专题04 等边三角形【五大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题04 等边三角形 考点类型 知识串讲 （一）等边三角形（特殊的等腰三角形） （1）等边三角形性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 （二）解题方法 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[来源: （4）含30°角的直角三角形性质 （三）等腰三角形与等边三角形的区别与联系 考点训练 考点1：等边三角形的性质——求角度 典例1：如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知等边中，，，连接并延长，交的延长线于点，则的度数 ． 【变式3】如图，在等边中，平分，点E是延长线上一点，且，连接，则 ． 考点2：等边三角形的性质——求线段 典例2：如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】如图，在中，，以为边在外作等边，过点D作，垂足为E，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【变式2】如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ． 【变式3】如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 考点3：等边三角形的性质与判定综合 典例3：如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 【变式1】是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【变式2】如图，和均是边长为2的等边三角形，E，F分别是上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式3】是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则____． (2)如图2，点在延长线上，且，连接，若，，三点共线． ①求证：平分； ②若，，求的长． 考点4：含30°角的直角三角形 典例4：如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【变式1】如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 【变式2】尺规作图：如图，在中，，，，用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交边于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）并写出的长． 【变式3】如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 考点5：等边三角形的动点问题 典例5：已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【变式1】如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)当P为的中点时，求的长； (2)求证：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【变式2】阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 【变式3】在边长为的等边三角形中，点是边上的一点，动点以的速度从点沿向点运动，设运动时间为． (1)如图①，若，，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动的同时，点以的速度从点沿向点运动，求为何值时，是等边三角形； (3)如图③，将边长为9cm的等边三角形变换为以、为腰、为底的等腰三角形，且，，点运动到的中点处停止．点停止运动后，点以的速度从点沿向点运动，同时点以的速度从点沿向点运动，当与全等时，直接写出的值． 考点6：等边三角形的判定 典例6：如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【变式1】如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【变式2】如图，在中，且，在线段上取、两点，使，连接、．    (1)求证：平分； (2)如图，过点作于点，若，求证：是等边三角形． 【变式3】如图，为等边三角形，平分交于点，且交于点． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：为的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等边三角形 考点类型 知识串讲 （一）等边三角形（特殊的等腰三角形） （1）等边三角形性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 （二）解题方法 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[来源: （4）含30°角的直角三角形性质 （三）等腰三角形与等边三角形的区别与联系 考点训练 考点1：等边三角形的性质——求角度 典例1：如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式1】如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，已知等边中，，，连接并延长，交的延长线于点，则的度数 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由是等边三角形，则，，又，则，再根据等边对等角得，最后由三角形外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在等边中，平分，点E是延长线上一点，且，连接，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得，，再由，可得，然后根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点2：等边三角形的性质——求线段 典例2：如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∵， ∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5． ∴的最大值是5． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，以为边在外作等边，过点D作，垂足为E，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】过点C作于点P，证明，再利用直角三角形的特征量解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵等边， ∴． ∴． ∴． 过点C作于点P， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判定与性质， 根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解∶∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， 故答案为∶3． 【变式3】如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点Q作的延长线的垂线于点，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得，再根据，，可证得，从而证得，得到，，从而求得等边三角形的边长，再根据等边三角形的性质即可解题． 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 考点3：等边三角形的性质与判定综合 典例3：如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接． (1)求证：． (2)当平分时，若，求的度数． (3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）先证，再由证即可； （2）证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论 （3）由等腰三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，求出，然后由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明， ∴ 在和中 ； （2）由(1)可知，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，； （3），， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以及性质是解题的关键． 【变式1】是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中线段的长不变； 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据等边三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质确定，根据题意得出方程求解即可； （2）过点P作交于点F，根据等边三角形的性质及判定确定是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质结合图形求解即可 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 又 ， ， 两点同时出发且速度相同， ， 设，则， ， 解得：， ； （2）在运动过程中线段的长不变； 过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ． ， 是等边三角形， ， 于E， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ． 【变式2】如图，和均是边长为2的等边三角形，E，F分别是上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质证明全等． （1）根据等边三角形的性质证明，，，再利用证明即可； （2）根据全等的性质得到，，从而证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴， 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形． ， ，， ， 是等边三角形． 【变式3】是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到． (1)如图1，若，则____． (2)如图2，点在延长线上，且，连接，若，，三点共线． ①求证：平分； ②若，，求的长． 【答案】(1)30 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键． （1）由是等边三角形知，，由，知，，代入值即可； （2）①通过折叠性质证明即可得到结论； ②在上取一点，使，连接，根据证，得，再证是等边三角形，即可得出，由，得出，即可求出的值． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：30； （2）①证明：把沿对折，得到， ， ， ， 又， ， ， 点在延长线上， 平分； ②如图，在上取一点，使，连接，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 点在同一直线上，即， 由①知，， ，， ， ， ． 考点4：含30°角的直角三角形 典例4：如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论； （2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ； （2）解：是等边三角形， 理由如下：连接． 垂直平分， ∴， ，， ， ∴， ， 是等边三角形． 【变式1】如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)海岛B到灯塔C的距离为30海里 (2)上午9时小船与灯塔C的距离最短 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，读懂题意并添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，故海里； （2）过点C作于点P，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离．根据三角形内角和定理，得．根据含30度角的直角三角形的性质，在中，，求出，从而解决此题． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）如图，过点C作于点P，    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴（小时）， 则（时）， 故上午9时小船与灯塔C的距离最短． 【变式2】尺规作图：如图，在中，，，，用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交边于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）并写出的长． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先作的平分线，交边于点，过点作于点，由角平分线的性质定理可得，再根据题意确定，易知在中，，进而可得，然后计算的长即可． 【详解】解：如图，即为所求； 过点作于点， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形内角和是求得，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，即可求解； （2）根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵线段的垂直平分线交于， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． 考点5：等边三角形的动点问题 典例5：已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当为或时，是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）求出，得出要使是等边三角形，则有，由题意表示出，，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）求出，由题意表示出，，由是直角三角形结合含角的直角三角形的性质得出或，分情况列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：∵在中，，， ， ∴要使是等边三角形，则有， 由题意得：，，则， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时对应的值为； （3）解：当为或时，是直角三角形，理由如下： ∵在中，，， ， 由题意得：，，则， 是直角三角形， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得：， 综上所述，当为或时，是直角三角形． 【变式1】如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)当P为的中点时，求的长； (2)求证：在运动过程中，点D是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)不变， 【分析】（1）先求出，再利用含30°的直角三角形的性质得出，即可作答； （2）先作出得出，进而判断出得出即可得出结论； （3）利用等边三角形的性质得出，借助，即可得出，最后用等量代换即可． 【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形，P为的中点 ∴， ∵ ∴， ∴； （2）证明：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点， （3）解：运动过程中线段的长不发生变化，是定值为3， 理由：∵， ∴ 又∵， ∴， 即 ∴ 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含的直角三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题． 【变式2】阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质；等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用； （1）根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据即可求解； （2）依题意当是等腰三角形，则是等边三角形，则只有一种可能，根据，建立方程，即可求解． （3）分，两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∵动点从点出发沿线段以的速度向终点运动， ∴ 当时， （2）解：∵， ∴当是等腰三角形，则是等边三角形， ∵，， 过点作于点， ∴当时， 解得： 即时，是等腰三角形 （3）解：当时，， ∴ 即 解得： 当时， ∴ 即 解得： 综上所述，或时，是直角三角形 【变式3】在边长为的等边三角形中，点是边上的一点，动点以的速度从点沿向点运动，设运动时间为． (1)如图①，若，，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动的同时，点以的速度从点沿向点运动，求为何值时，是等边三角形； (3)如图③，将边长为9cm的等边三角形变换为以、为腰、为底的等腰三角形，且，，点运动到的中点处停止．点停止运动后，点以的速度从点沿向点运动，同时点以的速度从点沿向点运动，当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）根据是等边三角形，，得出 ，，证明出是等边三角形，即可得出； （2）需要进行分类讨论，当点Q在边上时，此时不可能为等边三角形；当点Q在边上时，若为等边三角形，则，然后求解； （3）当，全等时，分两种情况讨论，当时，当时，设经过秒后全等，，然后再分类讨论，进行计算． 【详解】（1）解： 是等边三角形，， ，， ， ， 是等边三角形， ． 由题意可知，则， ， 解得． （2）解：如图2 ①当点Q在边上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：， 解得：， 故当秒时，为等边三角形； （3）解：如图3： ， 当，全等时，分两种情况讨论， 当时， 设经过秒后全等， ， 根据， ， 解得：， 即时，，全等； 当时， 设经过秒后全等， ， 根据， 即， 解得：， ， ， 解得：， 综上：当，全等时，a的值为1或． 【点睛】本题考查了等边三角形、平行线的性质、三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握相应的定理，还需要利用分类讨论的思想进行求解． 考点6：等边三角形的判定 典例6：如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据可证； （2）由全等三角形的性质得，结合可证是等边三角形． 【详解】（1）∵， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：是等边三角形． 理由：∵ ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式2】如图，在中，且，在线段上取、两点，使，连接、．    (1)求证：平分； (2)如图，过点作于点，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题考查等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识； （1）由且，得，而，则，所以垂直平分，则，所以平分； （2）由（1）得，，而，所以，由，，得，即可证明，得，所以，则是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵，且，    ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴平分． （2）由（1）得，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式3】如图，为等边三角形，平分交于点，且交于点． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． （2）∵为等边三角形， ∴． ∵平分， ∴．                                 ∵是等边三角形， ∴． ∴， 即为的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$