专题03 实数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

专题03实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、实数的大小比较 【解惑】若，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在实数，，，中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 2．比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 3．若，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 类型二、实数与数轴 【解惑】如图，若数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有 个． 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，对应的数为，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则点对应的数为 ．    类型三、无理数的估算 【解惑】下列无理数在5和6之间的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．设，则a的值介于(   ) A．与0之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间 2．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 3．若，其中m和都是正整数，则m的值是 ． 类型四、实数的混合运算 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算 (1)； (2) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型五、平方根的实际应用 【解惑】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数． 【融会贯通】 1．已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 2．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 3．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      类型六、立方根的实际应用 【解惑】要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 【融会贯通】 1．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 2．如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 3．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数为______． 类型七、实数的实际应用 【解惑】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【融会贯通】 1．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 2．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 3．2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 类型八、平方根的规律 【解惑】爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【融会贯通】 1．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 2．（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 3．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 类型九、立方根的规律 【解惑】观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【融会贯通】 1．观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 2．探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 3．【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 类型十、整数与小数部分 【解惑】大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 请回答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 【融会贯通】 1．已知实数，满足，是的整数部分． (1)求，，得值； (2)求的立方根． 2．阅读下面的内容并完成问题，例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知的小数部分是m，的整数部分是n，求的值． 3．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【一览众山小】 1．在，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正解的是(    ) A． B． C． D． 4．若，则整数x的最小值为 ． 5．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ． 6．如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形． （1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为 ． （2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为 ． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．根据表格解答下列问题： x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)176.89的平方根是______； (2)______； (3)若，则满足条件的整数n的值是______． 9．（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．    (1)在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________； (2)现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 10．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、实数的大小比较 【解惑】若，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数大小比较，把换算成，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴ 故选：C． 【融会贯通】 1．在实数，，，中，比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据负数比小得出结论即可． 【详解】由题意知，． 故选：D 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，熟练掌握负数比小是解题的关键． 2．比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的运算．先利用算术平方根的性质求得M和N的值，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 3．若，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小．根据夹逼法进行无理数的估算后，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 类型二、实数与数轴 【解惑】如图，若数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项符合题意； 、因为，所以该选项不符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】若向右滚动，则点B表示的数为加上圆的周长，若向左滚动，则点B表示的数为减去圆的周长，由此可得答案． 【详解】解：当向右滚动时，则点B表示的数为， 当向左滚动时，则点B表示的数为， 综上所述，点B表示的数是或， 故选A． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴，整数的概念，根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于而小于3，写出其中的整数即可． 【详解】解：根据数轴得∶墨迹盖住的整数共有，，，，和0，1，2，共7个． 故答案为∶7． 3．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，对应的数为，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则点对应的数为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的面积是，先求出边长的长度，再在数轴上求出点对应的数． 【详解】解：， ，（舍去）， 点对应的数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了开方的计算，关键知道正方形的边长是大于0的数． 类型三、无理数的估算 【解惑】下列无理数在5和6之间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先计算出，，然后再进行判断即可． 【详解】，， ， ， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．设，则a的值介于(   ) A．与0之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数的估算方法估算出，继而得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即a的值介于0与1之间． 故选：B． 2．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 由题意可知，a，b是两个连续的整数且， ∴ ∴ 故答案为：9 3．若，其中m和都是正整数，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根．先根据被开方数是正整数，确定m的取值，再根据是正整数确定最终的值即可． 【详解】解：∵，且m是正整数， ∴，或， ∵是正整数， ∴． 故答案为：4． 类型四、实数的混合运算 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用绝对值、零指数幂、平方根的性质进行计算即可． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根，算术平方根，乘方运算，开平方，绝对值化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方运算，括号内减法，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根，绝对值，再计算除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先开方、乘方、除法运算转化为乘法运算，再计算乘法运算和减法运算； （2）先开方、去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值、立方根的意义，实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根、绝对值、立方根的意义和有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （4）根据实数的混合运法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 类型五、平方根的实际应用 【解惑】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数． 【答案】25 【分析】由题意得：，解得，，则，进而可求． 【详解】解：由题意得：， 解得，， ∴， ∴， ∴这个正数是25． 【点睛】本题考查了平方根．解题的关键在于熟练掌握一个数的平方根互为相反数． 【融会贯通】 1．已知正数的两个不同的平方根分别是 和， 的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求 的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一个数的平方等于，则这个数即为的平方根，其中正的平方根是这个数的算术平方根，根据平方根性质列得方程解得值后即可求得的值，再由算术平方根的定义求得的值即可； （2）将，的值代入中计算后求其平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是 和， ， 解得：， 则， 那么， 的算术平方根是4， ， 解得：； （2）解： ， 那么其平方根为． 【点睛】本题考查平方根的定义及性质，算术平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 3．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 类型六、立方根的实际应用 【解惑】要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 【答案】球形容器内部的半径是． 【分析】本题考查了立方根的应用，利用球的体积公式计算出球的半径，熟练掌握立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：设球形容器内部的半径是，根据题意，得， ∴， ∴， 答：球形容器内部的半径是． 【融会贯通】 1．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 【答案】(1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续 (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用． 对于（1），将代入关系式，根据平方根的定义解答； 对于（2），将代入关系式，再比较结果，可得答案． 【详解】（1）当时，，根据题意，得， 答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续． （2）当时，， 即，所以． 又因为，且，所以． 答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过． 2．如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 【答案】(1)厘米； (2)厘米． 【分析】（）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （）根据题意列出式子再进行计算即可； 本题考查立方根、算术平方根，孰练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米）， 答：这个铁块的棱长为厘米； （2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米， ∴，， 解得：， 答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米． 3．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)面积为2，边长为 (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）设这个魔方的棱长为，则， 解得：， ∴这个魔方的棱长为2． （2）∵魔方的棱长为2， ∴每个小立方体的棱长都是1， ∴每个小正方形面积为1，魔方的一面四个小正方形的面积为4， ， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为． （3）∵点与1重合，正方形的边长为，点在点右侧， ∴点表示的数为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 类型七、实数的实际应用 【解惑】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 【融会贯通】 1．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 2．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 则作图如下： . 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 3．2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 类型八、平方根的规律 【解惑】爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大______； (2)已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值______，______； (3)已，，，则______，______． 【答案】(1)倍 (2)； (3)； 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． （1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵（精确到）， ∴；； （3）解：∵ ∴；； 【融会贯通】 1．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】(1)①两；②，；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根； （1）根据所提供的方法进行计算即可； （2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：①两；②，；③； （2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较大的个位数字，则． 2．（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 3．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 类型九、立方根的规律 【解惑】观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； (2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴． 【融会贯通】 1．观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（或与互为相反数）； (3)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． 【详解】（1）观察规律可写出类似的等式，如：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）由规律可得：对于任意两个有理数，，若（或与互为相反数），则， 故答案为：（或与互为相反数）； （3）若若与的值互为相反数，则， 解得． 2．探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【答案】(1)，； (2)a扩大100倍，扩大10倍 (3)，32400； (4) 【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案 （4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：（1），， 故答案为，； （2）a扩大100倍，扩大10倍． （3）①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）∵，， ∴， 故答案为： 3．【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可； （2）①根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可； ②根据（1）中的算术平方根和立方根的规律可得，，即可求解； （3）根据根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可． 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：2，1；3，1； （2）①∵， ∴，， 故答案为：17.32，0.1442； ②∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：200，0.8879； （3）∵， ∴，， ∴不能求出的值． 【点睛】本题考查数字规律型、算术平方根的定义、立方根的定义，根据题意总结一个数的算术平方根、立方根的小数点与被开方数的小数点的移动变化规律是解题的关键． 类型十、整数与小数部分 【解惑】大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 请回答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)的值为1； (2)的平方根是． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求解即可； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的小数部分为：， ， ∴， ∴的整数部分为： ∴ ∴的值为1； （2）解：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 的平方根是， ∴的平方根是． 【融会贯通】 1．已知实数，满足，是的整数部分． (1)求，，得值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，，得值分别为，， (2) 【分析】本题考查了非负数的性质、无理数的估算、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据非负数的性质求出、的值，估算出，即可得出的值； （2）先求出的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ， ， ，，得值分别为，，． （2）解：，，， 的立方根为． 2．阅读下面的内容并完成问题，例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知的小数部分是m，的整数部分是n，求的值． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算、代数式求值，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出答案； （2）估算无理数的大小得出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：， 即， 的整数部分为6，小数部分为． 故答案为：6，． （2）解：， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 的整数部分是6，小数部分是， ， ． 3．阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3， (2)2 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 【一览众山小】 1．在，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数就是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 【详解】解：， 在、、中，无理数有、，共2个． 故选：C． 2．若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小． 【详解】解：由题可得，，， 由， 故选A． 3．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正解的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴， 直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案，正确结合数轴分析是解题关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，选项A错误，不符合题意； ，选项B正确，符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4．若，则整数x的最小值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了立方根和无理数的估算，估算出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∵， ∴整数x的最小值为3， 故答案为：3 5．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板各个部分面积特点与阴影部分面积求法，图②中阴影部分形状不规则，不便于求解，将图②中的阴影部分转化为求图①中的阴影部分，图①中阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去一个中等大小的等腰直角三角形的面积，根据七巧板各个部分面积特点“大的等腰三角形面积占原正方形面积，中等等腰三角形面积占原正方形面积等”即可解题． 【详解】解：图②所示的图形是由图①所示的七巧板拼成， 图②中阴影部分的面积与图①中阴影部分的面积相等． 图①中阴影部分的面积正方形面积一半中等等腰三角形面积． 又正方形的边长为， 阴影部分面积． 故答案为：． 6．如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形． （1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为 ． （2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为 ． 【答案】 71 或 【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图2大正方形的面积，即可； （2）设小正方形的面积为，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为， ∴四个完全相同的直角三角形的面积和为， 由翻折的性质可得，翻折后的三角形面积等于翻折前的三角形面积， ∴图2中8个完全相同的直角三角形的面积和为， ∴大正方形的面积为； 故答案为：71； （2）设阴影小正方形的面积为， 则大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的边长为正整数，且边长大于图1中的大正方形的边长，即边长大于6，且， ∴或， 或， ∴阴影小正方形的边长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，翻折的性质，算术平方根，找到翻折后的大正方形的面积与原来的正方形的面积关系式是解题的关键． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算和求算术平方根、立方根的运算， （1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）利用有理数乘法分配律进行简便运算即可； （3）先计算乘方、立方根和化简绝对值，再计算加减即可； 解题的关键是熟练掌握运算法则的应用． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ． 8．根据表格解答下列问题： x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)176.89的平方根是______； (2)______； (3)若，则满足条件的整数n的值是______． 【答案】(1) (2) (3)175或176 【分析】本题考查平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是正确解答的关键． （1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得出的值即可； （3）根据，结合表格中对应值可得的取值范围，再确定整数即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据的对应值可知， ∵， ∴的平方根为． 故答案为：； （2）∵， ∵， 故答案为：； （3）由表格中的对应值可知， 当，时，， ∴整数的值为175，176， 答：满足条件的整数的值为175或176． 故答案为：175或176． 9．（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．    (1)在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________； (2)现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 【答案】(1)10， (2)或 【分析】本题考查实数与数轴，解题的关键是： （1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形可得正方形的面积，由正方形面积公式可得的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数． 【详解】（1）解：∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为； ∴， ∴， 故答案为：10，； （2）∵， ∴以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为或． 10．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【答案】(1)两，9，3； (2)32，； 【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$