2.3二次函数与一元二次方程、不等式-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点2 一元二次不等式与函数和方程 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.理解 (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 知识点3 一元二次不等式的解法 1.解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)识别。识别二次项系数是否为正。可通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． (2)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (3)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 2.解含参数的一元二次不等式的讨论 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 思路方法总结 1.已知二次不等式解集求参数 方法步骤： （1） 判断符号：由一元二次不等式解集可逆向推知它的系数所满足的条件（即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况及二次项系数的正负性）， （2） 列式：根据韦达定理，列出根与系数的关系式，解决问题． 2.一元二次不等式的恒成立问题 思路方法：（1）首先判断二次项系数a是否为0 不等式对任意实数恒成立； 不等式对任意实数恒成立； （2）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是； （3）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是． 3.解决一元二次不等式应用问题的关键和步骤 解决一元二次不等式应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式． 解决一元二次不等式的应用问题，一般步骤如下： （1）审题：阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； （2）设元：引进数学符号，用不等式表示不等关系； （3）列式：解不等式；（4）解答：回归实际问题． 典例·举一反三 题型一 解不含参数的二次不等式 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 跟踪训练 1．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式组的解集为 ． 3．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 题型二 解含参数的二次不等式 2．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是 ． 2．解关于x的不等式：． 3．解关于x的不等式. 题型三 已知二次不等式解集求参数 3．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．关于x的不等式解集为，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 2．若不等式的解集为，则 ． 3．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 . 题型四 二次函数与二次不等式和二次方程的关系 4．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．     D．   跟踪训练 1．已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 3．若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 题型五 二次不等式的恒成立问题 5．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 3．已知关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是 . 题型六 二次不等式有解性问题 6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练 1．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 3．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 题型七 二次不等式的应用 7．某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 跟踪训练 1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 2．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是 ． 3．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 知识点2 一元二次不等式与函数和方程 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3.理解 (1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． 知识点3 一元二次不等式的解法 1.解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)识别。识别二次项系数是否为正。可通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正． (2)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (3)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． 2.解含参数的一元二次不等式的讨论 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 思路方法总结 1.已知二次不等式解集求参数 方法步骤： （1） 判断符号：由一元二次不等式解集可逆向推知它的系数所满足的条件（即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况及二次项系数的正负性）， （2） 列式：根据韦达定理，列出根与系数的关系式，解决问题． 2.一元二次不等式的恒成立问题 思路方法：（1）首先判断二次项系数a是否为0 不等式对任意实数恒成立； 不等式对任意实数恒成立； （2）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是； （3）一元二次不等式对任意实数恒成立的条件是． 3.解决一元二次不等式应用问题的关键和步骤 解决一元二次不等式应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式． 解决一元二次不等式的应用问题，一般步骤如下： （1）审题：阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； （2）设元：引进数学符号，用不等式表示不等关系； （3）列式：解不等式；（4）解答：回归实际问题． 典例·举一反三 题型一 解不含参数的二次不等式 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 跟踪训练 1．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】由，解得， 因为， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 2．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，然后求其交集即可 【详解】由，得，即， 解得或， 由，得，解得， 所以 所以不等式组的解集为. 故答案为： 3．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)R 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. （2）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. （3）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. （4）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知或，因此或， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知，因此， 所以原不等式的解集为． （3）原不等式可化为，又因为，所以上述不等式可化为． 注意到只要，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为 （4）原不等式可以化为．因为， 所以原不等式可以化为，即， 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R． 题型二 解含参数的二次不等式 2．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 故选：C． 跟踪训练 1．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【详解】试题分析：关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于，其中且有，故有，不等式的解集为，所以解集中一定含有1,2,3，可得，所以，解得. 考点：含参数的一元二次方程的解法. 2．解关于x的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】分类讨论解含参的一元二次不等式即得. 【详解】不等式化为， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为， 若，即，解得； 若，解得； 若，即，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 3．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论判别式，确定一元二次不等式对应方程解的情况，即可求得答案. 【详解】不等式对应方程的判别式， （1）当，即或时， 由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； （2）当，即时，不等式的解集为且； （3）当，即时，不等式的解集为R， 故或时，不等式的解集是或}； 时，不等式的解集为且； 时，不等式的解集为R. 题型三 已知二次不等式解集求参数 3．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且和是方程的的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 跟踪训练 1．关于x的不等式解集为，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】依题意可得、为方程的解，根据根与系数的关系，得到关于的方程解得即可， 【详解】解：的解集为， 为方程的解， ，， 又， ， ， ， 根据不等式的解集为，又，可得且 故二次函数的对称轴在轴左侧，即， . 故选：B． 2．若不等式的解集为，则 ． 【答案】5 【分析】由题意可知：为方程的两根，利用韦达定理运算求解即可. 【详解】由题意可知：为方程的两根， 则，即， 所以. 故答案为：5. 3．如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解. 【详解】不等式的解集为，其中常数， 所以是方程的实数根， 时，，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值是 故答案为： 题型四 二次函数与二次不等式和二次方程的关系 4．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 跟踪训练 1．已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据一元二次不等式，一元二次方程和二次函数的关系求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以相应的二次函数的图象开口向下，所以，故A错误； 易知和，是方程的两个根，则有，又，故，故BC正确； 由二次函数的图象可知，当时，，故D正确. 故选：A 2．若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】根据题意可得，，，从而可对A、C项判断，由是方程的根，可对B项判断，将化简为并结合一元二次不等式可对D项判断. 【详解】对于A项：由题意可知，，和1是方程的两根，可得，，所以，，即故A项正确． 对于B项：因为是方程的根，所以，故B项错误． 对于C项：由A项知：，即，因为，得：，故C项正确. 对于D项：不等式即，化简得，解得或，故D正确. 故选：ACD. 3．若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 题型五 二次不等式的恒成立问题 5．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 跟踪训练 1．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 2．已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 3．已知关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合一元二次不等式对应二次函数性质列不等式组求参数范围. 【详解】当时，在R上恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. 故答案为： 题型六 二次不等式有解性问题 6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可. 【详解】 ，要使得不等式有解，只需有解即可， 解得或者， 故选：D 跟踪训练 1．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对分类讨论来求得的取值范围. 【详解】命题“”是假命题， 所以“”是真命题， 当时，不成立，不符合题意，所以， 所以或， 所以或. 故选：B 2．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 3．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为，所以由得， 因为关于的不等式在区间上有解， 所以只需小于等于的最大值， 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1， 所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型七 二次不等式的应用 7．某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【详解】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 跟踪训练 1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可． 【详解】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 2．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列式，解不等式可得结果. 【详解】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元， 则， 令，即，解得. 故答案为： 3．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【答案】/0.4 【分析】根据题意求得关系式，令，得到，即可求解. 【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式， 因为，所以， 令，得，即，解得，， 所以停留的时间为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$