精品解析：2024年湖南省娄底市初中学业水平考试数学押题卷（一）

湖南省2024年初中学业水平考试押题卷(一) 数 学 时量∶120分钟 满分∶120分 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26道题目，考试时量 120分钟，满分120分． 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 的相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数定义．根据题意利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵的相反数是2024， 故选：B． 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式，以及同底数幂的除法， 根据各自的运算法则一一计算判断即可． 【详解】解：．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ． ，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 细胞壁是细胞外层的结构，包裹在细胞膜外部，存在于许多生物细胞中，如细菌、真菌、植物细胞等．研究表明，细胞壁的厚度一般为．数据，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 4. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 5. 图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有较强的空间想象能力，难度不大．根据三视图结合四个选项找到正确的答案即可． 【详解】解：根据俯视图是一个正方形，只有选项C符合题意，其他选项均不符合题意， 故选：C． 6. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果如表所示，则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（） 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 7 17 11 5 A. 6h，6h B. 6h，17h C. 6.5h，6h D. 6.5h，17h 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用中位数和众数的概念求解可得． 【详解】解：这组数据的中位数为第20和21个数据的平均数，即中位数为6h；6出现次数最多，众数为6h． 故选：A． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 7. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 根据正方体体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设正方体铁块的棱长为，根据题意，得 ， ， ∵， ∴， ∴该正方体铁块的棱长位于3和4两个相邻整数之间． 故选：B． 9. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） A. 减少米 B. 增加米 C. 减少米 D. 增加米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则， ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故选：A． 【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 10. 如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点C作于D，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而利用等面积法求出，则可利用勾股定理求出；再证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，则点E的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，， ∴点E的坐标为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 要把一个横排挂钩在墙上钉牢，至少要钉两枚钉子，这样做的依据是：________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质解答即可，利用直线的性质是解此题的关键． 【详解】解：要把一个横排挂钩在墙上钉牢，至少要钉两枚钉子，这样做的依据是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 13. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．如图是小沈同学收集到的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其他完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“指南针”的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：∵四张卡片除内容外其他完全相同， ∴从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“指南针”的概率为． 故答案为：． 14. 苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图，这是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根小木棒按此规律，第n个图形需要_________根小木棒． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多8根小木棒，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形需要根小木棒， 第2个图形需要根小木棒， 第3个图形需要根小木棒， ……， 以此类推，可知第n个图形需要根小木棒． 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连结CD.若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为______． 【答案】12 【解析】 【详解】根据作图可得MN是BC的垂直平分线， ∵MN是BC的垂直平分线， ∴CD=DB， ∵AB=8， ∴CD+AD=8， ∴△ACD的周长为：4+8=12， 故答案为12. 16. 如图，点的坐标分别为，将绕点按逆时针方向旋转，得到，其中点的对应点分别是点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转作图，熟练掌握相关知识是解题的关键．按题目要求画出旋转后的图形，然后观察图形即可得出答案． 【详解】解：按题意画图如下， ∵点的坐标分别为， ∴观察图形知，点B绕点按逆时针方向旋转得到点，其坐标是， 故答案为：． 17. 七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品放入矩形中（如图2），则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了七巧板的应用，掌握七巧板的相关结论是解题关键． 【详解】解：如图， ∵正方形纸片边长为4 ∴其对角线长为：； 由七巧板的切割方法可知，， ，，，， ． 故答案为： 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点)，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心， ∴延长恰好经过点， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24题每小题9分，第25，26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可． 详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，请从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式（当时，原式） 【解析】 【分析】先将原式化简，然后从0，1，2，3四个数中选取使得原分式有意义的x的值代入化简后的分式即可解答本题． 【详解】解：原式＝ 由题意可知：， ∴ 当时，原式（当时，原式） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义，即的值不等于1，3． 21. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新的热情，某校开展航天知识竞赛活动，对竞赛成绩采用随机抽样的方法抽取了部分学生的成绩，对竞赛成绩进行分析后绘制了如下两幅不完整的统计图（成绩等级分为A优秀、B良好、C中等、D合格） 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ，扇形统计图中A对应圆心角的度数为 °； （2）请补全条形统计图； （3）若该校学生共有人，请估计其中竞赛成绩达优秀的人数． 【答案】（1） （2）补全条形统计图： （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据的条形统计图和扇形统计图的数据即可求解； （2）计算出的人数即可求解； （3）计算出样本中优秀人数所占比例即可求解． 小问1详解】 解：此次调查的样本容量为：； 扇形统计图中A对应圆心角的度数为：， 故答案为： 【小问2详解】 解：的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：2000×＝160（人） 答：估计其中竞赛成绩达优秀的人数有人． 22. 如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF． （1）求证：AD＝CF； （2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）添加DA＝DC，见解析 【解析】 【分析】（1）根据AD∥BC证得∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC，根据E为AC的中点得到AE＝CE，再利用AAS证得△DEA≌△FEC即可得到AD＝CF； （2）若四边形AFCD成为菱形，则应证四边形AFCD是平行四边形，因而加一组邻边相等即可，如：DA＝DC． 【详解】（1）证明：在△DEA和△FEC中， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC． 又∵E为AC的中点， ∴AE＝CE． ∴△DEA≌△FEC． ∴AD＝CF． （2）添加DA＝DC． 证明：∵AD∥BC， 又∵AD＝CF， ∴四边形AFCD为平行四边形． 又∵DA＝DC， ∴四边形AFCD为菱形． 【点睛】此题考查梯形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，掌握各定理并熟练运用解题是关键. 23. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗的价格． （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 【答案】（1）每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元； （2）乙种树苗种植数量不得少于100棵． 【解析】 【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解； （2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可． 【小问1详解】 解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元， 由题意可得： ， 解得：， 答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元； 【小问2详解】 设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵， ∴， 解得：， ∴的最小整数解为100． 答：乙种树苗种植数量不得少于100棵． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 24. 如图，某小区门口安装了车辆出入道闸．道闸关闭时，如图①，为固定立柱，四边形为矩形，，，点D距地面；道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图②，当道闸打开至时，上一点P到地面的距离为，求点P到立柱的距离的长； （2）已知一辆货车宽，高，当道闸打开至时，请通过计算说明这辆货车能否驶入小区．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）中，，,可得，结合，即可求出的长； （2）当时，，求出的长，与比较即可得到答案； 【小问1详解】 解：如图，过点D作，垂足为点Q． 由题意，得，，， ∴， ∴． 所以，的长为． 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由，时， 可得，． 在中，， ∴． ∴． 所以，这辆货车不能驶入小区． 25. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 详解】解：（1）证明：连接，取轴正半轴与交点于点，如下图： ， 为的外角， ， ， ， ． （2）过点作的垂线，交与点，如下图： 由题意： 在中， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在中，由勾股定理得： ， 即． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解答的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解． 26. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案； （3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：矩形的顶点坐标分别是，， 矩形的“梦之点”满足，， 点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”． 【小问2详解】 点是抛物线上的“梦之点”， ， 解得：，， 当时，，当时，， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 由（2）可得，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 以为对角线，以为顶点的四边形是菱形， ， 点、在直线上， 点在二次函数上， 联立， 解得：，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省2024年初中学业水平考试押题卷(一) 数 学 时量∶120分钟 满分∶120分 温馨提示： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26道题目，考试时量 120分钟，满分120分． 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1. 相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 细胞壁是细胞外层的结构，包裹在细胞膜外部，存在于许多生物细胞中，如细菌、真菌、植物细胞等．研究表明，细胞壁的厚度一般为．数据，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 图（1）是矗立千年而不倒的某木塔一角，全塔使用了54种形态各异的斗拱．斗拱是中国建筑特有的一种结构，位于柱与梁之间．斗拱由斗、升、拱、翘、昂组成，图（2）是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果如表所示，则这40名学生在校一周体育锻炼时间中位数和众数分别为（） 锻炼时间/h 5 6 7 8 人数 7 17 11 5 A. 6h，6h B. 6h，17h C. 6.5h，6h D. 6.5h，17h 7. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 9. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） A. 减少米 B. 增加米 C. 减少米 D. 增加米 10. 如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 11. 分解因式：__________． 12. 要把一个横排挂钩在墙上钉牢，至少要钉两枚钉子，这样做的依据是：________． 13. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．如图是小沈同学收集到的中国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其他完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“指南针”的概率为________． 14. 苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图，这是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根小木棒按此规律，第n个图形需要_________根小木棒． 15. 如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连结CD.若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为______． 16. 如图，点的坐标分别为，将绕点按逆时针方向旋转，得到，其中点的对应点分别是点，则点的坐标是______． 17. 七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品放入矩形中（如图2），则的长为______． 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24题每小题9分，第25，26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，请从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 21. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某校开展航天知识竞赛活动，对竞赛成绩采用随机抽样的方法抽取了部分学生的成绩，对竞赛成绩进行分析后绘制了如下两幅不完整的统计图（成绩等级分为A优秀、B良好、C中等、D合格） 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ，扇形统计图中A对应圆心角的度数为 °； （2）请补全条形统计图； （3）若该校学生共有人，请估计其中竞赛成绩达优秀的人数． 22. 如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF． （1）求证：AD＝CF； （2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由． 23. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元． （1）求每棵甲、乙树苗的价格． （2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？ 24. 如图，某小区门口安装了车辆出入道闸．道闸关闭时，如图①，为固定立柱，四边形为矩形，，，点D距地面；道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图②，当道闸打开至时，上一点P到地面的距离为，求点P到立柱的距离的长； （2）已知一辆货车宽，高，当道闸打开至时，请通过计算说明这辆货车能否驶入小区．（参考数据：，，） 25. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 26. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由． （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$