2.2基本不等式-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 基本不等式 1.基本不等式的推导 (1)方法一　(作差法) －＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)方法二　(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦． 2．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (1)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． (2)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号； 3.重要不等式 (1)公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【推导】，当且仅当时，等号成立． (2)常见变形：、、． 知识点2 基本不等式的变式与拓展 1.基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2.基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 最值定理 1.最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 2.理解 (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换． 3.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 (1)拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键 (2)利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： ①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； ②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； ③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 思路方法总结 1.不等式的证明 方法步骤： （1） 审题：观察目标不等式的形式，思考题设条件与目标不等式的联系 （2） 变形：若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换． （3） 取等：解题中要时刻注意等号能否取到． 2.基本不等式在实际中的应用 方法步骤： （1） 审题：应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系， （2） 设元：引入变量， （3） 列式：依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． （4）取等：判断是否能取等号，在求所列函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数图象求解． 3.利用基本不等式解决恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 典例·举一反三 题型一 基本不等式的理解 例1．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 2．已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 3．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 题型二 基本不等式与比较大小 例2．已知，以下给出的4个不等式中错误的共有（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．个 B．个 C．个 D．个 跟踪训练 1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 2．已知,,为三角形的三边,且,,则 A． B． C． D． 3．设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 题型三 利用基本不等式求积的最值 例3．设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 跟踪训练 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 2．若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 3．已知，，且，则xy的最大值为 ． 题型四 利用基本不等式求和的最值 例4．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 2．设实数，的最小值为，则 . 3．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． 题型五 基本不等式“1”的妙用 例5．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若，，，则的最小值为 . 2．已知，，，求的最小值. 3．已知，，且 (1)求的最大值；(2)求的最小值. 题型六 利用基本不等式求分式最值 例6．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 跟踪训练 1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 3．函数的最小值为 ． 题型七 利用基本不等式解决恒成立问题 例7．若，，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 2．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ． 3．已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型八 利用基本不等式证明不等式 例8．已知，，，求证：. 跟踪训练 1．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8. 2．已知a，b都是正数． (1)若，证明：； (2)当时，证明：． 3．已知． (1)求证：； (2)利用（1）的结论，试求函数的最小值． 题型九 基本不等式的实际应用 例9．某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 跟踪训练 1．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：） (1)试用x，y表示s； (2)求s的最大值，并求出此时x，y的值． 2．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 3．经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到） (2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 基本不等式 1.基本不等式的推导 (1)方法一　(作差法) －＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)方法二　(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦． 2．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． (1)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． (2)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号；（异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号；（），当且仅当时取等号； 3.重要不等式 (1)公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【推导】，当且仅当时，等号成立． (2)常见变形：、、． 知识点2 基本不等式的变式与拓展 1.基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2.基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 最值定理 1.最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 2.理解 (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换． 3.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 (1)拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键 (2)利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： ①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； ②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； ③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 思路方法总结 1.不等式的证明 方法步骤： （1） 审题：观察目标不等式的形式，思考题设条件与目标不等式的联系 （2） 变形：若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换． （3） 取等：解题中要时刻注意等号能否取到． 2.基本不等式在实际中的应用 方法步骤： （1） 审题：应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系， （2） 设元：引入变量， （3） 列式：依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． （4）取等：判断是否能取等号，在求所列函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数图象求解． 3.利用基本不等式解决恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 题型一 基本不等式的理解 例1．下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 跟踪训练 1．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【分析】由基本不等式对选项逐一判断， 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 2．已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子. 【详解】A选项，，故， 当时，，即， 当时，，即， A可能成立，也可能不成立， B选项，， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故B可能成立，也可能不成立； C选项，因为，所以，故， 所以，而， 故，即，C一定正确； D选项，若，由基本不等式得， 两个等号成立的条件为， 但，不妨设， 此时， 当时，显然， 故可能成立，也可能不成立，D正确. 故选：ABD 3．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【详解】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 题型二 基本不等式与比较大小 例2．已知，以下给出的4个不等式中错误的共有（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用不等式的性质可判断（1）（2）；利用基本不等式可判断（3）；做差法可判断（4）. 【详解】因为，所以，可得， 所以（1）（2）错误； 因为，所以，故（4）错误； 又因为，所以，可得， 综上，故（3）正确. 故选：C. 跟踪训练 1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【答案】C 【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 2．已知,,为三角形的三边,且,,则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边的关系,结合基本不等式分析即可. 【详解】由基本不等式可知, . 当且仅当时取等号.故. 又三角形的三边满足, 故.三式累加有, 即. 综上有. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及基本不等式的运用,属于中档题. 3．设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 题型三 利用基本不等式求积的最值 例3．设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 跟踪训练 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 2．若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 3．已知，，且，则xy的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据题意结合不等式运算求解即可. 【详解】因为，，且， 可得，当且仅当，即，时，等号成立， 所以xy的最大值为8． 故答案为：8. 题型四 利用基本不等式求和的最值 例4．如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 跟踪训练 1．，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，则，且, 整理得到， 所以，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故选：C. 2．设实数，的最小值为，则 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得其最小值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由于，根据基本不等式 ， 当且仅当时，可取到最小值， 即，解得. 故答案为： 3．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）对式子进行配凑，然后用基本不等式即可； （2）对式子进行配凑和变形，确保满足“一正”的前提下使用基本不等式. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当时，取得最小值6． （2） ∵，∴，∴， ∴ ， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴当时，取得最大值． 题型五 基本不等式“1”的妙用 例5．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 跟踪训练 1．若，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值为4. 【详解】易知， 当且仅当时，等号成立； 即的最小值为4； 故答案为：4 2．已知，，，求的最小值. 【答案】18 【分析】利用“”的代换得，展开后由基本不等式求最值即可. 【详解】因为，，由，两边同时除以xy，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为18． 3．已知，，且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接利用基本不等式即可求出结果； （2）根据条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为，， 所以，得到， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （2）因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，又，所以时取等号， 所以，的最小值为. 题型六 利用基本不等式求分式最值 例6．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以 即函数的最大值是. 故选：C. 跟踪训练 1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为，利用基本不等式求左侧的最小值，注意取值条件，即可得参数范围. 【详解】由题意，只需在时即可， 又，则，故， 当且仅当时等号成立，故， 所以，即. 故选：A 2．若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 3．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 题型七 利用基本不等式解决恒成立问题 例7．若，，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及基本不等式可判断A、C项，对于D举出反例即可，通过“1”的代换，可证明B项． 【详解】因为，，所以， 又，所以，，所以，，A错误； 根据基本不等式，，当x = y =2时等号成立，C错误； 令，则，D错误； 对于B项，，则， 则，当x = y =2时等号成立，B项正确. 故选：B. 跟踪训练 1．已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】将不等式恒成立问题，转化为利用基本不等式求最值问题. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25. 故选：D 2．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的最小值，由此可得关于a的不等式，即可求得答案. 【详解】因为，故，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即有，所以，即a的最小值为， 故答案为： 3．已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 题型八 利用基本不等式证明不等式 例8．已知，，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】三次利用基本不等式即可得证. 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 同理：，， 当且仅当，时，等号成立， 以上三式相加得：， 当且当且仅当时，等号成立， 所以. 跟踪训练 1．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8. 【答案】证明见解析 【分析】结合基本不等式证得结论成立. 【详解】由于为互不相等的正实数，且， 所以， 所以 . 2．已知a，b都是正数． (1)若，证明：； (2)当时，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据可得，再结合化简，利用基本不等式证明即可 （2）根据证明的不等式逆推即可 【详解】（1）证明：由，得，即 ， 当且仅当时“=”成立． 所以． （2）要证， 只需证， 即证， 即证， 因为，所以上式成立， 所以成立． 3．已知． (1)求证：； (2)利用（1）的结论，试求函数的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据结合基本不等式即可得证； （2）利用（1）中的结论即可得出答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴； （2）解：由于，则， 可将看作（1）中的，看作（1）中的， 依据（1）的结论，则有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为1． 题型九 基本不等式的实际应用 例9．某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)4m，14400元 (2) 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. （2）由题意可得.对恒成立. 即 令 . 令， 则在上单调递增. 且时，. . 即的取值范围为. 跟踪训练 1．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：） (1)试用x，y表示s； (2)求s的最大值，并求出此时x，y的值． 【答案】(1) (2)s的最大值为，此时，． 【分析】（1）由题意建立s的函数解析式；（2）利用基本不等式，求出s的最大值. 【详解】（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故. （2）∵， ∴（当且仅当,即，时取等号）. 故s的最大值为,此时，. 2．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】(1)， (2)，费用最低元. 【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式； （2）利用基本不等式求最值即得结果. 【详解】（1）设所用时间为， 则由题意知，. 所以这次行车总费用y关于x的表达式是， （2）， 当且仅当，即时等号成立. 故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元. 3．经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到） (2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1)当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时； (2)汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）. 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论； （2）解不等式即可得解. 【详解】（1）解：，（千辆/小时）， 当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时. （2）解：据题意有，即，即， 解得， 所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$