2.2 探索轴对称的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制）

鲁教版七年级上册数学 第二章 生活中的轴对称形 2 探索轴对称的性质 1 学习目标 1.知道轴对称图形的性质。 2.会按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。 3.体验轴对称在现实生活中的应用,并能运用轴对称的性质设计图案。 2 情境&导入 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形. 这条直线叫这个图形的对称轴. 轴对称:对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称. 这条直线就是对称轴. 3 观察与思考 1.动画（1）中的两个三角形有什么关系？ 2.动画（2）中的三角形是个什么图形？ （1） （2） 情境&导入 探索&交流 轴对称的性质 1— 观察线段和角，它们都是轴对称图形吗？ A B O C D 5 探索&交流 如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平： 探索&交流 （1）两个“14”有什么关系？ 打开 （2）设折痕所在直线为l，连接点E和E′的线段和l有什么关系？点F和F′呢？ （3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？ （4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？ 与直线l垂直. AB＝A′B′，CD＝C′D′. ∠1=∠2，∠3=∠4. 成轴对称图形. 探索&交流 做一做 观察右图的轴对称图形： （1）找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分． 将其对折之后，A与A1重合，因此，我们就可以这样称点A关于 对称轴的对应点是A1，同样的，B与B1重合，称点B关于对称轴的对应点是B1。连接AA1，BB1，这两个线段分别与对称轴垂直。 将对称轴画出之后，我们能够看到对称轴左右的两个部分是明显对称的。 （2）连接点A与点 A′的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B′的线段呢？ （3）线段 AD 与线段A′D′有什么关系？线段 BC 与线段 B′C′呢？为什么？ （4）∠1 与∠2 有什么关系？∠3 与∠4 呢？说说你的理由？ 沿对称轴对折，AD与A1D1重合，称线段AD关于对称轴的对应线段是A1D1，BC与B1C1重合，称线段BC关于对称轴的对应线段是B1C1。由于重合，我们知道，AD=A1D1，BC=B1C1。 对折，∠1与∠2，∠3与∠4分别重合，我们就称∠1关于对称轴的对应角是∠2，∠3关于对称轴的对应角是∠4。而且结合重合的特点，我们知道，∠1=∠2，∠3=∠4。 探索&交流 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 轴对称的性质 探索&交流 典例精析 例1.如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1，P关于OA对称，点P2，P关于OB对称.连接P1P2，分别交OA，OB于C，D.连接PC，PD.若P1P2＝10cm，则△PCD的周长为 . P . P1 C D B A O 10 11 探索&交流 议一议 在纸上画出线段AB及它的中点O，再过O点画与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折,观察线段OA和线段OB是否重合？ A B O C D A B O C D 上图中直线CD是线段AB的垂直平分线. 线段的垂直平分线是一条直线. 探索&交流 思考：综合以上问题，你能得到什么结论？ 轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点 所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 探索&交流 探索&交流 典例精析 例2.如图，在△ABC中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，DE为折痕，求△ABE的周长． 15 解：由折叠知，△AED和△CED关于DE所在直线对称，因此AE＝EC， 所以BE＋AE＝BE＋EC＝BC＝5 cm. 所以△ABE的周长＝AB＋BE＋AE ＝AB＋BC ＝3＋5 ＝8(cm)． 探索&交流 探索&交流 做一做 如图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半. 探索&交流 轴对称图形对称轴的画法： 1.找出轴对称图形的任意一组对称点，连结对称点. 2.画出连接对称点的线段的垂直平分线.则这条垂直平分线就是它的对称轴. 依据：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分． 探索&交流 画原图关于某直线对称的图形的步骤： 画原图关于某直线对称的图形要经历一找二作三连这三个步骤： ①找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)； ②作：作各个特殊点关于对称轴的对称点； ③连：按原图的顺序连接所作的各对称点． 探索&交流 典例精析 例2.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由． 20 解：①作点A关于直线MN的对称点A′； ②连接BA′交MN于点P，则点P就是 货物中转站的位置．如图. 理由：如图，在直线MN上另取一点P′，连接AP，A′P′，AP′，BP′.因为直线MN是点A，A′的对称轴，点P，P′在对称轴上，所以PA＝PA′，P′A＝P′A′.所以PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B. 在△A′P′B中，因为A′B＜P′A′＋P′B， 所以PA＋PB＜P′A′＋P′B，即PA＋PB＜P′A＋P′B，所以PA＋PB最小． 探索&交流 典例精析 例3.如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是(　　) A．AB∥DF B．∠ABC＝∠DEF C．AB＝DE D．AD⊥MN D 22 随堂练习 练习&巩固 1.下列说法错误的是( ) A.等边三角形是轴对称图形 B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等 C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧 D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 C 23 练习&巩固 2.下面的一些虚线，哪些是图形对称轴，哪些不是图形的对称轴？ ②④⑥是图形的对称轴 练习&巩固 3.某乡为了解决所辖范围内张家村A和李家村B的饮水问题，决定在河MN边打开一个缺口P将河水引入到张家村A和李家村B.为了节约资金，使修建的水渠最短，应将缺口P修建在哪里?请你利用所学知识解决这一问题，并用红色线段画出水渠. A B P M N A B M A1 25 课堂总结 1.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 2.画图形的轴对称图形的步骤： ①确定原图形的关键点； ②作出每个关键点关于对称轴的对称点； ③按原图顺序依次连接相应的对称点. 26 $$