专题03 实数（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题03实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、平方根的概念 【解惑】关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【融会贯通】 1．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．2 D．6 2．若m、n是9的两个平方根，则 ． 3．若正数的平方根分别是和，则_____． 类型二、立方根的概念 【解惑】若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 2．若，则 ． 3．若和互为相反数，则的值为 ． 类型三、求一个数的平方根 【解惑】一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【融会贯通】 1．的平方根是（　　） A．4 B． C． D． 2．的算术平方根是   ，若，则x= 3．已知，的平方根是，则的平方根为 ． 类型四、求一个数的算术平方根 【解惑】下列各数中，算术平方根为小数的是（　　） A．1 B．4 C．5 D．9 【融会贯通】 1．12的算术平方根是（    ） A．6 B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．的算术平方根是 ． 类型五、求一个数的立方根 【解惑】下列哪一个数与方程的解最接近（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．的立方根是（    ） A．0.1 B． C． D．0.01 2．的值为 ． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4．则 ， ． 类型六、实数的概念 【解惑】实数π的相反数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 2．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 3．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 类型七、无理数 【解惑】已知实数：，，，0，3.1415926，，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），则无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【融会贯通】 1．在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．在下列五个实数①、②、③、④，⑤中，无理数的个数有 个． 3．在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥6，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ；无理数有 ．（填写序号） 类型八、算术平方根的非负性 【解惑】若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【融会贯通】 1．已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 2．已知x，y为实数，且 则的值为 3．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 类型九、实数的程序运算 【解惑】根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 2．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于 ． 3．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 类型十、实数的分类 【解惑】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【融会贯通】 1．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨100，⑩． 正数集合{____________________…}； 整数集合{____________________…}； 负分数集合{____________________…}； 自然数集合{____________________…}； 有理数集合{____________________…}． 2．把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③，④…，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{______________________…}； 分数集合：{______________________…}； 负有理数集合：{__________________…}； 无理数集合：{____________________…}． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号里。 ①，②4，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个3），⑧0 整数集合{                        }； 无理数集合：{                        }； 正有理数集合：{                        }； 分数集合：{                        }． 【一览众山小】 1．在实数、0、、、、中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，错误的是（    ） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是 C．8的立方根是 D．是4的平方根 3．的立方根是（    ） A． B．2 C． D．16 4．49的算术平方根是 ，的立方根是 ． 5．若和的立方根互为相反数，则a＝ ． 6．若，那么的值等于 ． 7．计算： (1) (2) (3) 8．将下列数的序号填入对应的横线上． ①；②3.141；③0；④2022；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩； (1)负整数集合：{　　…}； (2)正分数集合：{　　…}； (3)非正数集合：{　　…}； (4)有理数集合：{　　…}． 9．已知x是16的平方根，y是的立方根，且，求的算术平方根． 10．阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、平方根的概念 【解惑】关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；根据平方根的意义与性质进行判断即可． 【详解】①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 故选：A． 【融会贯通】 1．下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，根据负数没有平方根，进行判断即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， 又∵选项中只有A选项为负数， ∴A选项没有平方根． 故选：A． 2．若m、n是9的两个平方根，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵m、n是9的两个平方根， ∴， 故答案为：0． 3．若正数的平方根分别是和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根互为相反数，可得和的关系，根据解一元一次方程，可得的值，根据平方运算即可求值，解题的关键是正确理解平方根的概念． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数， ∴， ∴，即，， ∴， 故答案为：． 类型二、立方根的概念 【解惑】若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，相反数，立方根，根据题意列出，移项，再两边同时进行3次方，即可判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键，根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可． 【详解】解：， 是的立方根，故选项A、C、 D均错误； B正确． 故选：B． 2．若，则 ． 【答案】3 【分析】利用立方根的定义求出的值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 3．若和互为相反数，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据和互为相反数，则被开方数一定互为相反数，即可求出，的式子，进而得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查立方根的定义和性质，解题的关键在于掌握一个数的立方根与原数的性质符号相同，则两个数的立方根互为相反数，则这两个数一定互为相反数． 类型三、求一个数的平方根 【解惑】一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了平方根．利用了开方运算，注意一个正数的平方根有两个． 【详解】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0， 故选：A． 【融会贯通】 1．的平方根是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根的区别，注意先求得的值，再求其平方根． 【详解】解：． 4的平方根为． 故选：C． 2．的算术平方根是   ，若，则x= 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的定义．先求出，然后求出4的算术平方根即可解答第一空；先求出，然后求出4的平方根即可解答第二空． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2； ∵， ∴， 又，， ∴． 故答案为：2，． 3．已知，的平方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，解题的关键是根据题意得出，． 【详解】解：由题意可得，， 解得：，， 则， 那么的平方根为， 故答案为：． 类型四、求一个数的算术平方根 【解惑】下列各数中，算术平方根为小数的是（　　） A．1 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键；分别求出每个选项的算术平方根即可； 【详解】、1的算术平方根是1，故本选项不符合题意； 、4的算术平方根是2，故本选项不符合题意； 、5的算术平方根是，而是小数，故本选项符合题意； 、9的算术平方根是3，故本选项不符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．12的算术平方根是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，利用算术平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解；12的算术平方根是：， 故选：D 2．计算的结果为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的性质计算，再计算有理数的减法即可． 【详解】解：， 故答案为：4 3．的算术平方根是 ． 【答案】// 【分析】此题主要考查算术平方根的定义，由题意根据算平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 类型五、求一个数的立方根 【解惑】下列哪一个数与方程的解最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算,其中“夹逼法”是估算的一般方法．应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断被开方数距离哪个整数的被开方数近,就接近哪个整数,由此即可求解． 【详解】解:∵方程的根是, ∴,, ∵,可知距离更近, ∴的解最接近． 故选:B． 【融会贯通】 1．的立方根是（    ） A．0.1 B． C． D．0.01 【答案】A 【分析】本题考查立方根，掌握开立方的法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选A． 2．的值为 ． 【答案】3 【分析】根据立方根计算即可． 本题考查了立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：3． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4．则 ， ． 【答案】 5 2 【分析】本题主要考查了立方根以及算术平方根．根据立方根的定义可得，即可求出的值，根据算术平方根的定义可得，即可算出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： ，， 解得：，， 故答案为：5，2． 类型六、实数的概念 【解惑】实数π的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用实数a的相反数是进行求解． 【详解】解：由题意得，实数π的相反数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 【答案】D 【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决. 【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误； B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误； C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误； D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确； 故选：D 【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键. 2．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ． 【答案】2 【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答． 【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误； ②有理数分为正数、负数和0,故②错误； ③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误； ④非负数包含正数和0，故④错误； ⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确； ⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 综上，正确的有⑤和⑥，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键． 3．下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 类型七、无理数 【解惑】已知实数：，，，0，3.1415926，，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），则无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根， 先求出，然后再根据无理数的定义一一判断即可． 【详解】解：，4是有理数， 在，，，0，3.1415926，，，，（两个1之间依次多一个0）无理数有：，，，（两个1之间依次多一个0）一共4个， 故选：C． 【融会贯通】 1．在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个， 故选：C． 2．在下列五个实数①、②、③、④，⑤中，无理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数的几类形式：①含开不尽方的数，②含的数，③有规律但不循环的数，直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 、、是无理数， 故答案为3． 3．在下列数中：①π，②，③，④1.7，⑤，⑥6，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 ；无理数有 ．（填写序号） 【答案】 ⑥⑧ ①⑤⑦ 【分析】本题考查实数的分类及定义，无理数：无限不循环小数，大于等于0的整数为非负整数；必须熟练掌握．根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦； 故答案为：⑥⑧；①⑤⑦． 类型八、算术平方根的非负性 【解惑】若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系，由非负数的性质得出，，分两种情况，结合三角形三边关系求解即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 当为腰，为底边时，，不满足三角形三边关系，故不符合题意； 当为底边，为腰时，，满足三角形三边关系，故符合题意，此时等腰三角形的周长为， 故选：C． 2．已知x，y为实数，且 则的值为 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及已知字母的值求式子的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：2 3．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 类型九、实数的程序运算 【解惑】根据以下程序，当输入时，输出的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值代入正确的关系式． 【详解】解：， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：若开始输入的的值是64，则其立方根为4，它是有理数； 然后求得4的算术平方根是2，它是有理数； 则2的立方根为，它是无理数，输出答案； 故选：C． 2．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：把按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值． 【详解】解：当输入时，取立方根为：， 5是有理数，返回，取立方根为：， 是无理数，输出n， ∴n为， 故答案为：． 3．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 类型十、实数的分类 【解惑】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 【融会贯通】 1．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨100，⑩． 正数集合{____________________…}； 整数集合{____________________…}； 负分数集合{____________________…}； 自然数集合{____________________…}； 有理数集合{____________________…}． 【答案】正数集合：{②⑤⑧⑨⑩…}；整数集合：{③④⑥⑨…}；负分数集合：{①⑦…}；自然数集合：{④⑨…}；有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}． 【分析】本题主要考查了实数的分类．根据实数的分类解答，即可求解． 【详解】解：正数集合：{②⑤⑧⑨⑩…}； 整数集合：{③④⑥⑨…}； 负分数集合：{①⑦…}； 自然数集合：{④⑨…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…} 2．把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③，④…，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{______________________…}； 分数集合：{______________________…}； 负有理数集合：{__________________…}； 无理数集合：{____________________…}． 【答案】③④⑥；①⑤⑦；①⑤⑦；④⑥ 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数等进行作答即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵，， ∴正数集合：{③④⑥…}； 分数集合：{①⑤⑦…}； 负有理数集合：{①⑤⑦…}； 无理数集合：{④⑥…}． 3．把下列各数的序号填在相应的大括号里。 ①，②4，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个3），⑧0 整数集合{                        }； 无理数集合：{                        }； 正有理数集合：{                        }； 分数集合：{                        }． 【答案】，，， 【分析】考查了实数的概念及分类，根据实数的概念进行分类，需要注意，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案． 【详解】解： 整数集合：； 无理数集合：； 正有理数集合：； 分数集合：． 故答案为：，，，． 【一览众山小】 1．在实数、0、、、、中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意， 无限不循环小数： 、、 无理数的个数是2个 故选：B 2．下列说法中，错误的是（    ） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是 C．8的立方根是 D．是4的平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根， 若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，原说法正确，不符合题意； B、的平方根是，原说法正确，不符合题意； C、8的立方根是，原说法错误，符合题意； D、是4的平方根，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．的立方根是（    ） A． B．2 C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的计算，根据立方根定义即可求解． 【详解】解：∵，8的立方根为2， 故选：B． 4．49的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根和立方，根据算术平方根和立方根的定义求出即可． 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是，的立方根是， 故答案为：；． 5．若和的立方根互为相反数，则a＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质，若，则；反之，若，则也成立，熟练掌握立方根性质是解决本题的关键； 【详解】解：由题意知： 解得： 故答案为： 6．若，那么的值等于 ． 【答案】5 【分析】此题考查了立方根的性质，根据立方根的性质求解即可，解题的关键是熟练掌握立方根的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 7．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先计算乘方、立方根和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减， 先计算绝对值、立方根和算术平方根，再计算加减， 先两边同除以，再开平方． 【详解】（1） （2） （3） 由原方程，得 ， 开平方得，得 【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算． 8．将下列数的序号填入对应的横线上． ①；②3.141；③0；④2022；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩； (1)负整数集合：{　　…}； (2)正分数集合：{　　…}； (3)非正数集合：{　　…}； (4)有理数集合：{　　…}． 【答案】(1)⑩ (2)②⑤⑦⑧ (3)①③⑥⑩ (4)①②③④⑤⑦⑧⑩ 【分析】分别根据有理数的概念和分类进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：负整数集合：{}， 故答案为：⑩； （2）解：正分数集合：{3.141；；；}， 故答案为：②⑤⑦⑧； （3）解：非正数：{；0；；}， 故答案为：①③⑥⑩； （4）解：有理数集合：{；3.141；0；2022；；；；}， 故答案为：①②③④⑤⑦⑧⑩． 【点睛】本题主要考查了实数的概念，熟练掌握实数的概念和分类，并能区分各种数是解题的关键． 9．已知x是16的平方根，y是的立方根，且，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查平方根、立方根等知识点，根据平方根和算术平方根的概念列方程求得x和y的值，然后代入求得其算术平方根是解题关键． 【详解】因为x是16的平方根，y是的立方根， 所以，， 因为， 所以，， 所以， 所以的算术平方根是：3． 10．阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 【答案】(1)一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． (2)①，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 【分析】本题考查了立方根，平方根，四次方根的定义、性质和应用，运用类比思想说出四次方根的定义和性质，是解答本题的关键． （1）类比题目中平方根和立方根的定义，说出四次方根的定义，由此得到答案． （2）①根据四次方根的定义，求出答案．②根据①中的结果，得到四次方根的性质． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$