1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(1)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 ——距离问题 问题引入 点、直线、平面 位置关系 度量问题 立体几何 平行 垂直 距离 夹角 空间向量 2 1.向量的数量积 2.投影向量 复习导入 3.投影向量的模 3 思考1：构成空间几何体的基本元素是点、线、面，这些几何元素能产生几种距离？ 新知探究 两点距 点线距 点面距 线线距 线面距 面面距 用 垂 直 刻 画 点到平面的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 点到直线的距离 两点间的距离 4 新知探究 1.空间两点之间的距离 已知空间中任意两点， 则 所以 思考2：如何利用空间向量解决这些距离问题呢？ 空间中两点间距离 向量的模 空间中点线距、点面距 投影向量，勾股定理 5 新知探究 2.点到直线的距离 思考3：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ 追问1：与有何关系？ 是在直线上的投影向量， 且 追问2：. . 追问3：若直线的方向向量为,如何求？ 6 追问4：如何求两条平行直线之间的距离? 求两条平行直线之间的距离,可在其中一条直线上任取一点,则两条平行直线间的距离就等于点到直线的距离. 两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解. m l P • d 新知探究 7 追问1：如图，已知平面外一点，如何用空间向量求点到平面的距离？ α Q d P • 新知探究 3.点到平面的距离 思考4:类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？ 8 α A l Q P d 则 追问2：如图，已知平面的一个法向量为，点，点. 点到平面的距离，能否用与表示？ d是在直线l上的投影向量的长度. 新知探究 3.点到平面的距离 平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点（常选择一个特殊点）的向量在平面的法向量上的射影的绝对值. 9 思考5：类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ α A l Q d P • α A Q d P • β ⟹ 点到平面的距离 新知探究 4.直线到平面的距离 5.两个平行平面之间的距离 10 (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离． (1) 求出该平面的一个法向量； α A Q P d (2) 找出从点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； 用向量法求平面一个点到平面的距离的步骤： 方法总结 11 解：(1)建系如图，则，，， 取 ， 则. 所以点到直线的距离为 例6:如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点，求点到直线的距离. 练习巩固 x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 题型一：点到直线的距离 例6:如图，在棱长为1的正方体中为线段的中点，为线段的中点，求直线到平面的距离. 练习巩固 题型二：点到平面的距离 x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解：建系如图，则，，，，， 则 因为，所以，即平面. 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为. 3.向量法. 1.直接法； 2.等体积法； （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 方法总结 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: 14 练习1:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F 练习巩固 课本P35 T2 15 练习2:如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D 练习巩固 课本P35 T2 16 练习巩固 大册P26延伸探究 练习3:如图,在空间直角坐标系中有棱长为的正方体,点是线段上的动点,求点到直线距离的最小值. 17 练习巩固 大册P27变式训练2 练习4:如图所示,在直三棱柱中,底面是等腰直角三形,侧棱是的中点,试问在线段上是否存在一点(不与端点重合),使得点到平面的距离为 ? 18 练习巩固 练习5:如图,已知是以为直角的直角三角形,平面分别是的中点,则点到平面的距离为　　.  19 练习6:如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱.若点到平面的距离为，求正四棱柱的高. 解：设正四棱柱的高为建系如图， 则，，, ∴，， 设平面的法向量为， 则即取得， 所以点到平面的距离为，解得 故正四棱柱的高为2. 练习巩固 小结 用空间向量研究直线、平面的位置关系 点面距 点线距 线线距 线面距 面面距 两点间距离 法二：①在直线，上任意取点，，得到， ②求出与，都垂直的向量， ③套公式得 例题：在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与的距离为_________； 法一：找出其公垂线，求公垂线段的长度. 新知探究——异面直线间距离 解：建系如图，则，，， ∴， 设，满足即 取得， 所以异面直线. A D C B A1 D1 C1 B1 M N 例题：在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与之间的距离为_________； 练习巩固 解：建系如图，则，，， ∴， 设，满足即 取得， 所以异面直线. 练习：在棱长为1的正方体中，求异面直线与之间的距离为_________； A D C B A1 D1 C1 B1 练习巩固 例题讲解 练习1.如图，在长方体中有，， 求点到直线的距离. 解：如图，以点为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 取，，则 所以点到直线的距离为 例题讲解 练习4.如图，已知正方形的边长为，平面，且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(1) 如图建立空间直角坐标系，则，，， ∴，，. 设平面的法向量为 则所以即 令则. 所以点到平面的距离. 例题讲解 练习4.如图，已知正方形的边长为，平面，且，分别为的中点. (1)求点到平面的距离；(2)求直线到平面的距离. 解：(2)由于分别为的中点，所以， 所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由于，又由(1)知平面的法向量为. 所以点到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. $$