广东省深圳市南实集团南海中学2024-2025学年上学期九年级开学考数学试卷

南实集团南海中学2024-2025学年第一学期九年级开学考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 4．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位： 施工总面积（单位： 施工时间（单位：天） 甲 1800 两个工程队同时完成工作任务 乙 1200 根据以上信息求的值，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 5．如图，的对角线，交于点，已知，，△的周长为14，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为　　 A．2 B．4 C．3 D．2.5 7．如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知三个实数，，满足，，则　　 A．， B．， C．， D．， 二．填空题（每题3分，共15分） 9．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是 　　． 10．已知，是一元二次方程的两个根，则－　　． 11．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为 　　． 12．如图，，平分，于，交于．若，则　　，　　． 13．如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 　　． 三．解答题（共61分） 14．（6分）解不等式组：，并写出它的正整数解． 15．（10分）计算： （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程．． 16．（6分）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 17．（8分）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48． （1）求证：； （2）过点作于点，若，求的面积． 18．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本． （1）求两种图书的单价分别为多少元； （2）为筹备“国际数学节3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少． 19．（10分）根据下列素材，探索完成任务． 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 　　． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 20．（12分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：． （1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程； （2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． （3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，、选项中的图形是轴对称图形，选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，选项是中心对称图形， 故选：． 2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、不是因式分解，故本选项不符合题意； 、不是因式分解，故本选项不符合题意； 、不是因式分解，故本选项不符合题意； 、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：． 3．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 4．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下： 工程队 每天施工面积（单位： 施工总面积（单位： 施工时间（单位：天） 甲 1800 两个工程队同时完成工作任务 乙 1200 根据以上信息求的值，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：依题意得，， 故选：． 5．如图，的对角线，交于点，已知，，△的周长为14，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：的对角线，交于点，，， ，，， 又△的周长为14， ， ， 故选：． 6．如图，在中，，为中线，为的中点，交于点．若，，则的长为　　 A．2 B．4 C．3 D．2.5 【解答】解：为中线，， ， 在中，， ，为的中点， ， ，为的中点， ， 故选：． 7．如图所示，在正方形中，是对角线、的交点，过作，分别交、于、，若，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 又， ， ， △△， ， 又， ， △中，． 故选：． 8．已知三个实数，，满足，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 二．填空题（共5小题） 9．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养，两种菌苗，已知种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是，那么温箱里的温度应该设定的范围是 　　． 【解答】解：种菌苗生长的适宜温度的范围是，种菌苗生长的适宜温度的范围是， 温箱里的温度应该设定的范围为：．故答案为：． 10．已知，是一元二次方程的两个根，则－　1　． 【解答】解：，是一元二次方程的两个根， ，．∴－2-1=1． 故答案为：1． 11．已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则正多边形的每个内角的度数为 　120　． 【解答】解：设这个多边形的边数为， 则，解得：， 则， 即正多边形的每个内角的度数为， 故答案为：120． 12．如图，，平分，于，交于．若，则　10　，　　． 【解答】解：平分， ， ，，， ， ，， 过作于点， ，平分，， ， 在△中，，， 故答案为：10，5． 13．如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 　　． 【解答】解：如图，作交于点， 由题意得：， ， 点在与平行，且距离为2的直线上运动， 将绕点逆时针旋转得△，连接， 则是等边三角形， ，， 当、、、共线，且时，最小，其值为的长， 设交于点， ，， ， ， 最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 14．解不等式组：，并写出它的正整数解． 【解答】解：解不等式得， ． 解不等式得， ， 所以不等式组的解集为：． 正整数解为：1，2，3． 15．计算：（1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 【解答】解：（1）原式 ； 当时， 原式． （2）， 去分母，得： ， 去括号，得： ， 移项、合并同类项，得： ， 经检验，是原方程的增根， 故原方程无解． 16．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△，请画出△（其中，，的对应点分别为，，； （2）再将线段绕点顺时针旋转得到线段，请画出线段； （3）在网格内描出两个格点，，请画出直线，使得直线垂直平分线段． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，直线即为所求． 17．如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为48． （1）求证：； （2）过点作于点，若，求的面积． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分、， ，， ， 又， ， ； （2）解：如图，过点作于， 平分，，， ， 平行四边形的周长为48， ， ． 18．中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用720元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买6本． （1）求两种图书的单价分别为多少元； （2）为筹备“国际数学节3月14日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少． 【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； （2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》， 根据题意得：， 解得：． 设购买这两种图书共花费元，则， ， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：当购买106本《孙子算经》、54本《周髀算经》时，总费用最少． 19． 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 　40　． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【解答】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图1中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长， 由图2知，设小正方形的边长为 ， 由题意可得：， 解得：， 体积为， 答：储物盒的容积为6552立方厘米； （2）设小长方形的宽为 ，，长为， 由题意可得：， 解得： 小长方形的宽为 当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为， 玩具机械狗也不能完全放入该储物； 综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物． 答：玩具机械狗不能完全放入该储物． 20．阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：． （1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程； （2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：． （3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图③，延长到，使，连接、， ，， △是等腰直角三角形， ， 是正方形的外角的平分线上一点， ， 、、三点共线， ，，， △△， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：选（1），证明如下： 由等边三角形的性质，外角平分线，可得，， 如图①，延长到，使，连接， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$