.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,分析下列四个结论: ①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c>0;④(a+c)2<b2, 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 五.二次函数图象与几何变换(共2小题) 25.二次函数y=﹣2x2+8x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象( ) A.向左平移2个单位,向上平移9个单位 B.向右平移2个单位,向上平移9个单位 C.向左平移2个单位,向下平移9个单位 D.向右平移2个单位,向下平移9个单位 26.将抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位,向上平移3个单位得到 . 六.二次函数的最值(共2小题) 27.在二次函数y=x2﹣2x﹣3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0,﹣4 B.0,﹣3 C.﹣3,﹣4 D.0,0 28.如图,在 ABC中,∠C=90 ,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为( ) A.19cm2 B.16cm2 C.15cm2 D.12cm2 七.二次函数的三种形式(共2小题) 29.函数y=x2+2x+1写成y=a(x﹣h)2+k的形式是( ) A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x﹣1)2+ C.y=(x﹣1)2﹣3 D.y=(x+2)2﹣1 30.把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a(x﹣h)2+k的形式时,应为( ) A.y=﹣(x﹣2)2+2 B.y=﹣(x﹣2)2+4 C.y=﹣(x+2)2+4 D.y=﹣(x﹣)2+3 八.抛物线与x轴的交点(共3小题) 31.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为( ) A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0,2或﹣2 32.已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是( ) A.﹣<m<3 B.﹣<m<2 C.﹣2<m<3 D.﹣6<m<﹣2 33.若抛物线y=kx2﹣3x﹣2与x轴有两个不同的交点,则k的取值范围是 . 九.根据实际问题列二次函数关系式(共2小题) 34.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90 ,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是( ) A.y= B.y= C.y= D.y= 35.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣x2 D.y=x2 一十.二次函数的应用(共9小题) 36.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( ) A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m 37.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=﹣x2+x+,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6m B.12m C.8m D.10m 38.如图,若被击打的小球飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有的关系为h=20t﹣5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为 s. 39.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多? 40.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少? (2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门? 41.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x﹣4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m. (1)当a=﹣时,①求h的值;②通过计算判断此球能否过网. (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m,离地面的高度为m的Q处时,乙扣球成功,求a的值. 42.小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x﹣h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度. (1)求抛物线的表达式. (2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离. 43.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析. 如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离 OA=3m,CA=2m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=﹣0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x﹣1)2+3.2. (1)求点P的坐标和a的值; (2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式. 44.为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元? 一十一.二次函数综合题(共16小题) 45.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为﹣3,则点D的横坐标最大值为 . 46.如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标. 47.已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D. (1)求此二次函数解析式; (2)连接DC、BC、DB,求证: BCD是直角三角形; (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得 PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 48.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m, AMB的面积为S. 求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值. (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. 49.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在抛物线上,且S AOP=4S BOC,求点P的坐标; (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. 50.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB. (1)求该抛物线的解析式; (2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得 BCD的面积最大?若存在,求出D点坐标及 BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得 QMB与 PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 51.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F. (1)求抛物线的解析式; (2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由. (3)若存在点P,使∠PCF=45 ,请直接写出相应的点P的坐标. 52.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式; (2)请在y轴上找一点M,使 BDM的周长最小,求出点M的坐标; (3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 53.已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4, (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值. 54.如图,抛物线y=x2+mx与直线y=﹣x+b相交于点A(2,0)和点B. (1)求m和b的值; (2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>﹣x+b的解集; (3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 55.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(4,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,点E是第一象限的抛物线上的一个动点.当 ACE面积最大时,请求出点E的坐标; (3)如图2,在抛物线上是否存在一点P,使∠CAP=45 ?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由. 56.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx﹣7的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点C为抛物线的顶点,且A,C两点的横坐标分别为1和4. (1)求点B的坐标; (2)求二次函数的函数表达式; (3)在(2)的抛物线上,是否存在点P,使得∠BAP=45 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 57.如图,二次函数y=(x+4)2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1)求抛物线的对称轴; (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P,使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 58.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A(﹣1,0),B(5,0),交y轴于点C. (1)求这个二次函数的表达式. (2)已知P是抛物线上一点,在直线BC上是否存在点Q,使以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q坐标;若不存在,请说明理由. 59.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),其顶点为P,对称轴与x轴交于点H. (1)求点A、P的坐标; (2)连接AP,点D是该二次函数图象第四象限上的动点,过D作DE⊥x轴于点E,点F是x轴上一点,是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与 APH全等?若存在,求出所有满足条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由. 60.已知如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(4,0),C(0,2),点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式和点D的坐标; (2)如图1,点E(x,y)是抛物线上的第一象限的点.求 ACE面积的最大值,并求 ACE面积取得最大值时x的值; (3)如图2,在抛物线上是否存在一点P,使 ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在请说明理由. 2024年人教版九年级上册数学二次函数知识点分类练习附解析 参考答案与试题解析 一.二次函数的定义(共3小题) 1.下列函数是二次函数的是( ) A.y=3x B.y=﹣3x+5 C.y=﹣3x2+5x﹣2 D. 【答案】C 【分析】形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数,由此判断即可. 【解答】解:A、y=3x是正比例函数,故此选项不符合题意; B、y=﹣3x+5是一次函数,故此选项不符合题意; C、y=﹣3x2+5x﹣2是二次函数,故此选项符合题意; D、不是二次函数,故此选项不符合题意; 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的定义,熟知二次函数的定义是解题的关键. 2.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( ) A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1 D.y=x2+ 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义,可得答案. 【解答】解:A、y=3x﹣1是一次函数,故A不符合题意; B、y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数,故B不符合题意; C、s=2t2﹣2t+1是二次函数,故C符合题意; D、y=x2+不是二次函数,故D不符合题意. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的定义,y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数,注意二次函数都是用含自变量的整式表示的. 3.若函数y=a是二次函数且图象开口向上,则a=( ) A.﹣2 B.4 C.4或﹣2 D.4或3 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到a2﹣2a﹣6=2,由抛物线的开口方向得到a>0,由此可以求得a的值. 【解答】解:∵函数y=a是二次函数且图象开口向上, ∴a2﹣2a﹣6=2,且a>0, 解得 a=4. 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的定义.二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式. 二.二次函数的图象(共7小题) 4.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意,ab>0,即a、b同号,分a>0与a<0两种情况讨论,分析选项可得答案. 【解答】解:根据题意,ab>0,即a、b同号, 当a>0时,b>0,y=ax2开口向上,过原点,y=ax+b过一、二、三象限; 此时,没有选项符合, 当a<0时,b<0,y=ax2开口向下,过原点,y=ax+b过二、三、四象限; 此时,D选项符合, 故选:D. 【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质,要求学生理解系数与图象的关系. 5.二次函数y=(x+2)2﹣1的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据函数解析式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可. 【解答】解:a=1>0,抛物线开口向上, 由解析式可知对称轴为x=﹣2,顶点坐标为(﹣2,﹣1). 故选:D. 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 6.如图,点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设A、E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数图象可能为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题需先设正方形的边长为m,然后得出y与x、m是二次函数关系,从而得出函数的图象. 【解答】解:设正方形的边长为m,则m>0, ∵AE=x, ∴DH=x, ∴AH=m﹣x, ∵EH2=AE2+AH2, ∴y=x2+(m﹣x)2, y=x2+x2﹣2mx+m2, y=2x2﹣2mx+m2, =2[(x﹣m)2+], =2(x﹣m)2+m2, ∴y与x的函数图象是A. 故选:A. 【点评】本题主要考查了二次函数的综合,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 7.已知四个二次函数的图象如图所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是 a1>a2>a3>a4 .(请用“>”连接排序) 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案. 【解答】解:如图所示:y=a1x2的开口小于y=a2x2的开口,则a1>a2>0, y=a3x2的开口大于y=a4x2的开口,开口向下,则a4<a3<0, 故a1>a2>a3>a4. 故答案为:a1>a2>a3>a4 【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键. 8.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是 ﹣3<x<1 . 【答案】见试题解答内容 【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1,一个交点为(1,0),可推出另一交点为(﹣3,0),结合图象求出y>0时,x的范围. 【解答】解:根据抛物线的图象可知: 抛物线的对称轴为x=﹣1,已知一个交点为(1,0), 根据对称性,则另一交点为(﹣3,0), 所以y>0时,x的取值范围是﹣3<x<1. 故答案为:﹣3<x<1. 【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性,找出抛物线y=﹣x2+bx+c的完整图象. 9.如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象,当y2>y1,x的取值范围是 ﹣2<x<1 . 【答案】见试题解答内容 【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标,再根据两函数图象的上下位置关系,判断y2>y1时,x的取值范围. 【解答】解:从图象上看出,两个交点坐标分别为(﹣2,0),(1,3), ∴当有y2>y1时,有﹣2<x<1, 故答案为:﹣2<x<1. 【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势. 10.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整. (1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下: x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 … 其中,m= 0 . (2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分. (3)观察函数图象,写出两条函数的性质. (4)进一步探究函数图象发现: ①函数图象与x轴有 3 个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有 3 个不相等的实数根; ②方程x2﹣2|x|=2有 2 个不相等的实数根; ③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个不相等的实数根时,a的取值范围是 ﹣1<a<0 . 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值; (2)描点、连线即可得到函数的图象; (3)根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称;当x>1时,y随x的增大而增大; (4)①根据函数图象与x轴的交点个数,即可得到结论;②如图,根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数,即可得到结论;③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1<a<0. 【解答】解:(1)把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0, 即m=0, 故答案为:0; (2)如图所示; (3)由函数图象知:①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称;②当x>1时,y随x的增大而增大; (4)①由函数图象知:函数图象与x轴有3个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个不相等的实数根; ②如图,∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点, ∴x2﹣2|x|=2有2个不相等的实数根; ③由函数图象知:∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个不相等的实数根, ∴a的取值范围是﹣1<a<0, 故答案为:3,3,2,﹣1<a<0. 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,正确的识别图象是解题的关键. 三.二次函数的性质(共13小题) 11.抛物线y=x2﹣2mx+3的对称轴为直线x=2,则m的值为( ) A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴为直线,计算即可. 【解答】解:∵抛物线y=x2﹣2mx+3的对称轴为直线x=2, ∴, 解得m=2, 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键. 12.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是( ) A.(﹣1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(1,﹣2) D.(1,2) 【答案】D 【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标. 【解答】解:∵顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k), ∴抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是(1,2). 故选:D. 【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键. 13.若二次函数y=(x﹣m)2﹣1,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( ) A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标,从而知该二次函数的单调区间. 【解答】解:∵二次函数的解析式y=(x﹣m)2﹣1的二次项系数是1, ∴该二次函数的开口方向是向上; 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是(m,﹣1), ∴该二次函数图象当x<m时,即y随x的增大而减小; 而已知中当x≤3时,y随x的增大而减小, ∴x≤3, ∴x﹣m≤0, ∴m≥3. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数图象的性质.解答该题时,须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y=(k﹣h)x2﹣b中的h,b的意义. 14.若(2,5)、(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则它的对称轴是( ) A.x=﹣ B.x=1 C.x=2 D.x=3 【答案】D 【分析】由已知,点(2,5)、(4,5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点,所以只需求两对称点横坐标的平均数. 【解答】解:因为点(2,5)、(4,5)在抛物线上, 根据抛物线上纵坐标相等的两点,其横坐标的平均数就是对称轴, 所以,对称轴x==3; 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数的对称性.二次函数关于对称轴成轴对称图形. 15.抛物线y=x2﹣6x+4的顶点坐标是( ) A.(3,5) B.(﹣3,5) C.(3,﹣5) D.(﹣3,﹣5) 【答案】C 【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标. 【解答】解:y=x2﹣6x+4=(x﹣3)2﹣5, 故抛物线y=x2﹣6x+4的顶点坐标是:(3,﹣5). 故选:C. 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,正确进行配方运算是解题关键. 16.已知二次函数y=2x2﹣4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是( ) A.x<1 B.x>1 C.x<2 D.x>2 【答案】B 【分析】将二次函数解析式化为顶点式,由抛物线对称轴及开口方向求解. 【解答】解:∵y=2x2﹣4x+5=2(x﹣1)2+3, ∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1, ∴x>1时,y随x增大而增大, 故选:B. 【点评】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系. 17.若点A(2,y1),B(﹣3,y2),C(﹣1,y3)三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2 【答案】C 【分析】先求出二次函数y=x2﹣4x﹣m的图象的对称轴,然后判断出A(2,y1),B(﹣3,y2),C(﹣1,y3)在抛物线上的位置,再根据二次函数的增减性求解. 【解答】解:∵二次函数y=x2﹣4x﹣m中a=1>0, ∴开口向上,对称轴为x=﹣=2, ∵A(2,y1)中x=2,∴y1最小, 又∵B(﹣3,y2),C(﹣1,y3)都在对称轴的左侧, 而在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故y2>y3. ∴y2>y3>y1. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的性质.关键是(1)找到二次函数的对称轴;(2)掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质. 18.已知二次函数y=﹣x2+2x+3,当x≥2时,y的取值范围是( ) A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3 【答案】B 【分析】先求出x=2时y的值,再求顶点坐标,根据函数的增减性得出即可. 【解答】解:当x=2时,y=﹣4+4+3=3, ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴当x>1时,y随x的增大而减小, ∴当x≥2时,y的取值范围是y≤3, 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的性质的应用,能理解二次函数的性质是解此题的关键,数形结合思想的应用. 19.抛物线y=﹣(x+)2﹣3的顶点坐标是( ) A.(,﹣3) B.(﹣,﹣3) C.(,3) D.(﹣,3) 【答案】B 【分析】已知抛物线解析式为顶点式,可直接写出顶点坐标. 【解答】解:y=﹣(x+)2﹣3是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣,﹣3). 故选:B. 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,关键是熟记:抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h. 20.已知二次函数y=(x﹣2)2+3,当x ≤2 时,y随x的增大而减小. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次函数的性质,找到解析式中的a为1和对称轴;由a的值可判断出开口方向,在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性. 【解答】解:在y=(x﹣2)2+3中,a=1, ∵a>0, ∴开口向上, 由于函数的对称轴为x=2, 当x≤2时,y的值随着x的值增大而减小; 当x≥2时,y的值随着x的值增大而增大. 故答案为:≤2. 【点评】本题考查了二次函数的性质,找到的a的值和对称轴,对称轴方程是解题的关键. 21.抛物线y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的对称轴是直线 x=1 . 【答案】见试题解答内容 【分析】先把抛物线的方程变为y=ax2﹣2ax﹣3a,由公式x=得抛物线的对称轴为x=1. 【解答】解:y=a(x+1)(x﹣3) =ax2﹣2ax﹣3a 由公式得, 抛物线的对称轴为直线x=1. 故答案为:x=1. 【点评】本题考查抛物线的对称轴的求法,同学们要熟练记忆抛物线的对称轴公式x=. 22.如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标为 (﹣2,0) . 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可. 【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称, ∴P,Q两点到对称轴x=1的距离相等, ∴Q点的坐标为:(﹣2,0). 故答案为:(﹣2,0). 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,正确利用函数对称性得出答案是解题关键. 23.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0) (1)求m的值及抛物线的顶点坐标. (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)首先把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3,利用待定系数法即可求得m的值,继而求得抛物线的顶点坐标; (2)首先连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,然后利用待定系数法求得直线BC的解析式,继而求得答案. 【解答】解:(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3得:0=﹣32+3m+3, 解得:m=2, ∴y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴顶点坐标为:(1,4). (2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小, 设直线BC的解析式为:y=kx+b, ∵点C(0,3),点B(3,0), ∴, 解得:, ∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3, 当x=1时,y=﹣1+3=2, ∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为:(1,2). 【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题.注意找到点P的位置是解此题的关键. 四.二次函数图象与系数的关系(共1小题) 24.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,分析下列四个结论: ①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c>0;④(a+c)2<b2, 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】①由抛物线的开口方向,抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号,即得abc的符号; ②由抛物线与x轴有两个交点判断即可; ③分别比较当x=﹣3时、x=1时,y的取值,然后解不等式组可得6a+3c<0,即2a+c<0;又因为a<0,所以3a+c<0.故错误; ④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c<0,再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c>0,两个不等式相乘,根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后,得到(a+c)2<b2, 【解答】解:①由开口向下,可得a<0,又由抛物线与y轴交于正半轴,可得c>0,然后由对称轴在y轴左侧,得到b与a同号,则可得b<0,abc>0,故①错误; ②由抛物线与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0,故②正确; ③当x=﹣3,y<0时,即9a﹣3b+c<0 (1) 当x=1时,y<0,即a+b+c<0 (2) (1)+(2) 3得:12a+4c<0, 即4(3a+c)<0 又∵4>0, ∴3a+c<0. 故③错误; ④∵x=1时,y=a+b+c<0,x=﹣1时,y=a﹣b+c>0, ∴(a+b+c)(a﹣b+c)<0, 即[(a+c)+b][(a+c)﹣b]=(a+c)2﹣b2<0, ∴(a+c)2<b2, 故④正确. 综上所述,正确的结论有2个. 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定. 五.二次函数图象与几何变换(共2小题) 25.二次函数y=﹣2x2+8x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象( ) A.向左平移2个单位,向上平移9个单位 B.向右平移2个单位,向上平移9个单位 C.向左平移2个单位,向下平移9个单位 D.向右平移2个单位,向下平移9个单位 【答案】C 【分析】根据配方法,可得顶点式解析式,根据平移规律“左加右减,上加下减”,可得答案. 【解答】解:二次函数y=﹣2x2+8x+1的顶点坐标为(2,9),y=﹣2x2的顶点坐标为(0,0), 只需将函数y=﹣2x2+8x+1的图象向左移动2个单位,向下移动9个单位即可. 故选:C. 【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换,关键是讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可. 26.将抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位,向上平移3个单位得到 y=﹣2(x﹣2)2+3或y=﹣2x2+8x﹣5 . 【答案】y=﹣2(x﹣2)2+3或y=﹣2x2+8x﹣5. 【分析】抛物线平移不改变a的值,利用平移规律解答即可. 【解答】解:抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位,向上平移3个单位, 根据“上加下减,左加右减”规律可得抛物线是y=﹣2(x﹣2)2+3=﹣2x2+8x﹣5, 故答案为:y=﹣2(x﹣2)2+3或y=﹣2x2+8x﹣5. 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换,根据“上加下减,左加右减”的规律进行解答即可,熟知函数图象平移的规律是解题的关键. 六.二次函数的最值(共2小题) 27.在二次函数y=x2﹣2x﹣3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0,﹣4 B.0,﹣3 C.﹣3,﹣4 D.0,0 【答案】A 【分析】首先求得抛物线的对称轴,抛物线开口向上,在顶点处取得最小值,在距对称轴最远处取得最大值. 【解答】解:抛物线的对称轴是直线x=1, 则当x=1时,y=1﹣2﹣3=﹣4,是最小值; 当x=3时,y=9﹣6﹣3=0是最大值. 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,正确理解取得最大值和最小值的条件是关键. 28.如图,在 ABC中,∠C=90 ,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值为( ) A.19cm2 B.16cm2 C.15cm2 D.12cm2 【答案】C 【分析】(方法一)在Rt ABC中,利用勾股定理可得出AC=6cm,设运动时间为t s(0≤t≤4),则PC=(6﹣t)cm,CQ=2tcm,利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24,利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值,此题得解; (方法二)由S四边形PABQ+S CPQ=S ABC,可得出当 CPQ的面积最大时,四边形PABQ的面积最小,在Rt ABC中,利用勾股定理可得出AC=6cm,设运动时间为t s(0≤t≤4),则PC=(6﹣t)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面积公式可得出S CPQ=﹣t2+6t,利用配方法可求出 CPQ的面积最大值,再用 ABC的面积减去该值即可得出结论. 【解答】解:(方法一)在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=10cm,BC=8cm, ∴AC==6cm. 设运动时间为t s(0≤t≤4),则PC=(6﹣t)cm,CQ=2tcm, ∴S四边形PABQ=S ABC﹣S CPQ=AC•BC﹣PC•CQ= 6 8﹣(6﹣t) 2t=t2﹣6t+24=(t﹣3)2+15. ∵1>0, ∴当t=3时,四边形PABQ的面积取最小值,最小值为15cm2. (方法二)∵S四边形PABQ+S CPQ=S ABC, ∴当 CPQ的面积最大时,四边形PABQ的面积最小. 在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=10cm,BC=8cm, ∴AC==6cm. 设运动时间为t s(0≤t≤4),则PC=(6﹣t)cm,CQ=2tcm, ∴S CPQ=PC•CQ= (6﹣t) 2t=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9. ∵﹣1<0, ∴当t=3时, CPQ的面积取最大值,最大值为9cm2, ∴四边形PABQ的面积最小值为 6 8﹣9=15(cm2). 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理,解题的关键是:(1)利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ=t2﹣6t+24;(2)利用配方法求出 CPQ的面积最大值. 七.二次函数的三种形式(共2小题) 29.函数y=x2+2x+1写成y=a(x﹣h)2+k的形式是( ) A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x﹣1)2+ C.y=(x﹣1)2﹣3 D.y=(x+2)2﹣1 【答案】D 【分析】利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式. 【解答】解:y=x2+2x+1=(x2+4x+4)﹣2+1=(x+2)2﹣1 故选:D. 【点评】二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数); (2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k; (3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2). 30.把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a(x﹣h)2+k的形式时,应为( ) A.y=﹣(x﹣2)2+2 B.y=﹣(x﹣2)2+4 C.y=﹣(x+2)2+4 D.y=﹣(x﹣)2+3 【答案】C 【分析】利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式. 【解答】解:y=﹣x2﹣x+3=﹣(x2+4x+4)+1+3=﹣(x+2)2+4. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数); (2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k; (3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2). 八.抛物线与x轴的交点(共3小题) 31.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为( ) A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0,2或﹣2 【答案】D 【分析】分为两种情况:函数是二次函数,函数是一次函数,求出即可. 【解答】解:分为两种情况: ①当函数是二次函数时, ∵函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点, ∴ =(m+2)2﹣4m(m+1)=0且m≠0, 解得:m= 2, ②当函数是一次函数时,m=0, 此时函数解析式是y=2x+1,和x轴只有一个交点, 故选:D. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,根的判别式的应用,用了分类讨论思想,题目比较好,但是也比较容易出错. 32.已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是( ) A.﹣<m<3 B.﹣<m<2 C.﹣2<m<3 D.﹣6<m<﹣2 【答案】D 【分析】如图,解方程﹣x2+x+6=0得A(﹣2,0),B(3,0),再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+2)(x﹣3),即y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3),然后求出直线•y=﹣x+m经过点A(﹣2,0)时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共点时m的值,从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围. 【解答】解:如图,当y=0时,﹣x2+x+6=0,解得x1=﹣2,x2=3,则A(﹣2,0),B(3,0), 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x﹣3), 即y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3), 当直线•y=﹣x+m经过点A(﹣2,0)时,2+m=0,解得m=﹣2; 当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解,解得m=﹣6, 所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为﹣6<m<﹣2. 故选:D. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换. 33.若抛物线y=kx2﹣3x﹣2与x轴有两个不同的交点,则k的取值范围是 . 【答案】k>且k≠0. 【分析】根据 =b2﹣4ac决定抛物线与x轴有两个交点,得到 =(﹣2)2﹣4k 1>0,k≠0,然后解不等式即可. 【解答】解:根据题意得 =(﹣3)2﹣4k (﹣2)=9+8k>0, 解得:k>﹣, 由于该函数为二次函数, 则k≠0. ∴k>且k≠0. 故答案为:k>且k≠0. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,解答本题的关键是明确二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系, =b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数: =b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点; =b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点; =b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 九.根据实际问题列二次函数关系式(共2小题) 34.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90 ,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是( ) A.y= B.y= C.y= D.y= 【答案】C 【分析】四边形ABCD图形不规则,根据已知条件,将 ABC绕A点逆时针旋转90 到 ADE的位置,求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题;根据全等三角形线段之间的关系,结合勾股定理,把梯形上底DE,下底AC,高DF分别用含x的式子表示,可表示四边形ABCD的面积. 【解答】解:作AE⊥AC,DE⊥AE,两线交于E点,作DF⊥AC垂足为F点, ∵∠BAD=∠CAE=90 ,即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD,∠ACB=∠E=90 ∴ ABC≌ ADE(AAS) ∴BC=DE,AC=AE, 设BC=a,则DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a, CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a, 在Rt CDF中,由勾股定理得, CF2+DF2=CD2,即(3a)2+(4a)2=x2, 解得:a=, ∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= (DE+AC) DF = (a+4a) 4a =10a2 =x2. 故选:C. 【点评】本题运用了旋转法,将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积,充分运用了全等三角形,勾股定理在解题中的作用. 35.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣x2 D.y=x2 【答案】C 【分析】由图中可以看出,所求抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,可设此函数解析式为:y=ax2,利用待定系数法求解. 【解答】解:设此函数解析式为:y=ax2,a≠0; 那么(2,﹣2)应在此函数解析式上. 则﹣2=4a 即得a=﹣, 那么y=﹣x2. 故选:C. 【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键,关键在于找到在此函数解析式上的点. 一十.二次函数的应用(共9小题) 36.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的关系式为y=﹣x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为( ) A.﹣20m B.10m C.20m D.﹣10m 【答案】C 【分析】根据题意,把y=﹣4直接代入解析式即可解答. 【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4, 把y=﹣4代入y=﹣x2, 得x= 10, ∴A(﹣10,﹣4),B(10,﹣4), ∴AB=20m. 即水面宽度AB为20m. 故选:C. 【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题. 37.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=﹣x2+x+,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6m B.12m C.8m D.10m 【答案】D 【分析】依题意,该二次函数与x轴的交点的x值为所求.即在抛物线解析式中.令y=0,求x的正数值. 【解答】解:把y=0代入y=﹣x2+x+得: ﹣x2+x+=0, 解之得:x1=10,x2=﹣2. 又x>0,解得x=10. 故选:D. 【点评】本题涉及二次函数的实际应用,难度一般. 38.如图,若被击打的小球飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有的关系为h=20t﹣5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s. 【答案】见试题解答内容 【分析】根据关系式,令h=0即可求得t的值为飞行的时间 【解答】解: 依题意,令h=0得 0=20t﹣5t2 得t(20﹣5t)=0 解得t=0(舍去)或t=4 即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4. 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.此题为数学建模题,关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形,借助二次函数解决实际问题.此题较为简单 39.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多? 【答案】见试题解答内容 【分析】此题属于经营问题,若设每件衬衫应降价x元,则每件所得利润为(40﹣x)元,但每天多售出2x件即售出件数为(20+2x)件,因此每天盈利为(40﹣x)(20+2x)元,进而可根据题意列出方程求解. 【解答】解:(1)设每件衬衫应降价x元, 根据题意得(40﹣x)(20+2x)=1200, 整理得2x2﹣60x+400=0 解得x1=20,x2=10. 因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快, 故每件衬衫应降20元. 答:每件衬衫应降价20元. (2)设商场平均每天盈利y元,则 y=(20+2x)(40﹣x) =﹣2x2+60x+800 =﹣2(x2﹣30x﹣400)=﹣2[(x﹣15)2﹣625] =﹣2(x﹣15)2+1250. ∴当x=15时,y取最大值,最大值为1250. 答:每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多,最大利润为1250元. 【点评】(1)当降价20元和10元时,每天都盈利1200元,但降价10元不满足“尽量减少库存”,所以做题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件; (2)要用配方法将代数式变形,转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式. 40.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少? (2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,当t=时,y最大=4.5; (2)把x=28代入x=10t得t=2.8,当t=2.8时,y=﹣ 2.82+5 2.8+=2.25<2.44,于是得到他能将球直接射入球门. 【解答】解:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5), ∴, 解得:, ∴抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+, ∴当t=时,y最大=4.5; (2)把x=28代入x=10t得t=2.8, ∴当t=2.8时,y=﹣ 2.82+5 2.8+=2.25<2.44, ∴他能将球直接射入球门. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,以及二次函数的应用,正确求得解析式是解题的关键. 41.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x﹣4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m. (1)当a=﹣时,①求h的值;②通过计算判断此球能否过网. (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m,离地面的高度为m的Q处时,乙扣球成功,求a的值. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)①将点P(0,1)代入y=﹣(x﹣4)2+h即可求得h;②求出x=5时,y的值,与1.55比较即可得出判断; (2)将(0,1)、(7,)代入y=a(x﹣4)2+h代入即可求得a、h. 【解答】解:(1)①当a=﹣时,y=﹣(x﹣4)2+h, 将点P(0,1)代入,得:﹣ 16+h=1, 解得:h=; ②把x=5代入y=﹣(x﹣4)2+,得:y=﹣ (5﹣4)2+=1.625, ∵1.625>1.55, ∴此球能过网; (2)把(0,1)、(7,)代入y=a(x﹣4)2+h,得: , 解得:, ∴a=﹣. 【点评】本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键. 42.小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x﹣h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度. (1)求抛物线的表达式. (2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由抛物线顶点(5,3.2),设抛物线的表达式为y=a(x﹣5)2+3.2,用待定系数法可得抛物线的表达式为y=﹣x2+x+; (2)当y=1.6时,﹣x2+x+=1.6,解得x=1或x=9,即得她与爸爸的水平距离为2m或6m. 【解答】解:(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3.2), 设抛物线的表达式为y=a(x﹣5)2+3.2,将(0,0.7)代入得: 0.7=25a+3.2, 解得a=﹣, ∴y=﹣(x﹣5)2+3.2=﹣x2+x+, 答:抛物线的表达式为y=﹣x2+x+; (2)当y=1.6时,﹣x2+x+=1.6, 解得x=1或x=9, ∴她与爸爸的水平距离为3﹣1=2(m)或9﹣3=6(m), 答:当她的头顶恰好接触到水柱时,与爸爸的水平距离是2m或6m. 【点评】本题考查二次函数的应用,解题的关键是读懂题意,把实际问题转化为数学问题. 43.小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析. 如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离 OA=3m,CA=2m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=﹣0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x﹣1)2+3.2. (1)求点P的坐标和a的值; (2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式. 【答案】(1)点P的坐标为(0,2.8);a的值是﹣0.4; (2)选择吊球方式,球的落地点到C点的距离更近. 【分析】(1)在y=﹣0.4x+2.8中,令x=0可解得点P的坐标为(0,2.8);把P(0,2.8)代入y=a(x﹣1)2+3.2得a的值是﹣0.4; (2)在y=﹣0.4x+2.8中,令y=0得x=7,在y=﹣0.4(x﹣1)2+3.2中,令y=0可得x=﹣2+1(舍去)或x=2+1≈3.83,由|7﹣5|>|3.83﹣5|,即可得到答案. 【解答】解:(1)在y=﹣0.4x+2.8中,令x=0得y=2.8, ∴点P的坐标为(0,2.8); 把P(0,2.8)代入y=a(x﹣1)2+3.2得:a+3.2=2.8, 解得:a=﹣0.4, ∴a的值是﹣0.4; (2)∵OA=3m,CA=2m, ∴OC=5m, ∴C(5,0), 在y=﹣0.4x+2.8中,令y=0得x=7, 在y=﹣0.4(x﹣1)2+3.2中,令y=0得x=﹣2+1(舍去)或x=2+1≈3.83, ∵|7﹣5|>|3.83﹣5|, ∴选择吊球方式,球的落地点到C点的距离更近. 【点评】本题考查一次函数,二次函数的应用,解题的关键是读懂题意,求出二次函数解析式,掌握函数图象上点坐标的特征. 44.为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元? 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据销售额=销售量 销售单价,列出函数关系式; (2)用配方法将(1)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值; (3)把y=150代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求x,根据x的取值范围求x的值. 【解答】解:(1)由题意得出: w=(x﹣20)∙y =(x﹣20)(﹣2x+80) =﹣2x2+120x﹣1600, 故w与x的函数关系式为:w=﹣2x2+120x﹣1600; (2)w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200, ∵﹣2<0, ∴当x=30时,w有最大值.w最大值为200. 答:该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元. (3)当w=150时,可得方程﹣2(x﹣30)2+200=150. 解得 x1=25,x2=35. ∵35>28, ∴x2=35不符合题意,应舍去. 答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元. 【点评】本题考查了二次函数的运用.关键是根据题意列出函数关系式,运用二次函数的性质解决问题. 一十一.二次函数综合题(共16小题) 45.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为﹣3,则点D的横坐标最大值为 8 . 【答案】见试题解答内容 【分析】当C点横坐标最小时,抛物线顶点必为A(1,4),根据此时抛物线的对称轴,可判断出CD间的距离; 当D点横坐标最大时,抛物线顶点为B(4,4),再根据此时抛物线的对称轴及CD的长,可判断出D点横坐标最大值. 【解答】解:当点C横坐标为﹣3时,抛物线顶点为A(1,4),对称轴为x=1,此时D点横坐标为5,则CD=8; 当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,故C(0,0),D(8,0); 由于此时D点横坐标最大, 故点D的横坐标最大值为8; 故答案为:8. 【点评】本题主要考查了二次函数的性质和图象,用直接开平方法解一元二次方程等知识点,求出符合已知的抛物线的顶点位置是解此题的关键,此题是一个比较典型的题目. 46.如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2). (1)求抛物线的表达式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可; (2)由(1)的解析式求出顶点坐标,再由勾股定理求出CD的值,再以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于P1,以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2,P3,作CE垂直于对称轴于点E,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论; (3)先求出BC的解析式,设出E点的坐标为(a,﹣a+2),就可以表示出F的坐标,由四边形CDBF的面积=S BCD+S CEF+S BEF求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论. 【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A(﹣1,0),C(0,2). 解得:, ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2; (2)∵y=﹣x2+x+2, ∴y=﹣(x﹣)2+, ∴抛物线的对称轴是直线x=. ∴OD=. ∵C(0,2), ∴OC=2. 在Rt OCD中,由勾股定理,得 CD=. ∵ CDP是以CD为腰的等腰三角形, ∴CP1=DP2=DP3=CD. 作CM⊥x对称轴于M, ∴MP1=MD=2, ∴DP1=4. ∴P1(,4),P2(,),P3(,﹣); (3)当y=0时,0=﹣x2+x+2 ∴x1=﹣1,x2=4, ∴B(4,0). 设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得 , 解得:, ∴直线BC的解析式为:y=﹣x+2. 如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣a+2),F(a,﹣a2+a+2), ∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0<a<4). ∵S四边形CDBF=S BCD+S CEF+S BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN, =+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a), =﹣a2+4a+(0<a<4). =﹣(a﹣2)2+ ∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=, ∴E(2,1). 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用,二次函数的解析式的运用,勾股定理的运用,等腰三角形的性质的运用,四边形的面积的运用,解答时求出函数的解析式是关键. 47.已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D. (1)求此二次函数解析式; (2)连接DC、BC、DB,求证: BCD是直角三角形; (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得 PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式; (2)分别求得线段BC、CD、BD的长,利用勾股定理的逆定理进行判定即可; (3)分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论.运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系,再结合抛物线解析式即可求解. 【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3), ∴根据题意,得, 解得, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3. (2)由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4得,D点坐标为(1,4), 定义抛物线y=﹣x2+2x+3.令y=0,﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或3, ∴A(﹣1,0),B(3,0), ∴CD==, BC==3, BD==2, ∵CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=20, ∴CD2+BC2=BD2, ∴ BCD是直角三角形; (3)存在. y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1. ①若以CD为底边,则P1D=P1C, 设P1点坐标为(x,y),根据勾股定理可得P1C2=x2+(3﹣y)2,P1D2=(x﹣1)2+(4﹣y)2, 因此x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2, 即y=4﹣x. 又P1点(x,y)在抛物线上, ∴4﹣x=﹣x2+2x+3, 即x2﹣3x+1=0, 解得x1=,x2=<1,应舍去, ∴x=, ∴y=4﹣x=, 即点P1坐标为(,). ②若以CD为一腰, ∵点P2在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P2与点C关于直线x=1对称, 此时点P2坐标为(2,3). ∴符合条件的点P坐标为(,)或(2,3). 【点评】此题是一道典型的“存在性问题”,结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质,考查了它们存在的条件,有一定的开放性. 48.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m, AMB的面积为S. 求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值. (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)先假设出函数解析式,利用三点法求解函数解析式. (2)设出M点的坐标,利用S=S AOM+S OBM﹣S AOB即可进行解答; (3)当OB是平行四边形的边时,表示出PQ的长,再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可;当OB是对角线时,由图可知点A与P应该重合. 【解答】解:(1)设此抛物线的函数解析式为: y=ax2+bx+c(a≠0), 将A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点代入函数解析式得: 解得, 所以此函数解析式为:y=; (2)∵M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上, ∴M点的坐标为:(m,), ∴S=S AOM+S OBM﹣S AOB = 4 (﹣m2﹣m+4)+ 4 (﹣m)﹣ 4 4 =﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 =﹣m2﹣4m, =﹣(m+2)2+4, ∵﹣4<m<0, 当m=﹣2时,S有最大值为:S=﹣4+8=4. 答:m=﹣2时S有最大值S=4. (3)设P(x,x2+x﹣4). 当OB为边时,根据平行四边形的性质知PQ∥OB,且PQ=OB, ∴Q的横坐标等于P的横坐标, 又∵直线的解析式为y=﹣x, 则Q(x,﹣x). 由PQ=OB,得|﹣x﹣(x2+x﹣4)|=4, 解得x=0,﹣4,﹣2 2. x=0不合题意,舍去. 如图,当BO为对角线时,知A与P应该重合,OP=4.四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4,Q横坐标为4,代入y=﹣x得出Q为(4,﹣4). 由此可得Q(﹣4,4)或(﹣2+2,2﹣2)或(﹣2﹣2,2+2)或(4,﹣4). 【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法,以及抛物线的性质和最值的求解方法. 49.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在抛物线上,且S AOP=4S BOC,求点P的坐标; (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)把点A、C的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数的方程组,通过解方程组求得系数的值; (2)设P点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3),根据S AOP=4S BOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到点P的坐标; (3)先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3,再设Q点坐标为(x,x+3),则D点坐标为(x,x2+2x﹣3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值. 【解答】解:(1)把A(﹣3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得 , 解得. 故该抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3. (2)设P(x,﹣x2﹣2x+3), 由(1)知,该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,则易得B(1,0). ∵S AOP=4S BOC, ∴ 3 |﹣x2﹣2x+3|=4 1 3. 整理,得(x+1)2=0或x2+2x﹣7=0, 解得x=﹣1或x=﹣1 2. 则符合条件的点P的坐标为:(﹣1,4)或(﹣1+2,﹣4)或(﹣1﹣2,﹣4); (3)设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(﹣3,0),C(0,3)代入, 得, 解得. 即直线AC的解析式为y=x+3. 设Q点坐标为(x,x+3),(﹣3≤x≤0),则D点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3), QD=(﹣x2﹣2x+3)﹣(x+3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+)2+, ∴当x=﹣时,QD有最大值. 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题.此题难度适中,解题的关键是运用方程思想与数形结合思想. 50.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB. (1)求该抛物线的解析式; (2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得 BCD的面积最大?若存在,求出D点坐标及 BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得 QMB与 PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式, (2)设D(t,﹣t2+2t+3),过点D作DH⊥x轴,根据S BCD=S梯形OCDH+S BDH﹣S BOC=﹣t2+t,即可求出D点坐标及 BCD面积的最大值, (3)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q,根据直线BC的解析式为y=﹣x+3,过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5,得Q的坐标为(2,3),根据PM的解析式为:x=1,直线BC的解析式为y=﹣x+3,得M的坐标为(1,2),设PM与x轴交于点E,求出过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1,根据得点Q的坐标为(,﹣),(,﹣). 【解答】解:(1)由得,则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3, (2)设D(t,﹣t2+2t+3),过点D作DH⊥x轴, 则S BCD=S梯形OCDH+S BDH﹣S BOC=(﹣t2+2t+3+3)t+(3﹣t)(﹣t2+2t+3)﹣ 3 3=﹣t2+t, ∵﹣<0, ∴当t=﹣=时,D点坐标是(,), BCD面积的最大值是; (3)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q, ∵P点的坐标为(1,4),直线BC的解析式为y=﹣x+3, ∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5, 由得Q的坐标为(2,3), ∵PM的解析式为x=1,直线BC的解析式为y=﹣x+3, ∴M的坐标为(1,2), 设PM与x轴交于点E, ∵PM