24.1.4 圆周角（第一课时）（分层作业）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

24.1.4 圆周角（第1课时）分层作业 基础训练 1．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）如图，点，，在上，，点是的中点，则的度数是(       ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·四川自贡·期中）如图，是⊙O直径，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处  4．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，为的直径，点C，D在圆上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）嘉嘉的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她把三角板的顶点放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点，，如图所示，经测量弦的长为，则该镜子的直径为（   ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，将一个圆分成4个扇形，已知扇形、、的圆心角的度数之比为，为的角平分线，圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，是的直径，点，在上，若，，则的长为（    ） A． B．20 C． D． 9．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点．以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点，连接．下列结论正确的是（    ） A． B． C．点为弦的中点 D．点为劣弧的中点 10．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，弦交于点，，若，则的度数为 ． 12．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，是的外接圆．若，则 度．    13．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在半径为2的中，半径垂直弦，D为上的点，，则的长是 ． 14．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，，为的两条弦，D，G分别为，的中点，的半径为2．若，则的长为 ． 15．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，是直径，是的弦，，求的度数． 16．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D， (1)求的度数； (2)求的长； (3)求，的长． 17．（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）如图，是的直径，半径，C为上任意一点，D为弦上一点，且． (1)当，时，求． (2)求证：为等腰直角三角形． 18．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图1，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”,如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是弧的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长． 能力提升 1．（2024·吉林长春·二模）如图，、是的弦，、是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连结．若，则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）点是的外心，若，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知为的直径，弦与交于点E，连结，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，点，在上，且点，，不在同一条直线上，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点，使得；②若直线垂直于，则；③的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，等腰直角三角形内接于⊙O，直径，D是圆上一动点，连接，，，且交于点G．下列结论： ①平分； ②； ③当时，四边形的周长最大． 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24九年级下·江苏南京·期末）在中，，，，则的面积为 ． 7．（2022·广东·模拟预测）如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别为，的中点，则线段长度的最大值为 ． 8．（23-24九年级下·江西九江·期中）课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 拔高拓展 1．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题： 如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　 ， °； (2)类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ； (4)实践应用： 如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.4 圆周角（第1课时）分层作业 基础训练 1．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）如图，点，，在上，，点是的中点，则的度数是(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．连接，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理即可求出． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：A． 2．（23-24九年级下·四川自贡·期中）如图，是⊙O直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和图形即可求得的度数，本题得以解决．本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：连接， 是直径，， ，， ， 故选：B． 3．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【答案】B 【分析】本题主要考查了的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键，根据的圆周角所对的弦是直径求解即可。 【详解】解：如图，连接，，    ∵， ∴是的直径，即 ∵点，与整钟点“时”重合， ∴点应位于“时”处， 故选： 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，为的直径，点C，D在圆上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，直角三角形的特征，连接，由同弧所对的圆周角相等得，由直径所对的圆周角是直角得，由直角三角形的特征即可求解；掌握圆的基本性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 5．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）嘉嘉的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她把三角板的顶点放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点，，如图所示，经测量弦的长为，则该镜子的直径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键正确作出辅助线．设镜子的圆心为，连接，，根据圆周角定理得出，得到是等边三角形，即可求解． 【详解】解：设镜子的圆心为，连接，，   ， ， ， 是等边三角形， ， 该镜子的直径为， 故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于，三角形的内角和定理，解题的关键求得． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 7．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，将一个圆分成4个扇形，已知扇形、、的圆心角的度数之比为，为的角平分线，圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，周角的定义，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．由为的角平分线，得到，根据周角的定义列方程即可得到结论． 【详解】解：为的角平分线， ， 扇形、、的圆心角的度数之比为， ， ， ， 故选：C 8．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，是的直径，点，在上，若，，则的长为（    ） A． B．20 C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据同弧所对圆周角相等，可得，由直径所对的圆周角是直角，可得，进而得到是等腰直角三角形，即可求解， 本题考查了圆周角定理推论，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 9．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点．以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点，连接．下列结论正确的是（    ） A． B． C．点为弦的中点 D．点为劣弧的中点 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的作图及意义，直径所对的圆周角是直角，相等的圆周角所对的弧相等，根据，得出，即可作答． 【详解】∵以为直径的经过点， ∴， 由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点， 故D选项正确，其他选项无法证明， 故选：D． 10．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质．先利用折叠的性质得到和所在圆为等圆，再利用圆周角定理得到，所以的度数为，然后计算得到的度数． 【详解】解：∵纸片沿折叠，使与交于点D， ∴和所在圆为等圆， ∵和所对的圆周角都是， ∴， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：B． 11．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，弦交于点，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据，则，利用圆周角与圆心角关系可求出，再由三角形外角性质定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，是的外接圆．若，则 度．    【答案】 【分析】此题考查圆周角定理和等腰三角形等边对等角的性质，连接，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的定义求出答案，熟记圆周角定理并运用是解题的关键． 【详解】连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在半径为2的中，半径垂直弦，D为上的点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，关键是由圆周角定理求出． 由圆周角定理求出，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：交于H， 半径， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，，为的两条弦，D，G分别为，的中点，的半径为2．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理及勾股定理，根据圆周角与圆心角关系得到，从而求出，再根据中位线求出； 【详解】解：连接，，， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵D，G分别为，的中点， ∴， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）如图，是直径，是的弦，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等． 连接，根据圆周角定理和已知条件得出，再根据圆周角定理可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ，， ． 16．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D， (1)求的度数； (2)求的长； (3)求，的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆的相关概念，勾股定理，角平分线的性质，熟记“直角所对的圆周角为”是解题关键． （1）直接根据圆周角定理即可求解； （2）根据勾股定理求解即可； （3）根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：是的直径， ，； （2）， ； （3）是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 17．（23-24九年级下·湖北宜昌·期中）如图，是的直径，半径，C为上任意一点，D为弦上一点，且． (1)当，时，求． (2)求证：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定： （1）直接根据线段的和差关系求出的长即可； （2）根据垂径定理证明根据证明得出,再证明即可得出结论 【详解】（1）解：∵ ； （2）解：连接如图， ∵所对的圆周角是， ∴， ∵， ∴点是弧的中点， ∴ 又 ∴ ∴， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形． 18．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图1，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”,如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是弧的“幸运角”； (2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质． （1）根据垂径定理易得是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的知识及对顶角的性质可得； （2）连接，根据垂径定理求得,进而得出，再用勾股定理即可． 【详解】（1）解：是直径， 平分 是等腰三角形 是弧的“幸运角”； （2）如图，连接 弧的“幸运角”为 即的长为． 能力提升 1．（2024·吉林长春·二模）如图，、是的弦，、是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连结．若，则的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键． 利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点为上任意一点（点不与点重合）， 的度数可能是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）点是的外心，若，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【详解】解：，， ， ， 当是锐角三角形时，， 当是钝角三角形时，． 故选：C．    3．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知为的直径，弦与交于点E，连结，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角性质，等边对等角，先得出，再运用三角形内角和以及等边对等角，得出，再运用外角性质，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B 4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，点，在上，且点，，不在同一条直线上，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：①恰好存在一点，使得；②若直线垂直于，则；③的大小始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，直径所对圆周角是直角，根据这些性质逐个判断即可得到结论． 【详解】①当点，，三点在同一条直线上时，为的直径， ，故正确，符合题意； ②垂直于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ；故正确，符合题意； ③如图，当点在优弧上时， ， 当点在劣弧上时， ， 与不一定相等， 的大小会变化，故③错误，不符合题意， 故选：A． 5．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，等腰直角三角形内接于⊙O，直径，D是圆上一动点，连接，，，且交于点G．下列结论： ①平分； ②； ③当时，四边形的周长最大． 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用． 证明，，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴，， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 综上，①②③正确． 故选：D． 6．（23-24九年级下·江苏南京·期末）在中，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交与H，连接，，利用垂径定理可得出，利用圆周角定理等可得出，，，利用余角的性质、等角对等边等得出，利用含的直角三角形的性质，求出，，在中，利用勾股定理得出，求出，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】解∶延长交与H，连接，， ∵，过圆心， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理圆周角定理，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键． 7．（2022·广东·模拟预测）如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别为，的中点，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值，即当为直径时，最大，最大， 如图所示：将此时的点记为点， ∵是的直径， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∴， ∴长的最大值为， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·江西九江·期中）课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理： （1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； ②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解； 添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）为的直径， ， 在中，，， ， 是的角平分线， ， ， 在中，， ； （2）①连接，延长交与点，如图： 为的直径， ， 是的角平分线，且， ， ， ，（公共边）， ， ， ，, 直线垂直平分; ②由（1）得：， 由①得：，点是的中点， 是的中位线， ， ． 拔高拓展 1．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题： 如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　 ， °； (2)类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ； (4)实践应用： 如图4，正方形中，，H点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P．则线段最大值为 ． 【答案】(1)，30 (2)，理由见解析 (3)或 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点，利用勾股定理计算出，再利用（2）的结论得到三角形的高，的面积即可求出； （4）先证明，通过角的转化得到，发现点P在以为直径的上运动，如图，当点P、H、N共线，且P在下方时，的值最大，再根据圆的对称性得到此时的值． 【详解】（1）解：如图，和都是等腰三角形， ，， 又， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案为：，30． （2）解：， 理由如下：和都是等腰三角形， ，，， ， 即：， ， ， ，，， ∴， ， ， ． （3）解：如图，连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，，则．， ， ， 连接，作于点，在上截取， ，， ， ，， ， 由（2）可得：， ， ， 同理可得：， 故的面积为：或． 故答案为：或． （4）解：如图，四边形和是正方形， ，，， ，即， ， ， ，， ， ，即， 点P在以为直径的上运动， 如图，当点P、H、N共线，且P在下方时，的值最大， 此时，连接与交于点，并延长与交于点， 根据对称性和（3），，， ． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，圆的对称性等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$