精品解析：天津市弘毅中学2023-2024学年高二上学期过程性诊断（1）数学试题

天津市弘毅中学2023—2024学年第一学期过程性诊断（1） 高二数学 命题人：张长锁 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一．选择题（每题5分）： 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式，可得，求解即可. 【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且， 所以，解得. 故选：B. 2. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】由两点的斜率公式计算即可. 【详解】解：由已知得. 故选：D 【点睛】本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题. 3. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平行关系设直线方程，再代入点的坐标，求直线方程. 【详解】设与直线平行的直线是，代入点得，得，所以直线方程是. 故选：A 4. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线方程为，将代入，计算得到答案. 【详解】设此直线方程为，将代入，知，故直线方程为. 故选：. 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 5. 已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将已知方程转化为标准方程即可得圆心坐标和半径． 【详解】由题，所以， 所以圆心坐标为，半径为， 故选：B． 6. 直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写成斜截式，由斜率和与轴交点纵坐标确定直线经过的象限. 【详解】若，则直线不会经过三个象限，所以， 所以， 因为直线经过第一、二、四象限， 所以斜率，与轴交点纵坐标， 解得， 故选：A 7. 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　) A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C. 【考点】直线与圆的位置关系 【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便. 8. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，根据圆与圆的位置关系分析即可得出结果． 【详解】由题意知，，圆心为，半径为1； ，圆心为，半径为4， 两圆的圆心距为：，又两圆半径之和为5，两圆半径之差为3， 因为3＜＜5，所以两圆相交． 故选：C 9. 两直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行首先求出参数，再由两平行直线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为两直线平行，所以，解得，将化为， 由两条平行线间的距离公式得. 故选：D． 10. 如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量运算法则得,利用向量的线性运算求出结果. 【详解】因为点，分别是面对角线与的中点， ，，， 所以 故选:D. 11. 已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可知直线过定点，画图连接，直线绕定点旋转，即可求得实数k的取值范围. 【详解】由直线方程可知，直线过定点，则要使直线与线段AB相交，如图所示： 则，因为，所以实数k的取值范围是. 故选：B 12. 直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可. 【详解】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点， 当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为， 当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为， 如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为， 由图知，当或，与曲线有1个交点， 故选：C 二．填空题（每题5分）： 13. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以， 解得. 故答案为： 14. 已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 (　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：设点是关于的对称点，根据轴对称的性质建立关于的方程组，解出且，即可得到点关于的对称点坐标． 详解：设是关于的对称点， 则有 ，解得且， 所以坐标为，即为所求的点的坐标，故选B． 点睛：本题主要考查了点关于定直线的对称点的坐标，着重考查了直线的基本量与基本形式、轴对称的性质等知识，以及学生的推理与运算能力． 15. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x﹣3y=0； 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a． 则3+4=a，得a=7． ∴直线方程为x+y﹣7=0． ∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0． 故选：D 16. 直线与圆交于，两点，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】圆的标准方程为，计算圆心到直线的距离为，，计算面积得到答案. 【详解】，即，圆心，. 圆心到直线的距离为，， . 故答案为：. 17. 已知圆：与圆：相交，则两个圆的公共弦方程为______，则两圆的公共弦长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：直接将两圆联立做差可得公共弦方程； 第二空：利用垂径定理可得公共弦长. 【详解】由圆：①与圆：②， ②①得，即 即两个圆的公共弦方程为； 两圆的公共弦长即为圆：与相交产生的弦长 则弦长为. 故答案为：；. 18. 已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，利用斜率求出参数m，即可由勾股定理求出此时的弦长. 【详解】直线l可化为， 令，所以直线l恒过定点， 易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时， 圆，圆心，半径为5， ，又，则，解得， ， 直线截圆所得弦长的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查直线过定点问题、求直线截圆所得弦长，属于中档题. 三．解答题： 19. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点式求直线的方程； （2）由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程； （3）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程. 【小问1详解】 因为直线经过和两点， 由两点式得的方程为，即 【小问2详解】 ，，为的中点， 点的坐标为， 又边的中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即 . 【小问3详解】 的斜率，则的垂直平分线的斜率， 由斜截式得直线的方程为，即． 20. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线上，列出方程组，解之即可求解； （2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为，由题意得 ，解得 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设点的坐标是，点的坐标是， 由于点的坐标为，点是线段的中点，所以， 于是 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即 所以， 整理得 所以，线段中点的轨迹方程. 21. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）经过点且与点之间的距离为的直线； （2）经过点且与直线垂直； （3） 经过直线与的交点，且平行于直线的直线方程； （4）一入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线方程. 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）讨论斜率不存在时，斜率存在时设直线的方程，利用点到直线的距离列方程求得的值即可求解； （2）设直线为：，将点代入求得的值即可求解； （3）联立直线方程求出交点坐标，设所求直线方程为，将交点坐标求得的值即可求解； （4）求出点关于直线对称点的坐标，结合即可求得反射光线所在直线方程. 【详解】（1）当过点直线的斜率不存在时，直线为，此时符合题意； 当过点直线的斜率存在时，设方程为：即， 点到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：即， 所以所求直线方程为：或； （2）设与直线垂直的直线为：， 由题意可得：，解得：， 所以所求直线方程为：； （3）由可得，所以两直线的交点为， 设平行于直线的直线方程为， 将点代入可得，解得：， 所以所求直线的方程为：； （4）设点关于直线：对称的点为， 则的中点为， 由题意可得：，解得：， 所以点，在反射光线上， 所以反射光线所在直线方程为：，整理可得：， 所以反射光线所在直线方程为：. 22. 圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长. （3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方程. 【小问1详解】 由题意可得，圆心为，半径为2， 则圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：圆的半径， 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即 ，解得 综上所述：切线的方程为和. 23. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 【答案】（1）证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE. （2） （3） 【解析】 【分析】本题可通过建立空间坐标系求解． 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ＝(1，－2，－1)． 设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)， 则,即 消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2,1)． 由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量． 于是cos〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝， 故二面角B1－CE－C1的正弦值为. 【小问3详解】 ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)． 设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量． 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 sinθ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝. 于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)， ∴AM＝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2023—2024学年第一学期过程性诊断（1） 高二数学 命题人：张长锁 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一．选择题（每题5分）： 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 3. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（ ） A. B. C. D. 7. 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　) A. 1 B. 2 C. D. 2 8. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 9. 两直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题5分）： 13. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么___________ 14. 已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 (　 　) A. B. C. D. 15. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 A. B. 或 C. D. 或 16. 直线与圆交于，两点，则的面积为___________. 17. 已知圆：与圆：相交，则两个圆的公共弦方程为______，则两圆的公共弦长为______． 18. 已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为__________. 三．解答题： 19. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 20. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程． 21. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： （1）经过点且与点之间的距离为的直线； （2）经过点且与直线垂直； （3） 经过直线与的交点，且平行于直线的直线方程； （4）一入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线方程. 22. 圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 23. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $