第二十四章 圆 单元检测卷 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024年人教版九年上学期数学第二十四章单元检测卷（答案） (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 1．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O内的一点，则下列说法正确的是(　B　) A．AC是⊙O的弦 B．∠BOC是圆心角 C．∠C是圆周角 D．AC＋OC＜AB 　　　　　　　　　 2．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BD，若∠AOC＝30°，则∠COD的度数为(　D　) A．150° B．140° C．130° D．120° 3．下列说法正确的是(　D　) A．长度相等的弧是等弧 B．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴 C．平分弦的直径垂直于弦 D．不在同一直线上的三点确定一个圆 4．若⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三点，且OA＝7，OB＝6，OC＝5，则下列说法正确的是(　B　) A．点A在⊙O内 B．点B在⊙O上 C．点C在⊙O外 D．点C在⊙O上 5．如图，某桨轮船的轮子的半径为5 m，被水面截得的弦AB的长为8 m，则该轮子的吃水深度CD为(　B　) A．1.5 m B．2 m C．2.5 m D．3 m 6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为(　C　) A．50° B．45° C．40° D．35° 7．如图，在⊙O中，直径CD经过弦AB的中点E，F是上的一点，若＝，则∠AFD的度数为(　B　) A．25° B．30° C．35° D．40° 　　　　　　　　　 8．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，若∠E＝40°，则∠ABC的度数为(　B　) A．110° B．115° C．120° D．125° 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，则∠ADB的度数为(　B　) A．120° B．135° C．145° D．150° 10．如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为(　C　) A．5－π B．5－ C．－ D．－ 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11．若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设__圆的切线不垂直于过切点的半径__． 12．如图是一个底面圆半径为7 cm，母线长为21 cm的圆锥形状生日帽，则其侧面积为__147π__ cm2；若将该帽子沿其一条母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为__120°__． 　　　　　　　　　 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝110°，则∠OBD＝__20°__． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.若AC＝5，BF＝10，则OA＝____． 15．如图，在平面直角坐标系中，分别以点A (－2，3)，B(3，4)为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为__－3__．　 三、解答题(共9小题，共75分) 16．(6分)如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且＝.求证：OE＝OF.　 证明：连接OA，OB， ∵OA＝OB，∴∠A＝∠B. 又∵＝，∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF(ASA)，∴OE＝OF 17．(6分)如图，在等边△ABC中，AB＝6 cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与直线AB的位置关系： (1)r＝3 cm；(2)r＝4.5 cm；(3)r＝6.8 cm. 解：过点D作DE⊥AB于点E. ∵等边△ABC的边长为6 cm，AD⊥BC于点D， ∴BD＝BC＝×6＝3(cm)， ∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°， ∴AD＝＝＝9(cm)，∴DE＝AD＝4.5(cm). (1)∵r＝3 cm＜4.5 cm，∴⊙D与直线AB相离 (2)∵r＝4.5 cm，∴⊙D与直线AB相切 (3)∵r＝6.8 cm＞4.5 cm，∴⊙D与直线AB相交 18．(6分)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OD⊥AC于点D.若AB＝12，OB＝13，OD＝3，求AC的长． 解：∵AB是⊙O的切线， ∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°， ∴OA＝＝＝5. 又∵OD⊥AC， ∴CD＝AD＝＝＝4，∴AC＝2AD＝8 19．(8分)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠E＝∠F.　 (1)求证：AC是⊙O的直径； (2)若⊙O的半径为1，∠E＝40°，求的长度． 解：(1)证明：∵∠E＝∠F，∠ABC＝180°－∠BAE－∠E，∠ADC＝180°－∠DAF－∠F，∴∠ABC＝∠ADC. 又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC是⊙O的直径 (2)连接OB，OD，∵∠E＝40°，∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝180°－∠ABC－∠E＝50°， ∴∠BOD＝2∠BAE＝100°， ∴的长度为＝ 20．(8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF与CD的延长线交于点G. (1)若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径长； (2)求证：∠AFC＝∠DFG. 解：(1)连接OC，设⊙O的半径长为r， 则OB＝OC＝r，∴OE＝OB－BE＝r－2. ∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4. 在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2＋CE2， ∴r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5， ∴⊙O的半径长为5 (2)证明：连接AC， ∵弦CD⊥AB，∴＝， ∴∠AFC＝∠ACD. 又∵四边形ACDF是⊙O的内接四边形， ∴∠ACD＝180°－∠AFD＝∠DFG， ∴∠AFC＝∠DFG 21．(8分)下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程： 已知：⊙O及⊙O外的一点P.求作：经过点P的⊙O的切线． 作法：①如图，连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A； ②以点A为圆心，以OA的长为半径作圆，交⊙O于B，C两点； ③作直线PB和直线PC.直线PB，PC就是所求作的切线． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规作出图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明(说明：括号里填写推理的依据)： 证明：如图，连接OB，OC， ∵OP是⊙A的直径， ∴∠PBO＝∠PCO＝__90__°(__直径所对的圆周角是直角__)， ∴PB⊥OB，PC⊥OC. 又∵OB，OC为⊙O的半径， ∴PB，PC是⊙O的切线(__经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线__). 22．(10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O分别交AB，BC于点D，E，BA平分∠CBF，且BF＝BE，连接AF. (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若∠ACB＝45°，CE＝2，求图中阴影部分的面积． 解：(1)证明：连接AE，∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°，∴∠ABC＋∠BAE＝90°. ∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC. ∵BA平分∠CBF，∴∠ABF＝∠ABE. 又∵AB＝AB，BF＝BE，∴△ABF≌△ABE(SAS)，∴∠BAF＝∠BAE， ∴∠CAF＝∠CAB＋∠BAF＝∠CBA＋∠BAE＝90°，∴OA⊥AF. ∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线 (2)连接OD，CD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB. 又∵AC＝BC，∴AD＝BD.又∵OA＝OC，∴OD∥BC，OD＝BC. ∵∠AEC＝∠AEB＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CAE＝45°＝∠ACB，∠AOD＝∠ACB＝45°， ∴AE＝CE＝2，∴AC＝＝2，∴OA＝，BC＝AC＝2， ∴S△AOD＝S△ACD＝S△ABC＝×BC·AE＝××2×2＝， S扇形AOD＝＝π，∴S阴影部分＝S扇形AOD－S△AOD＝π－ 23．(11分)如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D. (1)求证：DB＝DI； (2)若OI⊥AD于点I，IE⊥AB于点E，求证：BC＝2AE. 证明：(1)连接BI，∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∠ABI＝∠CBI， ∴∠BAD＋∠ABI＝∠CBD＋∠CBI， 即∠BID＝∠IBD，∴DB＝DI (2)连接OD交BC于点F，∵∠BAD＝∠CAD， ∴＝，∴OD⊥BC，BF＝CF. ∵OI⊥AD，IE⊥AB，∴∠BFD＝∠AEI＝90°，AI＝DI＝DB. 又∵∠DBF＝∠DAC＝∠IAE，∴△DBF≌△IAE(AAS)， ∴BF＝AE，∴BC＝2BF＝2AE 24．(12分)【基础巩固】(1)如图①，△ABC内接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，则⊙O的半径长为__2__； 【问题探究】(2)如图②，四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC＝60°，AD＝CD，B为上的一动点(不与点A，C重合)，求证：AB＋BC＝BD； 【解决问题】(3)如图③，一块空地由三条直路(线段AB，BC，AD)和一条道路围成，已知CE＝DE＝ km，∠CED＝60°，的半径长为1 km.市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点E处，另外三个入口分别在点C，D，F处，其中点F在上，并在公园中修四条慢跑道(即图中的线段CE，CF，DE，DF)，是否存在一种规划方案使得四条慢跑道的总长度最大？若存在，请求其最大值；若不存在，请说明理由． 解：(2)证明：在BD上取一点E，使BE＝BC，连接AC，CE. ∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AC＝CD，∠ACD＝60°. 又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°. 又∵AD＝CD，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD＝60°. 又∵BC＝BE，∴△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°＝∠ACD， ∴∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE，即∠BCA＝∠ECD， ∴△ACB≌△DCE(SAS)，∴AB＝DE，∴AB＋BC＝DE＋BE＝BD (3)存在，理由如下：连接OC，OD，OE，EF，过点O作OG⊥DE于点G，设OG＝x km. 在△OCE与△ODE中，∴△OCE≌△ODE(SSS)， ∴∠CEO＝∠DEO＝∠CED＝30°，∴OE＝2OG＝2x km， ∴GE＝＝x km，∴DG＝DE－GE＝(－x)km. ∵在Rt△ODG中，DG2＋OG2＝OD2，∴(－x)2＋x2＝12， ∴x1＝，x2＝1(不合题意，舍去)，∴OG＝ km，OE＝1 km. 又∵的半径为1 km，∴C，E，D，F四点共圆，∴∠DFC＝180°－∠CED＝120°. 又由(2)可知CF＋DF＝EF，∴当EF为⊙O的直径时，CF＋DF有最大值，且这个最大值为2 km.又∵CE＝DE＝ km，∴四条慢跑道的总长度的最大值为(2＋2)km 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年人教版九年上学期数学第二十四章单元检测卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 1．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O内的一点，则下列说法正确的是(　　) A．AC是⊙O的弦 B．∠BOC是圆心角 C．∠C是圆周角 D．AC＋OC＜AB 　　　　　　　　　 2．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BD，若∠AOC＝30°，则∠COD的度数为(　　) A．150° B．140° C．130° D．120° 3．下列说法正确的是(　　) A．长度相等的弧是等弧 B．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴 C．平分弦的直径垂直于弦 D．不在同一直线上的三点确定一个圆 4．若⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三点，且OA＝7，OB＝6，OC＝5，则下列说法正确的是(　　) A．点A在⊙O内 B．点B在⊙O上 C．点C在⊙O外 D．点C在⊙O上 5．如图，某桨轮船的轮子的半径为5 m，被水面截得的弦AB的长为8 m，则该轮子的吃水深度CD为(　　) A．1.5 m B．2 m C．2.5 m D．3 m 6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为(　　) A．50° B．45° C．40° D．35° 7．如图，在⊙O中，直径CD经过弦AB的中点E，F是上的一点，若＝，则∠AFD的度数为(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° 　　　　　　　　　 8．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，若∠E＝40°，则∠ABC的度数为(　　) A．110° B．115° C．120° D．125° 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，则∠ADB的度数为(　　) A．120° B．135° C．145° D．150° 10．如图，边长为的正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为(　　) A．5－π B．5－ C．－ D．－ 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11．若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设___________． 12．如图是一个底面圆半径为7 cm，母线长为21 cm的圆锥形状生日帽，则其侧面积为___________ cm2；若将该帽子沿其一条母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为___________． 　　　　　　　　　 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝110°，则∠OBD＝____________． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.若AC＝5，BF＝10，则OA＝___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，分别以点A (－2，3)，B(3，4)为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为___________．　 三、解答题(共9小题，共75分) 16．(6分)如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且＝.求证：OE＝OF.　 17．(6分)如图，在等边△ABC中，AB＝6 cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与直线AB的位置关系： (1)r＝3 cm；(2)r＝4.5 cm；(3)r＝6.8 cm. 18．(6分)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OD⊥AC于点D.若AB＝12，OB＝13，OD＝3，求AC的长． 19．(8分)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠E＝∠F.　 (1)求证：AC是⊙O的直径； (2)若⊙O的半径为1，∠E＝40°，求的长度． 20．(8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF与CD的延长线交于点G. (1)若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径长； (2)求证：∠AFC＝∠DFG. 21．(8分)下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程： 已知：⊙O及⊙O外的一点P.求作：经过点P的⊙O的切线． 作法：①如图，连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A； ②以点A为圆心，以OA的长为半径作圆，交⊙O于B，C两点； ③作直线PB和直线PC.直线PB，PC就是所求作的切线． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规作出图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明(说明：括号里填写推理的依据)： 22．(10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O分别交AB，BC于点D，E，BA平分∠CBF，且BF＝BE，连接AF. (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若∠ACB＝45°，CE＝2，求图中阴影部分的面积． 23．(11分)如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D. (1)求证：DB＝DI； (2)若OI⊥AD于点I，IE⊥AB于点E，求证：BC＝2AE. 24．(12分)【基础巩固】(1)如图①，△ABC内接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，则⊙O的半径长为__________； 【问题探究】(2)如图②，四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC＝60°，AD＝CD，B为上的一动点(不与点A，C重合)，求证：AB＋BC＝BD； 【解决问题】(3)如图③，一块空地由三条直路(线段AB，BC，AD)和一条道路围成，已知CE＝DE＝ km，∠CED＝60°，的半径长为1 km.市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点E处，另外三个入口分别在点C，D，F处，其中点F在上，并在公园中修四条慢跑道(即图中的线段CE，CF，DE，DF)，是否存在一种规划方案使得四条慢跑道的总长度最大？若存在，请求其最大值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$