2.6 正多边形与圆（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.6　正多边形与圆（1） 第1课时　正多边形与圆的关系 学习目标 1．了解正多边形的概念； 2．了解正多边形与圆的关系，能进行有关的计算. 2 情境引入 观察下列图形： 你能说出这些图形的特征吗？ 3 概念学习 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 特征1 特征2 4 思考与探索 我们知道，三边相等的三角形是正三角形，三角相等的三角形也是正三角形.能否说各边相等的多边形是正多边形？或者说各角相等的多边形是正多边形？试举例说明. 注意：判定一个多边形(边数大于3)是正多边形必须同时具备 “各边相等”、“各角相等”这两个条件. 5 操作与思考 如图，已知⊙O， (1)用量角器把⊙O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE； ● O ● E ● A ● D ● C ● B (2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？ ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. ∴ 五边形ABCD是正五边形. ∵ ＝， ∵ 证明：点A、B、C、D、E把⊙O五等分. ＝ 6 操作与思考 如图，已知⊙O， (1)用量角器把⊙O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE； (2)五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？ ● O ● B ● A ● C ● D ● E 圆被多边形的顶点等分 各边相等，各角相等 多边形是正多边形 弧相等 弦相等，圆周角相等 7 数学实验室 如图，点A、B、C、D、E、F把⊙O六等分． (1)在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起； (2)把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？ ● A ● B ● O ● F ● E ● C ● D ● A ● B ● O ● F ● E ● C ● D ● A ● B ● F ● E ● C ● D ● A ● B ● F ● E ● C ● D 旋转后的图形与原图完全重合. 8 数学实验室 ● A ● B ● O ● F ● E ● C ● D 你能用图形运动的方法证实六边形ABCDEF是正六边形吗？ 把所画图形绕圆心O旋转60°再旋转60°，可以发现这两个图形仍然重合. 这说明所画六边形的每一条边都与它的邻边相等，每一个角都与它的邻角相等. 因此，所画六边形的六条边相等，六个角也相等，所画六边形是正六边形. 9 新知归纳 一般地，只有用量角器把一个圆n (n≥3) 等分，依次连接各等分点就得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆. 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径. 半径(r) ● O ● F ● E ● A ● B ● C ● D (中心) ∟ 边心距 (d) 任何正多边形都有一个外接圆. 等分圆周，就可以得到圆内接正多边形. 10 例题讲解 E F C D A B O G . ∟ 解: 作半径OA，OB， 根据题意，得∠AOB=360°÷6=60°. ∵OA=OB， ∴△OAB为等边三角形，AB=OA＝4. 正六边形的周长l=4×6=24. 过点O作OG⊥AB，垂足为G. 在Rt△OAG中，OA＝4，AG＝AB＝2， ∴OG===. 正六边形的面积S=×4××6=. 例 如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积. 半径 边心距 边长的一半 11 及时归纳 E F C D A B O G . ∟ 在解决正多边形的有关计算时，通过连接正n边形的中心和各顶点，可以把正n边形划分为n个全等的等腰三角形，再过正n边形的中心作各边的垂线，可以把正n边形划分为2n个全等的直角三角形，从而把一些正多边形的计算问题转化为相应的等腰三角形、直角三角形的计算问题. 12 及时归纳 正六边形的特殊性： (1)正六边形的半径等于它的外接圆的半径，等于它的边长； (2)连接正六边形相邻的两个顶点与中心，构成的三角形是等边三角形； (3)正六边形可以看成是由一个等边三角形绕着一个顶点连续旋转五次得到的． E F C D A B O G . ∟ 13 新知巩固 1．(2024·四川·中考真题)如图，正六边形内接于，，则的长为 ( ) A．2 B． C．1 D． F A E D C B O · C 14 新知巩固 2．(2022·山东青岛·中考真题)如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ________. 60° ● O F E A B C D M 15 新知巩固 3.如图，正三角形ABC的外接圆的半径为6. 求：(1) △ABC的边长；(2)△ABC的面积. B A C 解：(1)连接OA，过点O作OD⊥AB于点D. ∵△ABC是正三角形， ∴易得∠BAO＝30°. 在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝6， ∴易得OD＝OA＝3. ∴AD＝＝3. ∴易得AB＝2AD＝6. ∴△ABC的边长为6. O · D (2)易得S△ABC＝6S△AOD＝6×OD·AD＝6××3×3＝27. 16 120° 4. 探索正多边形的半径r和边长之间的关系. 边数 内角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 90° 60° 60° 90° 120° r r r r r r 3r 4r 6r · · · 新知巩固 17 E F C D 半径r 边心距d A B O 边长a . 新知归纳 1.基本模型 正n边形的有关计算 2.正n边形的周长: 3.正n边形的面积： 4.正n边形的每个内角: 5.正n边形的每个外角: 6.正n边形的中心角: 18 知识窗 刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率. 刘徽(约225年-约295年) 他指出圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”从而计算出 魏晋期间伟大的数学家 π≈3.14 . 19 知识窗 20 正多边形的有关概念 正多边形与圆的关系 课堂总结 正多边形的有关计算添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 当堂检测 基础过关 1. 下列说法中正确的是( ) A．各角相等的圆内接多边形是正多边形 B．各边相等的多边形是正多边形 C．一个圆有且只有一个内接正多边形 D．正多边形的各边相等，各角相等 D 22 当堂检测 基础过关 2. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A．2 B． C． D．　 A F A E D C B O · 23 当堂检测 基础过关 3．(2024·江苏镇江·中考真题)如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ． 10 24 当堂检测 基础过关 4. 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______.　 　 18 5. 若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为_____． 12 6. 已知正四边形的外接圆的半径为1，则正四边形的周长是 ． 25 当堂检测 基础过关 7. 正五边形被过它的顶点的半径分成多少个等腰三角形？这些等腰三角形全等吗？为什么？正六边形、正八边形呢？ C D E B A ● O 解：如图，正五边形ABCDE的中心为O，则 OA＝OB＝OC＝OD＝OE， ∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴△AOB＝△BOC＝△COD＝△DOE＝△EOA. 即：正五边形被过它的顶点的半径分成5个等腰三角形，这些等腰三角形全等；同理可得，正六边形被过它的顶点的半径分成6个等腰三角形，这些等腰三角形全等；正八边形被过它的顶点的半径分成8个等腰三角形，这些等腰三角形全等. 26 当堂检测 基础过关 8.如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上(不与点C重合)．  (1)求的度数； 解：(1) 连接，   由题意得：， ∴. 27 当堂检测 基础过关 (2) 由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为． 8.如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上(不与点C重合)．  (2)若的半径为8，求正方形的边长． 28 当堂检测 基础过关 9.求证：正五边形的对角线相等. B A C D E 证明： 在△BCD和△CDE中 ∴△BCD≌△CDE, ∴BD＝CE. 已知：五边形ABCDE是正五边形. 求证：BD＝CE. 29 当堂检测 基础过关 10. 如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD、AC的长. F E A B C D 解：∵正六边形ABCDEF中， AB＝BC＝CD＝5，∠B＝∠BCD＝120°， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∵∠CDA＝∠EDA＝60°， ∴AD＝2CD＝10，AC＝CD＝5. 30 当堂检测 能力提升 1．(2023·安徽·中考真题)如图，正五边形内接于，连接，则( )   A． B． C． D． D C D E B A ● O 31 当堂检测 能力提升 2．(2024·山东济宁·中考真题) 如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ( ) A．1 B．2 C． D． D M F A E D C B O · 32 当堂检测 能力提升 3．(2023·山东临沂·中考真题)将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是 ( ) A．60° B．90° C．180° D．360° B 33 当堂检测 能力提升 4．(2023·福建·中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为(　　) A． B． C．3 D． C 34 当堂检测 能力提升 5. 用长 24m的木栅栏围成正三角形或正方形或正六边形的绿地. 这三种围法中，围成的绿地面积最大是______________. 正六边形 6．(2023·浙江杭州·中考真题)如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 2 35 当堂检测 能力提升 7．(2023·湖南·中考真题)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个． 10 36 当堂检测 能力提升 8. 如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正八边形的一边. AB是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由. · O C B A 解：连接OB， ∵AC是⊙O的内接正六边形的一边， ∴∠AOC＝60°. ∵BC是⊙O的内接正八边形的一边， ∴∠BOC＝45°. ∴∠AOB=15°， ∴AB是⊙O的内接正二十四边形的一边. 37 当堂检测 能力提升 9.如图，M、N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点，且BM=CN. (1)求图①中∠MON=_______；图②中∠MON= ； 图③中∠MON= ； (2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系. A B C D E A B C D . A B C M N M N M N O O O 90 ° 72 ° 120 ° 图① 图② 图③ ∠MON＝ 38 Multimedia Cloud Transcode (cloud.baidu.com) Content Adaptive Encoding 3.0 2021 Blues 4800.0 $$