第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：一元二次方程+对称图形—圆）-2024-2025学年九年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：一元二次方程+圆】 注意事项： 本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根为（　　） A． B．， C． D．， 2．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与⊙O的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 4．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（    ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    A． B． C． D． 5．（2024·辽宁大连·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（22-23九年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 10．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接、，当时，的最大值为（    ） A．2 B． C．5 D． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若，则 ． 12．（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为，则可列方程 ． 13．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为 ． 14．（2024·江苏镇江·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 15．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．则经画图操作可知：的外心坐标应是 ． 16．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 17．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 三、解答题（10小题，共76分） 19．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1) (2) 20．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）如图，由5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，求每个小矩形的长． 21．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，是直径，为上一点，平分交于点，过作的垂线交的延长线于点．求证：为的切线． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 23．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 24．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 25．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 26．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 28．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：一元二次方程+圆】 注意事项： 本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）一元二次方程的根为（　　） A． B．， C． D．， 【答案】D 【详解】本题主要考查了运用平方根解方程，运用直接开平方法即可解决问题． 【分析】解：∵， ∴x是3的平方根， 则， 故选：D． 2．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（   ） A．相等的弦，所对的圆周角相等 B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦，所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解 “在同圆或等圆中，弦、弧、圆周角、圆心角一组量相等，其它都相等”是解题的关键． 【详解】解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意； B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长；符合题意，故结论正确； C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；结论错误，故不符合题意； D.同圆或等圆中，相等的弦，所对的弧相等；结论错误，故不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）若的半径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与⊙O的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于圆的半径即可得到点在圆外． 【详解】解：：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A在圆外； 故选：A． 4．（23-24九年级上·江苏南京·开学考试）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（    ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设增长率为x，列方程为， 故选B． 5．（2024·辽宁大连·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的取值范围；，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 一元二次方程没有实数根， ， 即： ， 解得：， 故选：A ． 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 8．（22-23九年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线的性质，可以证明，由平行线的性质、等腰三角形的性质，得到，由，求出的度数，即可得除答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点C， ∴半径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，关键是由条件证明． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键． 根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，方程没有实数解； 当时，，方程没有实数解； ∴方程的解为0， 故选：B． 10．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接、，当时，的最大值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形，分析出当时，点有两种情况，并找出的最大值是解题关键．以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接，根据题意可得，，，根据分析图中即为所求的最大值，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接， ，， ， 点为的中点， ，， 绕点在平面内旋转，点的对应点为点， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 点、、三点共线， 由图可知，可能在线段上，也可能在延长线上， 要求的最大值，即求图中的长， ， ， 在中， 由勾股定理得， 的最大值为 故选：D 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若，则 ． 【答案】1或0 【分析】移项后分解因式得出，推出，，求出即可． 本题考查了解一元二次方程，掌握方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， 故答案为：1或． 12．（22-23九年级上·江苏南通·开学考试）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴弦所对的弧的度数为或， 故答案为：或． 14．（2024·江苏镇江·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 15．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．则经画图操作可知：的外心坐标应是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用． 首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心. 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的交点即为所求的的外心， 的外心坐标是， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设，则原方程换元为，即，可得，即可求解． 【详解】设，则原方程换元为，即， ∴， 解得：， 即或（无实数根，舍去）， ∴． 故答案为：6． 17．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数x、y（）满足，，则的值等于 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，观察题目中条件中的两个方程和目标式，通过对条件方程的灵活变形，创造条件使用根与系数的关系是解题的关键． 把方程变形为，可知x，是一元二次方程的两个不同的根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】， ， ， ， ， ， x，是一元二次方程的两个不同的根， ， ， 故答案为：24． 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知点，的半径为1，切于点A，点P为上的动点，当P的坐标为 时，是等腰三角形． 【答案】，， 【分析】根据题意画出图形，分三种情况讨论：当点P在x轴上，，，当点P是切点时，，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，当P的坐标为，，时，是等腰三角形．理由如下： 连接， ∵，的半径为1， ∴， ∴， ∵切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接交x轴于点H， ∵切于点A， ∴切于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当P的坐标为，，时，是等腰三角形． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，解决本题的关键是得到是等边三角形． 三、解答题（10小题，共76分） 19．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 则， ； （2） 则或， 解得． 20．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）如图，由5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，求每个小矩形的长． 【答案】每个小矩形的长为 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，设小矩形的长为x，根据图形，列出方程求解即可． 【详解】解：设小矩形的长为x， 根据题意，得， 解得：，（舍） 答：每个小矩形的长为． 21．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，是直径，为上一点，平分交于点，过作的垂线交的延长线于点．求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可． 【详解】证明：连接， 平分， ， ， ， ， ，又， ，又为的半径， 为的切线． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）李明准备进行如下操作试验，把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)应将之剪成和的两段； (2)正确，理由见解析 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，一元二次方程的判别式，理解题意，列出相应方程是解题关键． （1）设其中一段的长度为，根据两个正方形的面积之和等于建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为，根据两个正方形的面积之和等于建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 【详解】（1）设其中一段的长度为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，， ∴应将之剪成和的两段； （2）解：设剪成的较短的这段为， 两正方形面积之和为时，， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解， ∴不可能使得两正方形面积之和为，李明的说法正确． 23．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 24．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)与相切，理由见详解 【分析】(1)首先利用角平分线的作法得出，进而以点O为圆心，为半径作即可； (2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可． 此题考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键. 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：相切；过O点作于D点； 平分， ，即， 与直线相切． 25．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明； （2）根据，的半径为2，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， 26．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 27．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 28．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． （1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在外，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决] 如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$