精品解析：山东省青岛市2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题

2021-2022学年下学期4月份质量检测 高一数学试题 2022．4．9 说明： 1．本试卷共4页，共22题，满分共120分，考试用时120分钟．考试结束后，只将答题纸交回． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ） A. 一个球体 B. 一个球体中间挖去一个圆柱 C. 一个圆柱 D. 一个球体中间挖去一个棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球， 根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱， 所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱， 故选：B. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接写出z在复平面内对应的点，再求关于虚轴对称的点即可. 【详解】z在复平面内对应的点为，关于虚轴对称的点是. 故选：D. 3. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式及余弦的二倍角公式进行求值. 【详解】因为，所以. 故选：B 4. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原平面图，然后计算可得. 【详解】根据斜二测画法还原平面图如图，则. 故选：C 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性运算的坐标表示求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得； 【详解】解：因为，，所以， 所以； 故选：A 6. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中球的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱和球的表面积与体积公式即可计算. 【详解】由题可知球的表面积为圆柱表面积的三分之二，设球的半径为R， 则， ∴， ∴. 故选：A. 7. 在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求出答案. 【详解】由余弦定理得：，故. 故选：A 8. 三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知、、两两垂直，，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求出△PBC面积最大值即此时PB和PC的取值，根据已知条件，在长方体内部构造该三棱锥，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，据此即可求解. 【详解】由题意，， 当且仅当时，三棱锥的体积最大， 如图所示，将视为长方体的一部分， 则长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R， 则，解得， 故球的体积是： 故选：C. 9. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c， 则下列说法正确的有（ ） A. A:B:C= a :b :c B. C. 若A>B， 则a>b D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合三角形的性质、正弦定理求得正确答案. 【详解】在三角形中，大角对大边，所以C选项正确. 三角形的内角和为，所以D选项正确. 由正弦定理得，所以A选项错误. 设， 则，B选项正确. 故选：BCD 10. 设P表示一个点，a，b表示两条不同直线，，表示两个不同平面，下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系，结合平面基本性质判断各项的正误即可. 【详解】当时，，，而，A错误； 当时，但，B错误； ，，则，由直线a与点P确定唯一平面， 由a与b确定唯一平面，且该平面经过直线a与点P， 所以该平面与重合，则，故C正确； 由两个平面的公共点必在其交线上，故D正确． 故选：AB 11. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量共线的单位向量是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算分别判断各选项. 【详解】A选项，，，，，A选项正确； B选项，设与向量共线的单位向量，则，解得，或，故或，B选项错误； C选项，，，则，故，C选项正确； D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误； 故选：AC. 12. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 【答案】AD 【解析】 【分析】取点与点重合可判断A；利用面面平行可判断B；判断三棱锥的高和的高是否为定值即可判断C；分别求点到直线的距离可判断D. 【详解】对A，不妨取点与点重合， 因为平面，在平面内，且不过点， 所以异面，即此时异面，A错误； 对B，因为平面，且平面平面， 所以平面，所以平面，B正确，不符合题意； 对C，易知，点到平面的距离为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，C正确； 对D，记的中点分别为，连接， 易知平面，平面，所以， 因为，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 又平面，所以，所以， 所以，D错误. 故选：AD 二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 13. 若复数（i为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简复数，根据复数的模的计算方法可求出答案. 【详解】，所以. 故答案为：. 14. 已知l，m为直线，α为平面，lα，m⊂α，则l与m之间的关系是___________. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】在正方体里举例说明线线关系即可. 【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， A1B1平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD， A1B1与AB平行，A1B1与BC异面， ∴l，m为直线，α为平面，lα，m⊂α， 则l与m之间的关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面. 15. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数解析式为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据左右平移的特征即可得出答案. 【详解】解：函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数. 故答案为：. 16. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，依题意可得且，即可得到，再根据球及圆柱的体积公式计算可得； 【详解】解：设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则且，即，所以，所以； 故答案为： 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．） 17. 已知，，，求的值 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系由可得，由两角差的正切即得. 【详解】由，，得 故答案为: 18. 已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且. （1）求角A； （2）若，，求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后化简可得角A； （2）利用余弦定理可求出 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 在中，，，， 所以由余弦定理得， ，整理得， 解得（舍去），或. 19. 如图，在长方体中，E，F，G分别为，，DC的中点，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）如图，取的中点H，分别连接FH，， 因为F、H分别是的中点，所以且， 在长方体中，E是的中点，则且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 故，又平面，所以平面； （2）因为F、H分别是的中点，所以且， 由，得且， 又G是的中点，则，所以且， 所以四边形CGFH为平行四边形，故， 又平面，所以平面， 由(1)知平面， 结合平面，平面，， 所以平面平面. 【解析】 【分析】(1)如图，根据题意和中位线的性质和长方体的特征可得四边形是平行四边形，，进而得出，利用线面平行的判定定理即可证明； (2)根据题意和中位线的性质和长方体的特征可得四边形CGFH是平行四边形，，进而得出，结合(1)与面面平行的判定定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知函数的部分图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A，由最小正周期求出，并确定． （2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域． 【小问1详解】 由图象可知函数的最大值为，最小正周期， 可得，，所以． 将代入，可得， 由，则，解得，所以． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象． 由，可得， 又函数在上单调递增，在单调递减， ， ， 函数在的值域． 21. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明：连接 ,与相交于M，连接DM，则M是的中点，又D为BC的中点 所以，平面，平面， 所以平面； （2） . 【解析】 【分析】（1）连接交于M，连接DM，通过证明即可得证； （2）转换顶点即可得解. 【详解】（1）略； （2）在正三棱柱中，，点为的中点. 故三棱锥的体积. 22. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足：． （1）求角C； （2）若，的面积，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的诱导公式和两角和的正弦公式，结合正弦定理即可求解； （2）利用面积公式，结合题目调节得出之间的关系，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 （1）因为， 所以， 所以原等式转化为：， 由正弦定理得． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 则． 【小问2详解】 （2）由， 根据面积公式，得， 所以． 由余弦定理得， 整理得，将代入， 即， 所以，． 所以周长为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年下学期4月份质量检测 高一数学试题 2022．4．9 说明： 1．本试卷共4页，共22题，满分共120分，考试用时120分钟．考试结束后，只将答题纸交回． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ） A. 一个球体 B. 一个球体中间挖去一个圆柱 C. 一个圆柱 D. 一个球体中间挖去一个棱柱 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. ，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5 6. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中球的体积为( ) A. B. C. D. 7. 在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知、、两两垂直，，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为( ) A. B. C. D. 9. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c， 则下列说法正确的有（ ） A. A:B:C= a :b :c B. C. 若A>B， 则a>b D. 10. 设P表示一个点，a，b表示两条不同直线，，表示两个不同平面，下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 11. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量共线的单位向量是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 12. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面ABCD C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 13. 若复数（i为虚数单位），则__________. 14. 已知l，m为直线，α为平面，lα，m⊂α，则l与m之间的关系是___________. 15. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数解析式为____________. 16. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________. 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．） 17. 已知，，，求的值 18. 已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且. （1）求角A； （2）若，，求c. 19. 如图，在长方体中，E，F，G分别为，，DC的中点，．求证： （1）平面； （2）平面平面． 20. 已知函数的部分图象，如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 21. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 22. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足：． （1）求角C； （2）若，的面积，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $