精品解析：2024年广东省东莞市中考数学猜题试题

2024年广东省东莞市中考数学猜题试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 实数，，2，中，为负整数的是（ ） A. B. C. 2 D. 2. “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，数据10909用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于不可能事件是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 5. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 6. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m＜2 C. m＞4 D. m＜4 9. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是 ______． 12. 一个不透明袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________． 13. 若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为_______． 14. 方程组的解是______． 15. 如图，在中，，，，，则________． 16. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 三、解答题（一）（17题5分，18题5分，19题6分，20题8分） 17. 计算：． 18. 计算：，从0，1，2，3，4中选取适合x的值代入求值． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6． （1）根据要求用尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．） （2）在（1）条件下，CD＝1，求△ADB的面积． 20. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 人； （2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 四、解答题（二）（21题8分，22题8分，23题8分） 21. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同． （1）求两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数右支下方轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 五、解答题（三）（24题12分，25题12分） 24. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC=60°，延长BA至点P使AP=AC， 作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D. 连结PC，BD. (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)求证：BD=PA； (3)若PC=，求AE的长. 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省东莞市中考数学猜题试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 实数，，2，中，为负整数的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照负整数的概念即可选取答案． 【详解】解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数 故选D． 【点睛】本题考查了实数的分类，比较简单． 2. “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，数据10909用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数，据此解题． 【详解】解：10909用科学记数法可表示为， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：，故A正确，C错误； ，故B、D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断． 4. 下列事件中，属于不可能事件是（ ）． A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天 D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案． 【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件 ∴选项A错误； 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件 ∴选项B错误； 班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件 ∴选项C错误； 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件 ∴选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解． 5. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值． 【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值． 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8. 关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m＜2 C. m＞4 D. m＜4 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜4， 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键． 9. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 【详解】解：因为AD垂直BC， 则△ABD和△ACD都是直角三角形， 又因为 所以AD=， 因为sin∠C=， 所以AC=2， 因为EF为△ABC的中位线， 所以EF==1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 10. 已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查解分式方程及一次函数的性质，根据题意得出或或，确定或或，再由一次函数的性质得出，即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：分式方程两边同时乘，得， 整理，得． ∵此分式方程无解， ∴或或， ∴或或． ∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴， ∴或， ∴满足条件的m的值之和是． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是 ______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到且，进行求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果， 所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 13. 若扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般． 直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】由题意得，， 故可得扇形的面积． 故答案为：． 14. 方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加减消元法求解二元一次方程组，将的左右两边分别乘2，再与相加消去y，求得x的值，将x的值代入中可求出y的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入得， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 16. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 三、解答题（一）（17题5分，18题5分，19题6分，20题8分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值是解答本题的关键． 18. 计算：，从0，1，2，3，4中选取适合x的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式； 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的化简求值，先通分括号内，再进行除法运算，化简得，要注意分母不为0的情况，把和分别代入，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， ∵， ∴， ∵从0，1，2，3，4中选取适合x的值， ∴当把代入，原式， 当把代入，原式． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6． （1）根据要求用尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．） （2）在（1）的条件下，CD＝1，求△ADB的面积． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图，作∠CAB的平分线交BC于点D； （2）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE的长，进而得出△ADB的面积． 【详解】解：（1）如图所示，AD即为所求； （2）如图所示，过D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝CD＝1， 又∵AB＝6， ∴△ADB的面积＝AB×DE＝×6×1＝3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质的运用，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 20. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 人； （2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率； （1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数； （2）用等级频数除以总人数即可得出的值；用度乘以等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 （人）， 故答案为：， 【小问2详解】 ，． 故答案为：，； 【小问3详解】 设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下： 共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种， 所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为． 四、解答题（二）（21题8分，22题8分，23题8分） 21. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同． （1）求两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元 （2）购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，设总利润为w元，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求出m的范围；再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， （元）， 答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元； 【小问2详解】 解：设该商店购进A种羽毛球拍m副，总利润为w元， 根据题意，得， 解得，且m为正整数， ， ∵， ∴w随着m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大利润为（元）， 此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副）， 答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元． 22. 如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果． 【详解】（1）证明， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴BE=DF， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴AE=3，BE=4． ∵BE=DF，AE=CF， ∴BE=DF=4，AE=CF=3， ，， ∴， ∴tan∠CBF=，tan∠ECF=， ∴，得到EF=，或EF=（舍去）， ∴BD=4+4+=， 即BD=． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数右支下方轴上的动点，且为等腰三角形，求出所有满足条件的P点． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰三角形的定义，勾股定理求两点坐标，解一元二次方程； （1）将，代入得出，进而将代入，得出，再待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）分，，分别列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入 ∴， ∴， 将代入，则 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ 【小问2详解】 ∵点P是反比例函数右支下方轴上的动点， 设，， ∵ ∴，， ∵为等腰三角形， ①当时， 解得：（舍去）或 ∴ ②当时， 解得：（舍去）或 ∴ ③当时， 解得：（舍去） 综上所述，或 五、解答题（三）（24题12分，25题12分） 24. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC=60°，延长BA至点P使AP=AC， 作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D. 连结PC，BD. (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)求证：BD=PA； (3)若PC=，求AE的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连接OC, PC是⊙O切线，只要证明OC⊥PC即可; （2）连结AD,根据相等的圆周角所对的弦相等，得出AD=BD，进而利用勾股定理得出，再由△ACO为等边三角形，得出结论; （3）根据∠DBA=∠ACE=45°, ∠P=∠PCA=30°,得出PC=PE=,再利用勾股定理得出CO=6，PO=12，进而得出结论. 【详解】解：（1）连接OC， ∵∠BAC=60°，且OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=60°. ∵AP=AC，且∠P+∠PCA=∠BAC=60°， ∴∠P=∠PCA=30°. ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=90°. ∴PC为切线. (2)连结AD ∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCD=45°. ∴AD=BD. ∵在Rt△ADB中，. ∴ 又∵OA=OC，∠CAO=60°， ∴△ACO为等边三角形， ∴AC=CO=AO. ∴. ∴BD=PA ; (3) ∵∠DBA=∠ACE=45° ∠P=∠PCA=30°, ∴， ∴ ∴PC=PE=. 又在Rt△PCO中，OP=OA+PA=2OC，， ∴CO=6，PO=12. ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的性质，（1）中得出△ACO为等边三角形是关键，（2）中得出PC=PE解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）2 （3）点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值； （3）由，，得，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标；当时，同理得的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为， 直线轴，， ，， ， ， ，，， ， ， ， 解得或（与重合，舍去）， 的值为2； 【小问3详解】 解：，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与相似，且， 在的右侧，且或， 设， 由（2）知，，，， ，，，， 当时，如图： ， 解得或（此时在左侧，舍去）， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，如图： ， 解得（舍去）或， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$